苏科版七年级数学下册第七章平面图形的认识二：平行线中的常见模型（含答案）

七年级下册
平面图形的认识（二）：
专题：
平行线中的常见四大模型
专题：平行线中的常见模型
模型一：“猪蹄”模型（也称“M”模型）
模型一“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
典型例题
例1：如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）
A．70° B．65° C．35° D．5°
例2：如图，AD∥CE，∠ABC＝95°，则∠2﹣∠1的度数是（　　）
A．105° B．95° C．85° D．75°
例3：如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，求∠2的度数．
☆模型拓展：M叠M型
例4：如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为 　．
例5：如图，AB∥CD，∠E＝120°，∠F＝90°，∠A+∠C的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
例6：如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为　　．
例7：如图，直线l1∥l2，点∠α、∠β夹在两平行线之间．
（1）若∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度数；
（2）直接写出∠1、∠2、∠α、∠β之间的数量关系，不用说明理由．
☆模型拓展：M套M型
例8：（1）如图1，已知AB∥CD，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，
求证：∠AFC=∠AEC；
（2）如图2，若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求证：∠AFC=∠AEC；
（3）若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是
　 　（用含有n的代数式表示，不证明）．
例9：如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC；
（3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）．
模型二：“铅笔”模型（也称“U”型模型）
模型二：“铅笔”模型（“U”型）
点P在EF右侧，在AB、 CD内部 “铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
典型例题
例1：一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝　 　度．
例2：如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝　 　．
例3：如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
例4：如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．
例5：实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．
（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝　　 ，∠3＝　　 ；
（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝　　 ；
（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）
例6：如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝　 　；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
模型三：“抬头”模型（也称“靴子”或称“臭脚”模型）
模型三“抬头”模型（“靴子”模型）
点P在EF右侧，在AB、 CD外部 “靴子”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
典型例题
例1：如图，AB//CD，∠P=40°，∠D=100°，则∠ABP的度数是 .
例2：已知，AB∥CD.
(1)如图1，求证:∠A-∠C=∠E;
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数.
例3：已知直线∥，点A，B在直线上(B在A左侧)，点C在直线b上，E点在直线b下方，连接 AE 交直线b于点D.
(1)如图1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC的度数;
(2)如图2，∠BAD 的邻补角的角平分线与∠DEC 的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由.
例4：已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠EAB＝∠C+∠E；
（2）如图2，点F在∠AEC内且在AB、CD之间，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，请猜想∠F与∠EAB的数量关系并证明；
（3）如图3，点M在AB上，点N在CD上，点E是AB上方一点，点G在AB、CD之间，连接EM、EN，GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．:
模型四：“骨折”模型（也称“X射线”模型）
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部 “骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
例1：如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为 　 　．
例2：如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
例3：已知：如图，AB∥CD．
（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．
（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
例4：（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
例5：已知AB∥MN．
（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；
（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF交MN于点C．
①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；
②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．
参考答案
专题四：平行线中的常见模型
模型一：“猪蹄”模型（也称“M”模型）
模型一“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
典型例题
例1：如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（B）
A．70° B．65° C．35° D．5°
解析：作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，故选：B．
例2：如图，AD∥CE，∠ABC＝95°，则∠2﹣∠1的度数是（C）
A．105° B．95° C．85° D．75°
解析：如图，作BF∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥BF∥EC，
∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝95°，
∴∠1+∠4＝95°，∠2+∠4＝180°，
∴∠2﹣∠1＝85°．故选：C．
例3：如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，求∠2的度数．
解析：过点D作DG∥b，
∵a∥b，且DE⊥b，
∴DG∥a，
∴∠1＝∠CDG＝25°，∠GDE＝∠3＝90°
∴∠2＝∠CDG+∠GDE＝25°+90°＝115°．
☆模型拓展：M叠M型
例4：如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为35°．
解析：如图所示，延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥CD，
∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，
∴∠A+∠C＝∠AHC，
∵∠F＝∠CGF＝30°，
∴EF∥CH，
∴∠AHC＝∠AEF＝35°，
∴∠A+∠C＝35°，
故答案为：35°．
例5：如图，AB∥CD，∠E＝120°，∠F＝90°，∠A+∠C的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
解析：分别过E，F作GE∥AB，FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GE∥FH∥CD，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∠GEF+∠HFE＝180°，
∵∠E＝120°，∠F＝90°，
∴∠1+∠GEF+∠HFE+∠2＝210°，
∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°，
即∠A+∠C＝30°，故选：A．
例6：如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为360°．
解析：如图所示，延长AE，DG交于点Q，
由题可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，
又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，
∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，
即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），
又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）
＝∠B+∠C+∠H
＝360°，故答案为：360°．
例7：如图，直线l1∥l2，点∠α、∠β夹在两平行线之间．
（1）若∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度数；
（2）直接写出∠1、∠2、∠α、∠β之间的数量关系，不用说明理由．
解析：（1）如图，延长AE交直线l2于点E，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠α＝∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．
（2）∠1+∠2+∠β﹣○α＝180°．
理由：∵l1∥l2，
∴∠3＝∠1．
∵∠BED＝180°﹣∠α，
∴∠3+∠2+∠β+180°﹣α＝360°，即∠1+∠2+∠β﹣∠α＝180°．
☆模型拓展：M套M型
例8：（1）如图1，已知AB∥CD，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，
求证：∠AFC=∠AEC；
（2）如图2，若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求证：∠AFC=∠AEC；
（3）若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是
（用含有n的代数式表示，不证明）．
解：（1）如图1，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝2x°，∠ECD＝2y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（x°+y°），
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]
＝2x°+2y°，
＝2（x°+y°），
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（x°+y°）]
＝x°+y°，
∴∠AFC=∠AEC；
（2）如图2，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°＝180°，
∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x°+2y°），
∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）
＝180°﹣[180°﹣（3x°+3y°）]
＝3x°+3y°
＝3（x°+y°），
∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）
＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]
＝2x°+2y°
＝2（x°+y°），
∴∠AFC=∠AEC；
（3）若∠AFC=∠EAB，∠ECF=∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是：∠AFC=∠AEC．
故答案为：∠AFC=∠AEC．
例9：如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：
第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，
第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，
第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，
第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．
（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC；
（3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BEnC＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）．
【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．
∵∠BEC＝∠1+∠2，
∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；
（2）如图2．∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴由（1）可得，∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；
（3）如图2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…
以此类推，∠En＝∠BEC，
∴当∠En＝α度时，∠BEC＝2nα°
模型二：“铅笔”模型（也称“U”型模型）
模型二：“铅笔”模型（“U”型）
点P在EF右侧，在AB、 CD内部 “铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
典型例题
例1：一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝135度．
【解析】解：如图，过点B作BF∥CD，
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，
∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，
∴∠1＝45°，∠2＝90°，
∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．
故答案为：135．
例2：如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝215°．
【解析】解：过点E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝35°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝35°+180°＝215°．
故答案为：215°．
例3：如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．
（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；
（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．
①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．
【解析】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．
证明：过点E作EG∥AB．
∴∠B+∠BEG＝180°．
∵AB∥CD，EG∥AB，
∴EG∥CD，
∴∠DEG+∠D＝180°，
∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．
即∠B+∠BED+∠D＝360°；
（2）解：①如图所示：
②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，
∵∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F，
∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，
∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE+∠BED+∠CDE＝180°，
∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，
∴∠BFD=180°－∠BED
例4：如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．
（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．
【解析】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，
∵EN∥AB，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝70°，
∴∠ABE+∠CDE＝290°，
∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，
过点F作FG∥AB，
∵FG∥AB，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴FG∥CD，
∴∠CDF＝∠GFD，
∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；
（2）结论：∠E+6∠M＝360°，
证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴6x+6y+∠E＝360°，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+6∠M＝360°．
例5：实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．
（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝100°，∠3＝　90°；
（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝　90°；
（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）
【解析】解：（1）∵m∥n，
∴∠4+∠2＝180°，
∵∠5＝∠1＝50°，
∴∠4＝80°，
∴∠2＝100°，
∴∠6＝∠7＝40°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝90°，
故答案为：100°；90°；
（2）∵m∥n，
∴∠4+∠2＝180°，
∵∠5＝∠1＝x°，
∴∠4＝180°﹣2x°，
∴∠2＝2x°，
∴∠6＝∠7＝90°﹣x°，
∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣x°﹣90°+x°＝90°，
故答案为：90°；
（3）根据（1）、（2）猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3是90°时，总有m∥n，
证明：∵∠3＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，
∴∠1+∠5+∠6+∠7＝180°，
又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7＝360°，
∴∠4+∠2＝180°，
∴m∥n．
例6：如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝55°；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．
【解析】解：如图所示，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案为55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
模型三：“抬头”模型（也称“靴子”或称“臭脚”模型）
模型三“抬头”模型（“靴子”模型）
点P在EF右侧，在AB、 CD外部 “靴子”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
典型例题
例1：如图，AB//CD，∠P=40°，∠D=100°，则∠ABP的度数是140°.
【解析】过点P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴PM∥AB∥CD，
∴∠MPB=∠ABP，∠D=∠DPM=100°，
∴∠MPB=∠BPD+∠DPM=40°+100°=140°，
∴∠ABP=∠MPB=140°.
例2：已知，AB∥CD.
(1)如图1，求证:∠A-∠C=∠E;
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数.
【解析】（1）证明: 过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠FEA=∠EAB，∠FEC=∠C，
∴∠AEC=∠FEA-∠FEC=∠EAB-∠C，即∠A-∠C=∠E.
（2）解:过点E作EG∥FC，
∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，设∠AEF=∠CEF=，∠ECF=∠FCD=，
∵EG∥FC，
∴∠CEG=∠ECF=， ∠FEG+∠F=180°.
∵∠F=105°，
∴∠FEG=180°-∠F=75°，
∴∠CEG+∠CEF=75°，即 +=75°,
∴2x+2y=150°.
由(1)知，∠A=∠AEC+∠ECD=2x+2y=150°.
例3：已知直线∥，点A，B在直线上(B在A左侧)，点C在直线b上，E点在直线b下方，连接 AE 交直线b于点D.
(1)如图1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC的度数;
(2)如图2，∠BAD 的邻补角的角平分线与∠DEC 的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由.
例4：已知AB∥CD．
（1）如图1，求证：∠EAB＝∠C+∠E；
（2）如图2，点F在∠AEC内且在AB、CD之间，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，请猜想∠F与∠EAB的数量关系并证明；
（3）如图3，点M在AB上，点N在CD上，点E是AB上方一点，点G在AB、CD之间，连接EM、EN，GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．:
【解析】（1）过点E作EF∥DC，
∵BA∥DC，
∴EF∥DC∥AB，
∴∠AEF=∠BAE=110°，∠CEF=∠DCE=45°.
∴∠DEC=∠AEF-∠CEF=110°-45°=65°.
（2）过点M作MF∥BA，过点E作EG∥CD，设∠BAE=，∠ECD=，
∵BA∥CD，
∴MF∥AB∥CD∥EG.
∴∠BAE=∠AEG=，∠DCE=∠CEG=，
∴∠DEC=-.
∵EM平分∠DEC，AM平分∠BAD的邻补角，
∴∠MEC=，∠1==，
∵MF∥AB，
∴∠AMF=∠1=，∠MEG=∠CEG+∠MEC=，
∵MF∥EG，
∴∠FME=∠MEG=，
∴∠AME=∠AMF+∠FME=，
∴∠AME=.
模型四：“骨折”模型（也称“X射线”模型）
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD外部 “骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
例1：如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为70°．
解析：∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFD＝180°，
∵∠A＝110°，
∴∠AFD＝70°，
∴∠CFE＝∠AFD＝70°，
∵∠E＝40°，∠C+∠E+∠CFE＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
故答案为：70°．
例2：如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（D）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解析】解：如图，作EF∥AB，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，
∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，
∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，
∴∠BEC＝55°+30°＝85°．故选：D．
例3：已知：如图，AB∥CD．
（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．
（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】解：（1）∠E＝∠F，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF，
∴∠E＝∠F；
（2）∠1+∠F＝∠BEF+∠2，理由如下：
如图，延长BE交DC的延长线于点M，
在四边形EMCF中，∠FEM+∠EMC+∠MCF+∠F＝360°，
∵∠FEM＝180°﹣∠BEF，∠MCF＝180°﹣∠2，
∴∠180°﹣∠BEF+∠EMC+180°﹣∠2+∠F＝360°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EMC，
∴∠180°﹣∠BEF+∠1+180°﹣∠2+∠F＝360°，
∴∠1+∠F＝∠BEF+∠2
例4：（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°． （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，
由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝
例5：已知AB∥MN．
（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；
（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF交MN于点C．
①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；
②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．
【解答】解：（1）如图，
过E作EH∥MN，
∴∠N＝∠HEN，
又∵MN∥AB，
∴EH∥AB∥MN，
∴∠B＝∠HEB，
即∠B＝∠HEN+∠NEB＝∠N+∠BEN；
（2）①如图，
过F作FP∥EN，交MN于H点，则BG∥EN∥FP，
∵∠N＝57°，
∴∠CHF＝∠CGB＝∠ABG＝57°，
∵BG平分∠ABF，
∴∠ABF＝2∠ABG＝114°，
∵EN∥PF，
∴∠E＝∠EFP，
∵∠E＝∠EFB，
∴114°+∠E＝4∠E，
∴∠E＝38°；
②如图，过点F作FP∥AD，
设∠E＝a＝∠FBD，则∠PFB＝α，∠EFP＝3α，
∴∠ENM＝2a，∠KNM＝，
当K在BG上，∠NKB＝∠EFB＝4a，
∴∠NGB＝＝∠ABG＝∠GBF，
∴，
∴a＝22.5°；
当K在BG延长线上时，∠NGB＝，∠ABG＝，
∴，
∴a＝18°，
综上所述，∠E＝22.5°或18°．