专题6.4 平面向量的运算（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一期末）等于（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·全国·高一专题练习）如图，等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022秋·河南南阳·高一阶段练习）在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·高一课时练习）已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部 B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部
5．（3分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）（2022秋·浙江嘉兴·高一阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022秋·浙江绍兴·高一阶段练习）如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，.若，则实数的值为（ ）
A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5
8．（3分）（2022秋·江苏扬州·高一期中）已知，为不共线的向量，且，，则（ ）
A．共线 B．共线 C．共线 D．共线
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高一课时练习）下列各式中能化简为的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022·高一课时练习）已知A，B，C，是三个不同的点， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．A，B，C三点共线
11．（4分）（2022春·安徽宿州·高三阶段练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（4分）（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若点是边靠近点的三等分点，则
C．若点在边的中线上且，则点是的重心
D．若，则与的面积相等
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）求 ．
14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为，则＝ .(用表示)
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则
．
16．（4分）（2022秋·全国·高一期末）在△AOB中，，AD与BC交手M点，设，在线段AC上取一点F，在线段BD上取一点E，使EF过M点，使，则
．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）计算：
(1)；
(2).
19．（8分）（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，.
20．（8分）（2022秋·高一课时练习）已知G是的重心，M是的中点，过点G作一条直线与边交于点P 与边交于点Q，设，求的值.
21．（8分）（2022秋·湖北襄阳·高一阶段练习）（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.
（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.
22．（8分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.专题6.4 平面向量的运算（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·高一期末）等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的线性运算化简即可求解.
【解答过程】
故选：D.
2．（3分）（2022·全国·高一专题练习）如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的减法原则即可得出答案.
【解答过程】由图可知.
故选：C.
3．（3分）（2022秋·河南南阳·高一阶段练习）在五边形中（如图），下列运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答.
【解答过程】A，，正确；
B，，不正确；
C，，不正确；
D，， 不正确.
故选：A.
4．（3分）（2022·高一课时练习）已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部 B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上 D．点O在的外部
【解题思路】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案.
【解答过程】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．
故选：D.
5．（3分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在矩形中，对角线交于点，则下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】由矩形的几何性质，结合各线段对应向量的关系判断各项的正误.
【解答过程】由图知：，故A错误；不相等，即，故B错误；
，故C错误；，故D正确.
故选：D.
6．（3分）（2022秋·浙江嘉兴·高一阶段练习）在平行四边形中，设为线段的中点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据题意作出图形，将用、的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.
【解答过程】解：由题意作出图形：
在平行四边形中，M为BC的中点，则，
又N为线段AB上靠近A的三等分点，则，
，
故选：B.
7．（3分）（2022秋·浙江绍兴·高一阶段练习）如图，已知中，为的中点，，，交于点，设，.若，则实数的值为（ ）
A．0.6 B．0.8 C．0.4 D．0.5
【解题思路】根据向量线性运算，结合线段关系，用，表示出，，，由平面向量的基本定理，即可求得的值．
【解答过程】因为D为BC的中点，且，，故，即，
又AE=EC，可得，，
又，故，
因为，共线，由平面向量的基本定理可知满足，解得，
故选：D．
8．（3分）（2022秋·江苏扬州·高一期中）已知，为不共线的向量，且，，则（ ）
A．共线 B．共线 C．共线 D．共线
【解题思路】根据，，求出和，再根据与不共线，可得不共线，根据与共线，且有公共点，可得共线，根据与不共线，可得不共线，根据与不共线，可得不共线.
【解答过程】因为，，，
所以，，
因为，为不共线，所以为非零向量，
若存在，使得，
则 ，即，
因为，不共线，所以，即，此方程组无解，
故与不共线，所以不共线，故A不正确；
因为，即与共线，又与有公共点，所以共线，故B正确；
若存在，使得，则，即，
因为，不共线，所以，即，此方程组无解，
故与不共线，所以不共线，故C不正确；
若存在，使得，则，即，
因为，不共线，所以，即，此方程组无解，
故与不共线，所以不共线，故D不正确.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高一课时练习）下列各式中能化简为的有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由向量的加法与减法法则逐一验证即可
【解答过程】对于A：，故A 错误；
对于B： ，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：BCD.
10．（4分）（2022·高一课时练习）已知A，B，C，是三个不同的点， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．A，B，C三点共线
【解题思路】根据向量运算求出即可依次判断.
【解答过程】由题可得，，,
，故A正确；，故B正确；，故C错误；
由可得，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确.
故选：ABD.
11．（4分）（2022春·安徽宿州·高三阶段练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5个顶点构成正五边形）是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系在如图所示的正五角星中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由向量的运算性质逐一计算验证即可判断.
【解答过程】A选项，由图可知，，故A正确；
B选项，，，故B错误；
C选项，∵，∴，故C正确；
D选项，，故D错误．
故选：AC．
12．（4分）（2022春·河南洛阳·高一阶段练习）点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若点是边靠近点的三等分点，则
C．若点在边的中线上且，则点是的重心
D．若，则与的面积相等
【解题思路】A选项转化为，即可判断；B选项转化为，即可判断；C选项，分析可得点为边的中线的中点，即可判断；D选项，可得点在直线上，点与点到边的距离相等即可判断
【解答过程】A若，，即点是边的中点，故正确；
B当时，，点是边靠近点的三等分点，故错误；
C点在边的中线上且，点为边的中线的中点，故不是重心；
D设，，则，，故点在直线上，点与点到边的距离相等，故与的面积相等.
故选：AD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）求 ．
【解题思路】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得；
【解答过程】解：
；
故答案为：.
14．（4分）（2022·全国·高一专题练习）如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为，则＝ .(用表示)
【解题思路】由向量的加法法则可得答案.
【解答过程】.
故答案为：.
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若，则
．
【解题思路】直接由向量的线性运算及图形关系求出的值，即可求解.
【解答过程】由题意可得．因为EFGH是平行四边形，
所以，所以，所以．因为，
所以，，则．
故答案为：.
16．（4分）（2022秋·全国·高一期末）在△AOB中，，AD与BC交手M点，设，在线段AC上取一点F，在线段BD上取一点E，使EF过M点，使，则
7 ．
【解题思路】设，分别利用三点共线和三点共线求出，再利用三点共线和平面向量基本定理可求得结果
【解答过程】解：设，
因为三点共线，所以存在非零实数，使得，
所以，
所以，得，
因为三点共线，所以存在非零实数，使得，
所以，
因为，
所以，所以，
由和，解得，所以，
因为三点共线，
所以存在非零实数，使得，
因为，
所以，消去，得，
所以7，
故答案为：7.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高一课时练习）化简下列各式：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
（2）由向量的加法法则与减法法则求解即可；
【解答过程】（1）
；
（2）
.
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）计算：
(1)；
(2).
【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
（2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.
【解答过程】（1）原式=
.
（2）原式=
.
19．（8分）（2022·高一课前预习）如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，.
【解题思路】根据向量加法和减法的运算法则即可求解.
【解答过程】解：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以，
，
.
20．（8分）（2022秋·高一课时练习）已知G是的重心，M是的中点，过点G作一条直线与边交于点P 与边交于点Q，设，求的值.
【解题思路】根据向量的平行四边形法则以及重心表示可得，再由三点共线即可求解.
【解答过程】由题意可得，
又，即，，
所以，
因为三点共线，
则，即.
21．（8分）（2022秋·湖北襄阳·高一阶段练习）（1）已知，是两个不共线的向量，向量，，求（用，表示）.
（2）设，是不共线的两个非零向量.若与共线，求实数的值.
【解题思路】（1）由平面向量的线性运算求解即可；
（2）由平面向量的共线定理求解即可
【解答过程】（1）∵，，
∴；
（2）由，不共线可知为非零向量，而与共线，
所以存在唯一实数，使得，
因为，不共线，
所以，
解得.
22．（8分）（2023春·北京昌平·高一期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
【解题思路】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；
（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.
【解答过程】（1）由题图，，
.
（2）由，
又，所以，故三点共线.
