专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲）
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以
表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+.
特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有(
)=.
5．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化
成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.
【题型1 向量的加减法运算】
【方法点拨】
向量的加减法运算有如下方法：
(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
(2)运用减法公式-=(正用或逆用均可)；
(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同
起点的向量问题.
【例1】（2023春·北京丰台·高一期末）化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的加法和减法运算即可求解.
【解答过程】因为，
故选：.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）化简得（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用向量的线性运算直接求解.
【解答过程】
.
故选：C.
【变式1-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由向量加法的三角形法则可判断AD，由向量减法的运算法则可判断B，由向量加法的平行四边形法则可判断C.
【解答过程】根据三角形法则可得，所以A错误；
根据向量减法的运算法则可得，所以B错误；
四边形ABCD不一定是平行四边形，所以不一定有，C错误；
根据三角形法则可得正确，所以D正确.
故选：D.
【变式1-3】（2022春·广西南宁·高二开学考试）下列化简结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据向量加减法运算法则计算即可
【解答过程】对A，原式，正确；
对B，原式，正确；
对C，原式，正确；
对D，原式，错误.
故选：D．
【题型2 三角形（平行四边形）法则的应用】
【方法点拨】
根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来即可.
【例2】（2022秋·四川·高三开学考试）如图，向量等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的减法法则可得选项．
【解答过程】由向量的减法得，
故选：A．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，向量等于（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据向量线性运算法则，结合图像即可求解.
【解答过程】等于向量的终点指向向量的终点的向量，如图所示：
分解后易知.
故选：A.
【变式2-2】（2022秋·安徽芜湖·高一期中）如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【解题思路】根据图象求得正确答案.
【解答过程】由图象可知.
故选：D.
【变式2-3】（2022秋·湖南衡阳·高一期末）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由向量加减法运算法则，得到所求向量为，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.
【解答过程】由题意，
得，
故选：C.
【题型3 向量的线性运算】
【方法点拨】
向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要
注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.
【例3】（2022春·新疆喀什·高一阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量运算加减法的运算公式，即可求解.
【解答过程】根据向量运算公式可知，
.
故选：B.
【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由向量的运算可得答案.
【解答过程】.
故选：A.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由平面向量的线性运算方法即可求得答案.
【解答过程】由题意，.
故选：B.
【变式3-3】（2022·高一课时练习）等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用向量的线性运算求解即可.
【解答过程】依题意得：
，
故选：B.
【题型4 用已知向量表示相关向量】
【方法点拨】
用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分
利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化
为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
【例4】（2022·高一课时练习）如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.
【解答过程】
故选：B.
【变式4-1】（2022·高一课时练习）在四边形中，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据向量加法、减法的运算求得.
【解答过程】.
故选：D.
【变式4-2】（2022·新疆·统考三模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答.
【解答过程】在平行四边形ABCD中，依题意，，而，
所以.
故选：D.
【变式4-3】（2022秋·甘肃武威·高一期中）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【解答过程】，
故选：C.
【题型5 向量共线定理的应用】
【方法点拨】
向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得=，则向量
与非零向量共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.
【例5】（2022·高一课时练习）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
【解题思路】由向量的运算可得，进而可得解.
【解答过程】∵，
∴，
∴，
即.
故点P在边AC所在的直线上.
故选：D.
【变式5-1】（2022·高一课时练习）是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
【解题思路】根据共线定理可知即与共线，从而可确定点一定在边所在直线上．
【解答过程】
，
，
，即与共线
∴点一定在边所在直线上.
故选：B．
【变式5-2】（2022春·湖南长沙·高二阶段练习）已知，为不共线的非零向量，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【解题思路】根据给定条件，求出，再利用共线向量逐项判断作答.
【解答过程】，为不共线的非零向量，，，，
则，，
因，则与不共线，，，三点不共线，A不正确；
因，即与共线，且有公共点B，则，，三点共线，B正确；
因，则与不共线，，，三点不共线，C不正确；
因，则与不共线，，，三点不共线，D不正确.
故选：B.
【变式5-3】（2022春·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝ ，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解题思路】取线段BC的中点E，则．动点P满足：，，则．即可判断出结论．
【解答过程】取线段BC的中点E，则．
动点P满足：，，
则
则.
则直线AP一定通过△ABC的重心．
故选：C．
【题型6 向量线性运算在三角形中的运用】
【方法点拨】
结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.
【例6】（2022春·北京大兴·高三期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【解题思路】利用平面向量线性运算法则以及平面向量基本定理，将用表示出来，求出，的值，即可求解．
【解答过程】由题意可得，
因为是平行四边形，所以，所以，所以，
因为，所以，
则．
故选:D.
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可．
【解答过程】五角星中，，，
则，
由于
则，
故选：D.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题思路】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．
【解答过程】解：在如图所示的正五角星中，以，，，，为顶点的多边形为正五边形，且．
在A中，，故A正确；
在B中，，故B错误；
在C中，，故C错误；
在D中，，，
若，则，不合题意，故D错误．
故选：A．
【变式6-3】（2022秋·湖南·高一阶段练习）如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由平面向量的运算法则求解
【解答过程】平行四边形中，
因为，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，，则，
故选：B.专题6.3 平面向量的运算（重难点题型精讲）
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.
2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量减法的定义：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以
表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与
方向规定如下：
①；
②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.
(2)向量的数乘的运算律
设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+.
特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有(
)=.
5．向量共线定理
(1)向量共线定理
向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.
(2)向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化
成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.
【题型1 向量的加减法运算】
【方法点拨】
向量的加减法运算有如下方法：
(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；
(2)运用减法公式-=(正用或逆用均可)；
(3)运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同
起点的向量问题.
【例1】（2023春·北京丰台·高一期末）化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）化简得（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2022春·广西南宁·高二开学考试）下列化简结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 三角形（平行四边形）法则的应用】
【方法点拨】
根据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来即可.
【例2】（2022秋·四川·高三开学考试）如图，向量等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）如图，向量等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022秋·安徽芜湖·高一期中）如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式2-3】（2022秋·湖南衡阳·高一期末）如图，在正方形网格中，向量，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型3 向量的线性运算】
【方法点拨】
向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要
注意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，熟练运用运算律.
【例3】（2022春·新疆喀什·高一阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·高一课时练习）已知，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·高一课时练习）等于（ ）
A． B． C． D．
【题型4 用已知向量表示相关向量】
【方法点拨】
用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分
利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相似三角形对应边成比例等，把未知向量转化
为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
【例4】（2022·高一课时练习）如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·高一课时练习）在四边形中，设，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（2022·新疆·统考三模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（2022秋·甘肃武威·高一期中）如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 向量共线定理的应用】
【方法点拨】
向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得=，则向量
与非零向量共线.解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线.
【例5】（2022·高一课时练习）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（ ）
A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部
C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上
【变式5-1】（2022·高一课时练习）是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
【变式5-2】（2022春·湖南长沙·高二阶段练习）已知，为不共线的非零向量，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【变式5-3】（2022春·上海·高二专题练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝ ，则直线AP一定通过△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【题型6 向量线性运算在三角形中的运用】
【方法点拨】
结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.
【例6】（2022春·北京大兴·高三期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，，，，分别是，，，的中点，若，则等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且，设，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】（2022秋·湖南·高一阶段练习）如图，在平行四边形中，，相交于点，点在线段上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
