第26章解直角三角形单元复习题（含解析） 冀教版数学九年级上册

冀教版九年级数学上册第26章解直角三角形单元复习题
一、单选题
1．下列计算正确的是（　　）
A．sin60°﹣sin30°=sin30° B．sin245°+cos245°=1
C．cos60 D．cos30
2．如图，已知Rt是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．2cos45°的值为（　　）
A． 2 B． C． D．1
6．如图，点在正方形网格的格点上，则（　　）
A． B． C． D．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=6，则AB=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．“新中梁山隧道”于2021年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2022年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A，B，C，D，E，F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（　　）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）
A．200 B．250 C．300 D．540
9．三角函数sin50°，cos50°，tan50°的大小关系是（　　）
A．sin50°＞cos50°＞tan50° B．tan50°＞cos50°＞sin50°
C．tan50°＞sin50°＞cos50° D．cos50°＞tan50°＞sin50°
10．小明沿着坡比为1：的山坡向上走了600m，则他升高了（　　）
A．m B．200m C．300 m D．200m
二、填空题
11．如图，中，，，则的值为　 　．
12．如图，六个正方形组成一个矩形，A，B，C均在格点上，则∠ABC的正切值为　 　．
13．如果sinα = ，那么锐角α =　 　.
14．如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=　 　米．
三、计算题
15．计算：4sin260°+tan45°﹣8cos230°+2sin30°．
四、解答题
16．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是，朝大树方向下坡走8米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是，若坡角，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：，，，）
17．某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直.某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 ， ，求出点D到AB的距离.（参考数据 ， ， ）
18．某数学研究小组把测量一面墙上窗户的高度作为一次课外课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测量，测量示意图、测得结果如下：
站在与墙垂直的笔直小路上的点D利用测角仪（测角仪高度0.5米）测得窗户顶端A的仰角为，站在点C利用测角仪测得窗户底端B的仰角为，并用卷尺测得米，米，请你根据方案提供的示意图及相关数据计算窗户高度．（结果精确到0.1米，（参考数据：，，，）
五、综合题
19．图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切.将这个游戏抽象为数学问题，如图2.已知铁环的半径为25cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα= .
（1）求点M离地面AC的高度BM；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC=55cm，求铁环钩MF的长度.
20．为给人们的生活带来方便，新乡市人民政府于2017年8月17日召开第73次常务会议，研究通过了《新乡市人民政府关于发展互联网租赁自行车的意见》，共享单车的租赁在我市正方兴未艾．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=35cm，DF=24cm，AF=30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°
（1）求AD的长；
（2）求点E到AB的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）
21．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为25cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
22．如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与点C和点A重合），连接PB，过点P作PF⊥PB交射线DA于点F，连接BF。已知AD=3 ，CD=3，设CP的长为x。
（1）线段PB的最小值　 　，当x=1时，∠FBP=　 　
（2）如图，当动点P运动到AC的中点时，AP与BF的交点为G，FP的中点为H，求线段GH的长度。
（3）当点P在运动的过程中，试探究∠FBP是否会发生变化？若不改变，请求出∠FBP大小；若改变，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、原式= ﹣ ≠ ，故A错误；
B、（ ）2+（ ）2=1，故B正确；
C、cos60°= ， = ，故C错误；
D、cos30°= ， = ，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值可进行判断。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A．，故A错；
Ｂ．，故Ｂ错；
Ｃ．，故Ｃ错；
Ｄ=BC，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用解直角三角形性质逐项判断即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：
故答案为：C。
【分析】根据正弦函数的定义即可直接得出答案。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：由tanA= = ，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故答案为：D．
【分析】由已知条件tanA的值可将BC和CA表示为3x,4x，再用勾股定理可求得x的值，则AC的长可求。
5．【答案】C
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据特殊角的三角函数值可得cos45°=，据此计算.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接交于H，则A、C、D三点共线，且，
设，则，
在中，，
.
故答案为：D.
【分析】取格点D、E，连接CD、BE交于H，则A、C、D三点共线，且BH⊥AH，设BH=a，则AH=5a，利用勾股定理可得AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= = ，BC=6， ∴AB= ，
故选D
【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
8．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，∠EAC=45°，EC=100米，
∴AC=EC=100米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BC=3EC=300米，
∴AB=300+100=400米，
设DF=x米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BD=3DF=3x米，
∵∠DAF=12°，tan12°≈0.2，
∴AD=5DF=5x米，
则8x=400，
解得x=50，
∴AD=250米．
故答案为：B．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出AC=EC=100米，根据坡度的定义得出BC,进而得出AB，设DF=x米，根据坡度的定义表示出BD，根据正切函数的定义表示出AD，最后根据AB=AD+BD，列出方程，求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵sin50°＜1，cos50°＜1，tan50°＞tan45°=1，
∴tan50°的值最大；
又∵cos50°=sin40°，sin50°＞sin40°，
∴sin50°＞cos50°；
∴tan50°＞sin50°＞cos50°．
故选C．
【分析】首先根据锐角三角函数的定义可知sin50°＜1，cos50°＜1，再由锐角三角函数的增减性可知，tan50°＞tan45°=1，从而得出tan50°的值最大；然后由互余两角的三角函数的关系得出cos50°=sin40°，又sin50°＞sin40°，从而得出结果．
10．【答案】C
【解析】【分析】由坡度为1：，可求得坡角∠A=30°，又由小明沿着坡度为的山坡向上走了600m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案。
【解答】∵坡度：i=1：，
∴tan∠A=，
∴∠A=30°，
因为沿着山坡向上走了600m，
∴他升高了=300（m)．
∴他升高了300m．
故选C
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应
11．【答案】
【解析】【解答】解：∵AB= ，
∴．
故答案为：．
【分析】利用余弦的定义求解即可。
12．【答案】3
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵S△ABC= BC AD= ×3×2，BC= = ，
∴AD= = ，
∵AB= =2 ，
∴BD= = ，
∴tan∠ABC= = =3．
故答案为：3．
【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，利用三角形的面积求得AD的长，再利用勾股定理求得BD的长，继而求得答案．
13．【答案】30°
【解析】【解答】∵sin30°= ，
∴α=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解。
14．【答案】100
【解析】【解答】解：∵在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，
∴船与观测者之间的水平距离BC=AC=100米．
故答案为：100米．
【分析】根据解直角三角形的应用，测得它的俯角为45°，利用得出AC=BC，即可得出答案．
15．【答案】解：原式=4×（ ）2+1﹣8×（ ）2+2×
=﹣4× +2
=﹣1
【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
16．【答案】解：如图，过点D作，，垂足分别为H，G．
则四边形DHCG为矩形．
在直角三角形AHD中，∵，，
∴，，
∴，
设，则，
在直角三角形ABC中，
，
∴，
在直角三角形BDG中，∵，
∴，
解得，
答：大树的高度约为17米．
【解析】【分析】根据题意先求出 ，， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
17．【答案】解：如图，过点D作 于E，过D作 于F，则四边形EBFD是矩形，
设 ，
在Rt△ADE中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
在Rt△CDF中， ， ，
∴ ，
又 ，
即： ，
解得： ，
故：点D到AB的距离是214m.
【解析】【分析】 过点D作 于E，过D作 于F，则四边形EBFD是矩形，设 ，在Rt△ADE中，利用正切三角函数把BE表示出来，在Rt△CDF中， 利用等腰直角三角形的性质把CF表示出来，最后根据BE=CF列方程求解即可.
18．【答案】解：如图，四边形 是矩形，
∴ 米， 米，
∴ 米，
在 中，
∴ 米；
在 中，
∴ 米，
∴ 米，
答：窗户高度 约为1.0米．
【解析】【分析】先作图，再利用锐角三角函数计算求解即可。
19．【答案】（1）解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N，
在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=25，
HM=OM×sinα=15，
所以OH=20，
MB=HA=25-20=5，
所以点M距地面的高度BM为5cm
（2）解：∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，
∴ =sin∠MOA= ，
∴FN= FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=55-15=40，
∵FM2=FN2+MN2，
即FM2=（ FM）2+402，
解得：FM=50，
∴铁环钩的长度FM为50cm.
【解析】【分析】（1）过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．那么求BM的长就转化为求HA的长，而要求出HA，必须先求出OH，在直角三角形OHM中，根据sinα=可求出HM和OH的值，则根据MB=HA=OA-OH可求解；
（2）根据同角的余角相等可得∠FMN＝∠MOH，又因为sin∠MOA＝可将FN用含FM的代数式表示，在Rt△FMN中，用勾股定理可得关于FM的方程，解方程即可求解.
20．【答案】（1）解: 在Rt△ADF中，AF=30，DF=24，
由勾股定理得：AD= = =18cm
（2）解: 过点E作EH⊥AB，垂足为H，
∵AE=AD+DC+CE=68，
∴EH=AEsin75°=68sin75°=68×0.97=65.96≈66（cm），
∴车座点E到车架档AB的距离约是66cm．
【解析】【分析】（1） 在Rt△ADF中，由勾股定理即可求得AD的长；
（2）
过点E作EH⊥AB，垂足为H，由已知可得AE=AD+DC+CE；在直角三角形AEH中，根据sin75°=可求解。
21．【答案】（1）解：如图所示：在Rt△BOE中，∵∠MON=35°，
∴∠BOD=55°，
∴tan55°= ，
∴OE= ，
同理，DE= ，
∴OD=OE+DE= + =25，
解得：BE=8.8，
答：B点到OP的距离为8.8m；
（2）解：在Rt△BDE中，
∵sin∠BDE= ，
∴BD= = ≈21.0（m），
答：滑动支架的长约为21.0m．
【解析】【分析】（1）根据三角函数分别表示出OE和DE，再根据点D到点O的距离为25cm可列方程求解；（2）在Rt△BDE中，根据三角函数即可得到滑动支架的长．
②连接AO，设∠MAB=x，∠BAN=y，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ACM=180°-2x，∠AON=120°-2y，则∠AON+∠ACM=300°-2(x+y)=180°，据此求解；
（3）构造平行四边形OCEN，作EF⊥CM，交MC延长线于F，易得∠FCE=30°，求出EF、CF，利用勾股定理可得ME，根据两点之间，线段最短的性质可得当点M、N、E三点共线时，ME=MN+EN，据此可得MN的最小值.
22．【答案】（1）；30°
（2）解： 如图，
∵ 四边形ABCD是矩形， P是AC的中点，∠ACB=30°，
∴AP=BP，∠BAC=90°-∠ACB=60°，
∴△ABP是等边三角形,
∴∠APB=∠ABP=60°，BP=AB=3，
在Rt△BAF和Rt△BPF中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△BPF，
∴AF=PF，∠ABF=∠PBF=30°，
∴BF垂直平分AP，
∴∠PGF=90°，
∵H为PF的中点，
∴GH=PF，
在Rt△BPF中，，
∴PF=3×，
∴GH=PF=；
（3）解： 不变，∠FBP=30° ，理由如下：
过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，
则∠BMP=∠PNF=90°，
∵ PF⊥PB，
∴∠BPM+∠FPN=90°，
∵∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠FPN=∠PBM，
∴△PNF∽△BMP，
∴，
设PC=x，
∴PM=PC=x，CM=x，
∴PN=MN-PM=3-x，BM=BC-CM=，
∴，
∴∠FBP=30°.
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC=，
当BP⊥AC时， 线段PB的值最小，
∴，
∴BP=，
∴ 线段PB的最小值时，
如图，过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，
则∠BMP=∠PNF=90°，MN=CD=3，
∵∠ABC=90°，AB=CD=3，BC=AD=3，
∴，
∴∠ACB=30°，
∵PC=1，
∴PM=PC=，CM=，
∴PN=MN-PM=3-=，BM=BC-CM=，
∵ PF⊥PB，
∴∠BPM+∠FPN=90°，
∵∠BPM+∠PBM=90°，
∴∠FPN=∠PBM，
∴△PNF∽△BMP，
∴
∴，
∴∠FBP=30°；
【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据垂线段最短得出当BP⊥AC时， 线段PB的值最小，根据等积法即可求出BP的值；当x=1时，过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，证出△PNF∽△BMP，求出，即可得出∠FBP=30°；
（2）先证出BF垂直平分AP，求得PF=，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出GH=PF，即可得出 线段GH的长度；
（3）过点P作PM⊥BC于点M，交AD于点N，证出△PNF∽△BMP，设PC=x，求出PM，CM，PN，BM的长，再根据锐角三角函数的定义得出