第25章相似形单元复习题 （含解析）冀教版九年级数学上册

冀教版九年级数学上册第25章相似形单元复习题
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中，点E为AB边中点，连接AC、DE交于点F，若的面积为4，则的面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．一种数学课本的宽与长之比为黄金比，已知它的长是26cm，那么它的宽是（　　）cm。
A．+26 B．-26 C．+14 D．-13
3．下列命题中的真命题是（　　）
A．两个直角三角形都相似
B．若一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，则这两个直角三角形相似
C．两个等腰三角形都相似
D．两个等腰直角三角形都相似
4．已知 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，l1 l2 l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和D，E，F.若 ，DE＝4，则EF的长为（　　）
A．10 B． C．12 D．14
6．已知 ，那么下列等式一定成立的是（　　）
A．x＝2，y＝3 B． C． D．
7．如图，D，E为△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，若AD：DB=1：3，AE=2，则AC的长是（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．如图，在中，，，若，则等于（　　）
A．7 B．4 C．8 D．6
9．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F，如果测得米，那么塔与树的距离AE为（　　）
A．15米 B．20米 C．25米 D．30米
10． 如图，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，，则DF的长为（　　）
A．2.4 B．3.6 C．6 D．7.2
二、填空题
11．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点D为AC的黄金分割点（AD＞CD），AC=6，则CD=　 　．
12．如图，EF为△ABC的中位线，△ABC的周长为12cm，则△AEF的周长为　 　cm．
13．如图，正方形纸片 的边长为12， 是边 上一点，连接 .折叠该纸片，使点 落在 上的 点，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，点 在 上.若 ，则 的长为　 　.
14．如图，在矩形ABCD和矩形AEGH中，AD∶AB=AH∶AE=1∶2.则DH∶CG∶BE=　 　 .
三、解答题
15．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
16．如图，已知D为 内一点，E为 外一点，且 ， .求证： .
17．在直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，4），C（0，3），过点C作直线交x轴于点D，使得以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似，求点D的坐标．
18．如图，中有内接正方形DEFG，DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，，垂足为H，交GF于I．求证：．
四、综合题
19．已知，四边形 的两条对角相交于点 ， .
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
20．在△ 中，已知 是 边的中点， 是△ 的重心，过 点的直线分别交 、 于点 、 .
（1）如图1，当 ∥ 时，求证： ；
（2）如图2，当 和 不平行，且点 、 分别在线段 、 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
（3）如图3，当点 在 的延长线上或点 在 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
21．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
22．已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ∥BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
（1）如图，当AP＝3cm时，求y的值；
（2）设AP＝xcm，试用含x的代数式表示y（cm2）；
（3）当y＝2cm2时，试确定点P的位置．
23．已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN.
（1）如图①，若tan∠ADM＝ ，MN＝3，求BC的长；
（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ABCD，AB=CD，
∴△AEF∽△CDF，
∵点E是AB中点，
∴CD=AB=2AE，
∴，
∵的面积为4，
∴△AEF的面积为1，
∴△ADF的面积为2，
∴的面积为3，
故答案为：A．
【分析】先证明△AEF∽△CDF，可得，再结合的面积为4，可得△AEF的面积为1，最后求出的面积为3即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解： ∵书的宽与长之比为黄金比，长为26cm，
∴它的宽=.
故答案为：D.
【分析】 根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，得出它的宽为，即可得出答案.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：A. 两个直角三角形不一定都相似，故A不符合题意；
B. 若一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，则这两个直角三角形不一定相似，故B不符合题意；
C. 两个等腰三角形不一定都相似，故C不符合题意；
D.两个等腰直角三角形都相似，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐项进行判断，即可求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】根据比例的性质，设 ，则 ，代入计算即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵DE=4，
∴EF=10.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，列出等式计算即可.
6．【答案】A
【解析】解答：A、x＝2，y＝3时， ，故A正确；
C、当y＝0时， 无意义，故C错误；
故选：A．
分析：根据比例的性质，代数式求值，可得答案．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴ = ．
∵AE=2，
∴AC=8
故选B
【分析】根据平行线分线段成比例定理可得 ，然后求解即可．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得S△ADE的值，然后根据S四边形BCED=S△ABC-S△ADE进行计算.
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，边长为10米，
∴AD=CD=BC=10，FD=CD-CF=6，
∵，
∴，
∴，
∴，
即：，解得AE=25，
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的性质测高。
10．【答案】C
【解析】【解答】∵a//b//c，
∴，
∵，DE=3.6，
∴，
∴EF=3.6÷=2.4，
∴DF=DE+EF=3.6+2.4=6，
故答案为：C.
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再结合，DE=3.6，求出EF的长，最后利用线段的和差求出DF的长即可.
11．【答案】9﹣3
【解析】【解答】解：∵点D为AC的黄金分割点（AD＞CD），
∴AD= AC═ ×6=3 ﹣3，
∴CD=AC﹣AD=6﹣（3 ﹣3）=9﹣3 ．
故答案为9﹣3 ．
【分析】根据黄金分割的定义得到AD= AC=3 ﹣3，然后利用CD=AC﹣AD进行计算即可．
12．【答案】6
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为 ，
∴△ADE的周长是△ABC的周长的一半，
即 ×12=6cm．
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线得出EF∥BC，从而得出△ADE∽△ABC及其相似比 ，从而得出△ADE的周长是△ABC的周长的一半，从而得出答案.
13．【答案】
【解析】【解答】解：在正方形 中，∠BAD=∠D = 90° ，
∴∠BAM+∠FAM= 90°
在Rt 中，
∵由折叠的性质可得
∴AB=BG，∠FBA=∠FBG
∴BF垂直平分AG，
∴AM=MG，∠AMB= 90°
∴∠BAM+∠ABM= 90°
∴∠ABM=∠FAM
∴
∴ ，∴
∴AM= , ∴AG=
∴GE=5-
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理得出AE的长，然后根据折叠的性质可得BF垂直平分AG，再根据 ,求出AM 的长，从而得出AG,继而得出GE的长
14．【答案】
【解析】【解答】解：连接AC，AG，
∵在矩形ABCD和矩形AEGH中，
∴∠DAH+∠HAB=90°，∠BAE+∠HAB=90°，HG=AE，
∴∠DAH=∠BAE，
∵AD∶AB=AH∶AE=1∶2，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=1：2，
在Rt△AHG中，HG=2AH，
∴，
∴AH：AG：AE=1：：2，
当AH与DA重合时，将矩形AHGE绕着点A旋转至矩形AHGE，
∴△ACG∽△ABE∽△ADH，
∴
∴DH：CG：BE=1：：2.
故答案为：1：：2
【分析】连接AC，AG，利用矩形的性质和余角的性质可证得HG=AE，∠DAH=∠BAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例，可得到DH：BE的比值，利用勾股定理可表示出AG的长，可得到AH：AG：AE的比值；再证明△ACG∽△ABE∽△ADH，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DH：CG：BE的坐标.
15．【答案】解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B'EC=90°．
∵△ABC的位似图形是△A'B'C，
∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD=∠B'CE，
∴△BCD∽△B'CE．
∴，
又∵，
∴，
又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（﹣1，0），
∴CE=3，
∴．
∴，
∴点B的横坐标为- ．
【解析】【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标．
16．【答案】证明：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴△ABD∽△CBE，
∴
∴
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DBC，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴△ABC∽△DBE，
【解析】【分析】求出△ABD∽△CBE，得出 ，即 ，再求出∠ABC=∠DBE，即可证△ABC∽△DBE.
17．【答案】解：过C点作AB的平行线，交x轴于D1点，
则△DOC∽△AOB， ，
即 ，解得OD= ，
∴D1（﹣ ，0），根据对称得D2（ ，0）；
由△COD∽△AOB，得D3（﹣6，0），根据对称得D4（6，0）．
【解析】【分析】过C点作AB的平行线，交x轴于D1点，由平行得相似可知D1点符合题意，根据对称得D2点；改变相似三角形的对应关系得D3点，利用对称得D4点，都满足题意．
18．【答案】证明：∵四边形DEFG是正方形
∴，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
【解析】【分析】利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
19．【答案】（1）证明： ，且 ，
（2）解：由（1）得： ，
，且 ，
，
又∵ ， ， ，
，
解得 .
【解析】【分析】（1）图形中隐含对顶角相等，利用有两组对应角相等的两三角形相似可证得结论。
（2）利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△DCP∽△ABP，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于AB的方程，解方程求出AB的值。
20．【答案】（1）证明： 是△ 重心
，
又 ∥ ，
， ，
则
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图，过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，
则 ，
又
而 是 的中点，即
又
结论成立
（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当 点与 点重合时， 为 中点， ，
点 在 的延长线上时， ，
，则 ，
同理：当点 在 的延长线上时， ，
结论不成立.
【解析】【分析】（1）重心：三条中线的交点，其到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。根据已知条件，判定△AEF∽△ABC，对应边成比例，分析即可证明 。
（2）结论仍成立。同（1）， 过点 作 ∥ 交 的延长线于点 ， 、 的延长线相交于点 ，判定三角形相似，然后对应边成比例。根据重心的性质，等式替换，分析即可证明结论。
（3）当 点与 点重合时， 为 中点， 。 点 在 的延长线上时 ，＞1， 则 ，结论不成立。同理E在AB延长线时， 也不符合结论。
21．【答案】（1）解：结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴CF=2DG
（2）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及中点的定义，可证得AD=CD=2DE，再证明△DEG∽△CDF，得出对应边成比例，就可证得结论。
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，根据相似三角形的判断和性质，可求出DH、HM的长，再利用勾股定理求出DM、DK的长，然后求出CD与DK之和即可。
22．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm， ∴tanA＝ ＝ ，
∵D是AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AD＝BD＝4cm，DE＝2cm，
∴Rt△APQ中，AP＝3cm，
∴PQ＝AP tanA＝3× ＝1.5cm，
∴DN＝AN﹣AD＝AP+PN﹣AD＝3+1.5﹣4＝0.5，
∴重合部分的面积应该是y＝DN×MN＝1.5×0.5＝0.75cm2
（2）解：当0＜x≤ ，y＝0；
当 ＜x≤4，y＝ ，
当4＜x≤ ，y＝x；
当 ＜x＜8，y＝16﹣2x；
（3）解：当 ＜x≤4时，如果y＝2，2＝ ，解得x＝ 或x＝ （舍去）；
当4＜x≤ 时，如果y＝2，x＝2，也错误，
当 ＜x＜8时，如果y＝2，2＝16﹣2x，解得x＝7，因此当AP＝7cm时，y＝2cm2．
∴当x＝7cm或x＝ cm时，y＝2cm2．
【解析】【分析】（1）先根据AP的长，求出PQ的值，然后看看正方形与矩形是否重合，若重合求出重合部分的线段的长，然后根据矩形的面积计算公式进行求解即可．（2）要分四种情况进行讨论：①当N在D点或D点左侧时，当正方形PQMN的边MN与矩形EDBF的边ED重合时，利用相似三角形的性质可得出x＝ ，即0＜x≤ 时，此时正方形与矩形没有重合，因此y＝0；②当N在D点右侧，而P点在D点左侧或与D点重合时，即 ＜x≤4，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，NM为宽的矩形，DN＝PN﹣PD＝PN﹣（AD﹣AP）＝x﹣（4﹣ x）＝ x﹣4．而NM＝PQ＝ x，因此重合部分的面积应该是y＝（ x﹣4）× x＝ x2﹣2x；③当P在D点右侧，而N点在B点左侧或与B点重合时，即4＜x≤ 时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN＝ x，DE＝2，因此此时重合部分的面积是y＝ x×2＝x；④当P在B左侧时，而N点在AB延长线上时，即 ＜x＜8时，此时重合部分的面积应该是以DE长为宽，PA长为长的矩形的面积．BP＝AB﹣AP＝8﹣x，BF＝DE＝2，因此此时重合部分的面积应该是y＝（8﹣x）×2＝16﹣2x．（3）将y＝2代入（2）的式子中，看看求出的x哪个符合条件即可．
23．【答案】（1）解：如图①中，
∵AM⊥DN，
∴∠AMD＝90°，
∵tan∠ADM＝ ＝ ，
∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，
∵AD⊥AN，
∴∠DAN＝90°＝∠AMD，
∵∠ADM＝∠ADN，
∴△ADM∽△NDA，
∴AD2＝DM AN，
∴（5k）2＝4k（4k+3），
解得k＝ ，
∴AD＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝ .
（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADK＝∠BNQ，
∵BH∥DQ，
∴∠CBH＝∠BNQ，
∴∠ADK＝∠CBH，
∵DK＝BH，DA＝BC，
∴△ADK≌△CBH（SAS），
∴AK＝CH，
∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，
∴AN⊥BC，
∴∠AMK＝∠CNH＝90°，
∵AM＝CN，
∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），
∴MK＝NH，
∴DM＝DK+MK＝BH+HN.
【解析】【分析】（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DM AN，由此构建方程即可解决问题.（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH.证明△ADK≌△CBH（SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题.