2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明（含解析）

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明
1．如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
2．如图，是的直径，C是圆上一点，过C的直线与的延长线交于点D，于E，平分．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求．
3．如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，交于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求长．
4．如图，四边形是的内接四边形，是直径，C是的中点，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线
(2)若，，求的长．
5．如图，为的直径．点在圆上，是的平分线交于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的长．
6．如图，是圆的直径，A在的延长线上，，弦垂直于于点．
(1)求证：为圆的切线；
(2)若，，求圆的半径及的值．
7．如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径长．
8．如图，在中，，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．
(1)求的长；
(2)若，求证：为的切线．
9．如图，在等腰中，，以为直径作交于点D，过点D作，垂足为E，延长交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
10．如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过上的点，分别交，于点，，点是弧的中点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径．
11．如图，在菱形中，O是对角线上一点，，垂足为E，为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若G是的中点，，，求的长．
12．如图，以的边上一点为圆心的圆，经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．
(1)求证：是的切线：
(2)若，，求的半径．
13．如图，在中，，为的平分线，交于点，的外接圆与边相交于点，过点作的垂线交于点，交于点，交于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
14．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
15．如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求点到弦的距离．
16．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线．
17．如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交 的延长线于点E，延长到点F，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
(3)在（2）的条件下，求的长.
18．已知：如图，在中，＝，以为直径的与边相交于点，，垂足为点．
(1)求证：点是的中点；
(2)求证：是的切线；
(3)若的直径为，＝，求的长．
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理：
（1）连接，证明，即可证得，从而证得是圆的切线；
（2）利用勾股定理求得，再推出，利用相似三角形的性质列得比例式，据此求解即可．
【详解】（1）证明：连接．

∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∴，即．
又点在上，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
∵，
∴，
即的半径长为．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识：
（1）连接，由，得，则，所以，即可证明是的切线；
（2）由勾股定理得，而，所以，求得，则．
【详解】（1）连接，则，

∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
解得，
∴，
∴的长是
3．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）由等边对等角，角平分线可证，则，进而结论得证；
（2）设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，则，，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴的长为8．
【点睛】本题考查了等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理等知识．熟练掌握等边对等角，角平分线，平行线的判定与性质，切线的判定，勾股定理是解题的关键．
4．(1)证明见解析；
(2)，．
【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接，，由等边对等角结合对顶角相等可得，由圆周角定理结合角平分线的定义可得，从而得出，由三角形内角和定理可得，从而得出，再由等边对等角得出，即可得证；
（2）由圆周角定理可得，证明可得，从而得到，求解即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
是的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，即，
为半径，
是的切线；
（2）解：如图，
，
由（1）得：，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、角平分线的定义等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
6．(1)证明见解析，
(2)3，
【分析】本题综合考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
（1）连接，证明，得出，进而推出，即可证明，即可得出结论；
（2）根据的比例关系，可用未知数表示出的表达式，进而可得的表达式；在中，由勾股定理得：，再根据，得出，即有，进而可得，即可求出圆的半径，以及的值．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
弦垂直于于点，
，
又，
即
，
为圆的切线；
（2）解：
设则，；
在中，由勾股定理得：
；
由（1）中可知，
即，
解得（舍去），，
，
．
7．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质和判定，得出即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，勾股定理即可求出直径的长，进而求出半径即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵点C是的中点，即，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；

（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形，掌握切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
8．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵是的直径，且，
∴，
∵E为上一点，且，
∴，
∴，
∴的长；
（2）如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查圆的切线以及垂径定理，熟练掌握基本性质是解题关键．
（1）连接，通过等腰三角形性质得到，，进而得到，进而即可得证；
（2）过O点作，得到四边形是矩形，再通过垂径定理及勾股定理得到，进而得到．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，过点O作，
则，．
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵，设，．
∴，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，（舍去），
∴，
∴．
10．(1)见解析
(2)的半径为4.5
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，切线的判定，勾股定理等知识．
（1）连接，证明，，根据切线的判定得出即可；
（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）连接，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）设的半径为，则，，
在中，，即，
解得，，
即的半径为4.5．
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据菱形的性质和角平分线的性质证明即可；
（2）过作，先由圆的性质得到，由菱形的性质得到，，证明，利用勾股定理求出，证明，得到，则，，则由三线合一定理得到，证明，得到，据此代值计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，

是菱形的对角线，
，
，，
，
是的切线．
（2）解：如图，过作于点，

∵是的中点，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，即
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆的切线判定定理、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，关键在于熟练掌握证明是圆的切线的方法、菱形的性质以及三角形相似的证明与性质的应用，特别是菱形的性质．
12．(1)见解析
(2)的半径为5
【分析】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，切线的判定：
（1）连接、，由为的下半圆弧的中点，得，根据等边对等角，即，，进行角的等量代换，得，结合为半径，即可作答．
（2）由已知得点位于之间，则设，．，，根据勾股定理列式，得，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接、．
为弧的中点，
，
，，
，，
，，，，
，
．
为半径，
是的切线
（2）解：∵为的下半圆弧的中点，连接交于
∴点位于之间，
则设，．
，，
∴，，
即，
解得或
当时，点不在之间，不合题意，舍去．
故的半径为5．
13．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的判定定理、正切的定义、平行线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由等边对等角可得，结合角平分线的定义推出，从而推出，由平行线的性质得出，即可得证；
（2）由平行线的性质可得，由圆周角定理得出，从而得出，利用三角函数的定义得出，设的半径为，则，由此即可得解．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
在中，，
，即，
设的半径为，则，
解得：，
的半径长为6．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质．
（1）要证是的切线，只要连接，再证即可；
（2）由切线的性质及勾股定理可得的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）证明：连接；
∵，又，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
又是的半径，
∴是的切线．
；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，，由题意可证得，进而可得，即：，即可证明结论；
（2）设与交于点，易知垂直平分，得，，由题意得，可知为等腰三角形，得，则，根据含的直角三角形的性质得，即可求得点到弦的距离．
【详解】（1）证明：如图，连接，，则，
∵相切于，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
又∵点是圆上一点，
∴是的切线；
（2）设与交于点，
∵，，
∴垂直平分，
则，，
由（1）可知：，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰三角形，
∴，则，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
即：点到弦的距离为．
【点睛】此题考查了切线的性质及判定，勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，解决问题的关键在于要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
16．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）旋转，得到，，进而得到，证明，推出，即可得证；
（2）连接，等边对等角，得到，圆周角定理，得到，根据三角形的内角和定理，推出，即，即可得证．
【详解】（1）证明：由旋转的性质，得，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A，E，B，D四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，圆周角定理，切线的判定．掌握相关性质和定理，是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据，，可得，，再根据，，可得，即有半径，问题得证；
（2）连接，过O点作于点，利用垂径定理可得，，即：，再证明，即有；
（3）设，即，在和中，有，，即，解方程即可求解．
【详解】（1）连接，如图，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴半径，
∴是的切线；
（2）连接，过O点作于点，如图，
∵，，，的半径为5，
∴，，
即：，
∵，，，
∴，
∴，
（3）设，即，
∵，，
∴在中，有；在中，有
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，垂径定理，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质证明；
（2）连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
（3）根据余弦的概念、勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，又，
，
点是的中点；
（2）证明：连接，
，，
是的中位线，
，
又，
，即是的切线；
（3）解：，
，
，
在中，，，
，
，
在中，
，
．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理，三角形的中位线的性质，圆周角定理以及锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理和性质定理是解题的关键．