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第12讲 抛物线的方程与性质
【课堂训练】
题型1 抛物线的定义
1.已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
2.抛物线的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
3.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
4.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5.已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
6.已知点在抛物线上，为焦点，点，则的最小值为 .
【答案】6
7.已知动圆过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
【答案】
8.设抛物线上一点到焦点的距离为2，则该抛物线C的焦点坐标为 .
【答案】
题型2直线与抛物线的位置关系
9.若直线：经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线的焦点为 B．
C．抛物线的准线为 D．
【答案】C
10.直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
11.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A，B（其中A在x轴上方），A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4.
【答案】A
13.过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
【答案】B
14.设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
15.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为 .
【答案】
16.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为 .
【答案】9
17.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且.则的面积为 .
【答案】
18.已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为 .
【答案】
19.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．
【答案】（1）；（2）1，8.
【详解】（1）因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，
的方程为．
（2）设，则，
两式相减得，， ，
联立，消去整理得，，
∵直线过抛物线的焦点，．
20.已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点 的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．求直线的斜率．
【答案】
【详解】设，，
∵点为抛物线上的一点，∴，解得，∴，
同时，有，，，
同理，，
∵直线的斜率与直线的斜率互为相反数，∴，即，
，故直线的斜率为
【课后作业】
1.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点F到准线l的距离为1 B．焦点F的坐标为
C．准线l的方程为 D．对称轴为x轴
【答案】C
2.若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
3.已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
4.已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）.
A． B． C．或 D．4或
【答案】C
5.已知抛物线，点为抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6.已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
7.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
8.已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为. 若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
9.（多选）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4
C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】BD
10.（多选）设抛物线的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
11.（多选）已知抛物线的焦点为，P为C上的一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8
C．的最小值为4 D．的最小值为9
【答案】CD
12.（多选）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（ ）
A．没有最大值也没有最小值 B．
C． D．
【答案】BCD
13.写出一个同时满足以下条件的抛物线的方程为 ．
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点到其准线的距离为
【答案】（答案不唯一）
14.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 .
【答案】
15.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，且，则抛物线的方程为 ．
【答案】
16.已知抛物线： ，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为 ．
【答案】
17.已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为 (2)
【详解】（1）由题意得，解得.从而得到抛物线的方程为，准线方程为；
（2）设，，由得，
∴，，，∴
所以的值为.
18.已知椭圆C:=1的焦点在x轴上，右顶点A为抛物线的焦点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知点，若斜率为的动直线与椭圆C交于不同的两点M,N，求最小值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由抛物线，知其焦点为，故椭圆C中，
所以椭圆C的方程为
（2）由题意,可设直线方程为，
由，得，
因为动直线与椭圆C交于不同的两点，
所以，解得，
设，则，
所以
，
因为，，
所以
，
因为，
所以当时，取得最小值，
最小值为
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第12讲 抛物线的方程与性质
一．抛物线的定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离 的点的轨迹称为抛物线.
二．抛物线的性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
焦点
离心率 e＝
准线方程
焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋
通径
三．直线与抛物线的位置关系
1.联立y＝kx＋m与y2＝2px，消y得：k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.
交点个数 Δ的取值
没有交点(相离) k≠0且Δ＜0
只有一个交点(相交或相切) 相交：k＝0，相切：Δ＝0
有两个交点(相交) k≠0且Δ＞0
2.
弦长|AB|＝·＝·.
3.与焦点弦有关的常用结论
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝ . (3) (θ为AB与对称轴夹角)
(4)＋＝ . (5) . (6)A、O、D共线，B、O、C共线
(7)以AB为直径的圆与 相切,以CD为直径的圆与 相切．
(8)以AF或BF为直径的圆与 相切．
【课堂训练】
题型1 抛物线的定义
1.已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2.抛物线的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5.已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．
6.已知点在抛物线上，为焦点，点，则的最小值为 .
7.已知动圆过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为 .
8.设抛物线上一点到焦点的距离为2，则该抛物线C的焦点坐标为 .
题型2直线与抛物线的位置关系
9.若直线：经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法中错误的是（ ）
A．抛物线的焦点为 B．
C．抛物线的准线为 D．
10.直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于，且，则（ ）
A． B． C． D．
12.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点A，B（其中A在x轴上方），A，B两点在抛物线的准线上的投影分别为M，N，若，，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
13.过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
14.设斜率为2的直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
A． B．
C． D．
15.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 .
16.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为 .
17.已知抛物线的焦点为F，过F的直线与E交于A，B两点，且.则的面积为 .
18.已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为 .
19.已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．
20.已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．求直线的斜率．
【课后作业】
1.已知抛物线，其焦点为F，准线为l，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点F到准线l的距离为1 B．焦点F的坐标为
C．准线l的方程为 D．对称轴为x轴
2.若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3.已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，O为原点，若为等腰三角形，则点A的横坐标可能为（ ）
A．2 B． C． D．
4.已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点与点间的距离为3，则（ ）.
A． B． C．或 D．4或
5.已知抛物线，点为抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
6.已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
8.已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，过作的垂线，垂足为. 若，则（ ）
A． B． C． D．
9.（多选）直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4
C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切
10.（多选）设抛物线的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可能为（ ）
A． B．
C． D．
11.（多选）已知抛物线的焦点为，P为C上的一动点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．当PF⊥x轴时，点P的纵坐标为8
C．的最小值为4 D．的最小值为9
12.（多选）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（ ）
A．没有最大值也没有最小值 B．
C． D．
13.写出一个同时满足以下条件的抛物线的方程为 ．
①的顶点在坐标原点；②的对称轴为坐标轴；③的焦点到其准线的距离为
14.在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 .
15.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交准线于点，若，且，则抛物线的方程为 ．
16.已知抛物线： ，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为 .
17.已知抛物线，点在抛物线上且到焦点的距离为2.
(1)求抛物线的方程，并求其准线方程；
(2)已知，直线与抛物线交于两点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
18.已知椭圆C:=1的焦点在x轴上，右顶点A为抛物线的焦点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知点，若斜率为的动直线与椭圆C交于不同的两点M,N，求最小值.
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