专题6.2 平面向量的概念（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（ ）
A．质量 B．功 C．温度 D．力
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
3．（3分）（2022春·河北衡水·高二开学考试）如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022秋·湖南长沙·高一期末）如图，四边形中，，则相等的向量是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
5．（3分）（2022秋·山西大同·高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，（），则与是平行向量
6．（3分）（2022·江苏·高一专题练习）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
7．（3分）（2022秋·山东聊城·高一期中）下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（3分）（2022秋·宁夏·高一阶段练习）有下列命题：
①若，则；
②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则；
④若，，则.
其中，假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·广东东莞·高一阶段练习）下列说法中错误的是
A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上
B．零向量与零向量共线
C．若，则
D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
10．（4分）（2022秋·江西九江·高一期末）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
11．（4分）（2022·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等 B．
C．向量共线 D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·高一课时练习）下列各量中，是向量的是 .（填序号）
①密度；②体积；③重力；④质量.
14．（4分）（2021秋·高一课时练习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 .
15．（4分）（2022·高一课时练习）如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有 ．（填序号）
①；②；③与共线；④．
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有 个.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋·高一课时练习）判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量 与 同向，且，则；
（2）若向，则 与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量，若 与的方向相同，则 =；
（4）由于 方向不确定，故 不与任意向量平行；
（5）向量 与平行，则向量 与方向相同或相反．
18．（6分）（2022·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
19．（8分）（2022·高一课时练习）如图,在中,已知向量,,求证:.
20．（8分）（2022·高一课时练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
21．（8分）（2022·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
22．（8分）（2022秋·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.专题6.2 平面向量的概念（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一阶段练习）下列物理量中哪个是向量（ ）
A．质量 B．功 C．温度 D．力
【解题思路】根据向量的定义判断即可．
【解答过程】质量、功、温度只有大小没有方向不是向量，故ABC错误，
力既有大小又有方向，是向量，故D正确，
故选：D．
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量不可能是共线向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【解题思路】根据单位向量、共线向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】一个单位长度取时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；
根据单位向量的知识可知，B选项正确；
方向为北偏西30°的向量与南偏东30°的向量是一对方向相反的向量，
因此是平行向量，所以两向量为共线向量，故C错误；
根据位移的定义可知，向量表示这个人从A点到B点的位移，所以D错误.
故选：B.
3．（3分）（2022春·河北衡水·高二开学考试）如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解.
【解答过程】解：由题意，四边形是等腰梯形得，且，，
所以选项A错误，选项B正确，
又向量不能比较大小，
所以选项C，D错误，
故选：B.
4．（3分）（2022秋·湖南长沙·高一期末）如图，四边形中，，则相等的向量是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【解题思路】判断出四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质以及相等向量的定义可得出合适的选项.
【解答过程】因为在四边形中，，
则四边形为平行四边形，
故，，，，
故选：D.
5．（3分）（2022秋·山西大同·高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，（），则与是平行向量
【解题思路】根据相等向量，共线向量的定义判断可得；
【解答过程】解：对于，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以错误；
对于，当时，其模长与可能相等或 ，或 ，所以错误；
对于，当时，不一定有，因为要且与同向，所以错误；
对于，，（），则与是平行向量，正确．
故选：．
6．（3分）（2022·江苏·高一专题练习）下列关于向量的结论：（1）任一向量与它的相反向量不相等；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则.其中正确的序号为
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
【解题思路】根据向量的概念逐一判断即可.
【解答过程】解：零向量与它的相反向量相等，故（1）错误；
当向量为零向量时，其方向是任意的，不能说与的方向相同或相反，故（2）错误；
相等向量是方向相同且模相等的向量，故（3）正确；
向量是既有大小又有方向的量，向量只能相等，不能比较大小，故（4）错误.
故选：D.
7．（3分）（2022秋·山东聊城·高一期中）下列命题中正确的个数是（ ）
①起点相同的单位向量，终点必相同；
②已知向量，则四点必在一直线上；
③若，则；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】由平面向量的概念对选项逐一判断，
【解答过程】对于A，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A错误，
对于B，向量，则四点共线或，故B错误，
对于C，若，当时，不一定平行，故C错误，
对于D，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D错误，
故选：A.
8．（3分）（2022秋·宁夏·高一阶段练习）有下列命题：
①若，则；
②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则；
④若，，则.
其中，假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可.
【解答过程】，则的方向不确定,则不一定相等, ①错误;
若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,②错误;
若,,则,③正确；
若，，则时,不一定成立,所以④错误.
综上,假命题的是①②④,共3个.
故选:C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·广东东莞·高一阶段练习）下列说法中错误的是
A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上
B．零向量与零向量共线
C．若，则
D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
【解题思路】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.
【解答过程】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；
零向量与任一向量共线，故B正确；
若，则，故C正确；
温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误.
故选：AD.
10．（4分）（2022秋·江西九江·高一期末）如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【解题思路】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.
【解答过程】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，
故选：AD.
11．（4分）（2022·高一课时练习）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
D．“”的充要条件是“且”
【解题思路】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.
【解答过程】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；
对于B，由平面向量相等可得B正确；
对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形；
当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确；
对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误；
故选：BC.
12．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等 B．
C．向量共线 D．
【解题思路】对于ABD，通过计算向量的模进行判断即可，对于C，通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线
【解答过程】对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，
对于D，因为，所以D错误，
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·高一课时练习）下列各量中，是向量的是 ③ .（填序号）
①密度；②体积；③重力；④质量.
【解题思路】由向量的概念判断即可.
【解答过程】向量指具有大小和方向的量.①②④仅有大小，没有方向；③既有大小又有方向.
故答案为：③.
14．（4分）（2021秋·高一课时练习）在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 .
【解题思路】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论．
【解答过程】如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此是船在静水中的航行方向，， ，则，
，
故该船行驶的航程为.
故答案为：．
15．（4分）（2022·高一课时练习）如图所示，设是正方形的中心，则下列结论正确的有 ①②③ ．（填序号）
①；②；③与共线；④．
【解题思路】利用正方形的几何性质结合相等向量、共线向量的定义判断可得出结论.
【解答过程】对于①，与方向相同，长度相等，则，则①正确；
对于②，因为、、三点共线，则，则②正确；
对于③，，则与共线，则③正确；
对于④，、方向不相同，故，则④错误.
故答案为：①②③.
16．（4分）（2023·全国·高三专题练习）下列五个命题：
①向量与共线，则必在同一条直线上；
②如果向量与平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是；
④若，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有 0 个.
【解题思路】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤.
【解答过程】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错；
对于②，若为零向量，零向量与任意向量平行，故②错；
对于③，，则四点可能共线，故③错；
对于④，，只能说明、的长度相等但确定不了方向，故④错；
对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错.
所以正确的命题有0个，
故答案为：0.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋·高一课时练习）判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量 与 同向，且，则；
（2）若向，则 与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量，若 与的方向相同，则 =；
（4）由于 方向不确定，故 不与任意向量平行；
（5）向量 与平行，则向量 与方向相同或相反．
【解题思路】（1）根据平面向量的定义判断.（2）只能判断两向量长度相等，方向不确定.（3）根据平面向量的定义判断.（4）规定：与任意向量平行（5）考虑零向量的情况.
【解答过程】（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
（3）正确．因为|，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =
（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．
（5）不正确．因为向量 与若有一个是零向量，则其方向不定．
18．（6分）（2022·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【解题思路】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【解答过程】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
19．（8分）（2022·高一课时练习）如图,在中,已知向量,,求证:.
【解题思路】先证明四边形是平行四边形,再证明即可.
【解答过程】证明 ∵,∴D为的中点.
∵,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∴E为的中点,
∴,
∴.
20．（8分）（2022·高一课时练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
（1）作出向量，，；
（2）求 的模．
【解题思路】（1）利用方位根据向量的定义作出向量.
（2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解.
【解答过程】（1）作出向量，，；如图所示：
（2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米，
所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，
所以AD＝＝(米)，
所以米.
21．（8分）（2022·高一课时练习）如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，
（1）与向量相等的向量；
（2）与向量共线的向量；
（3）与向量平行的向量.
【解题思路】（1）利用相等向量定义可得解；
（2）利用共线向量定义可得解；
（3）利用平行向量定义可得解.
【解答过程】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，；
（2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，；
（3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，.
22．（8分）（2022秋·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
（1），使||＝4，点A在点O北偏东45°；
（2），使＝4，点B在点A正东；
（3），使＝6，点C在点B北偏东30°.
【解题思路】（1）由点A在点O北偏东45°处和||＝，可得出点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，可作出向量；
（2）由点B在点A正东方向处，且＝4，得出在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，可作出向量；
（3）由点C在点B北偏东30°处，且＝6，再由勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，作出向量．
【解答过程】（1）由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如下图所示．
（2）由于点B在点A正东方向处，且＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如下图所示．
（3）由于点C在点B北偏东30°处，且＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如下图所示．
