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第1讲 空间向量的线性运算及数量积
1、空间向量的概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模
单位向量 长度为 的向量
零向量 长度为 的向量
相等向量 方向 且模 的向量
相反向量 方向 且模 的向量
2、空间向量的表示
空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为 |a|或||.
3、空间向量的加、减法运算、数乘运算
a＋b=＋＝ ；
a- b＝－＝ .
当λ>0时，λa与a方向 ；当λ<0时，λa与a方向 ；λ＝0时，λa＝ .
交换律a＋b＝ ；结合律(a＋b)＋c＝ ；
分配律λ(a＋b)＝ ，(λ＋μ)a＝ .
4、共线向量
(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或 .
(2)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使 .
5、方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量成为直线l的方向向量.也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定.
6、共面向量
定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.
(1)若向量a，b，c共面，则
(2)若A，B，C，D四点共面，则
7、空间向量的夹角
(1)设＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作 ．
(2)a，b为非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a与b的夹角的范围是 ．
当〈a，b〉＝0时，a与b方向 ；
当〈a，b〉＝π 时，a与b方向 ；
当〈a，b〉＝ 时，a与b ．反之，若a∥b，则〈a，b〉＝ ．
8、空间向量数量积
(1)概念：a·b＝ ．
(2)投影向量：向量a在向量b上的投影向量是 ．
(3)性质：a⊥b ，|a|2＝ ， |a|＝，cos〈a，b〉＝
(4)运算律：λ(a·b)＝(λa)·b，a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c
注意：(a·b)·c≠a·(b·c)．
【课堂训练】
题型1空间向量的有关概念
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
2. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
题型2空间向量的加减运算
3.如图，在三棱锥中，设，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4.如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
6.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则= ．
题型3判定空间向量共面
7.下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
8.在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
9.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ）
A． B． C． D．
题型4空间向量数量积的概念
10.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
11.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
12.给出下列四个命题，其中正确的有
（1）若空间向量，满足，则；
（2）空间任意两个单位向量必相等；
（3）对于非零向量，由，则；
（4）在向量的数量积运算中．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
13.(多选题)如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
14.(多选题)设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
题型5空间向量数量积的应用
15.在长方体中，，，则（ ）
A．3 B．13 C．4 D．9
16.已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
17.棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)求．
(2)求FH的长．
18.如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
【课后作业】
1.下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
2.如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
4.如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
5.四面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
7.已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
8.(多选题)正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
9.(多选题)下列说法中正确的是（ ）
A．是共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有 ，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
10.已知，，三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中，是实数，若点与，，四点共面，则___________.
11.如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
12.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
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第1讲 空间向量的线性运算及数量积
【课堂训练】
题型1空间向量的有关概念
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
2. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】C
题型2空间向量的加减运算
3.如图，在三棱锥中，设，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4.如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
6.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则= ．
【答案】
题型7判定空间向量共面
7.下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
【答案】A
8.在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
9.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
题型4空间向量数量积的概念
10.已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
11.对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
【答案】B
12.给出下列四个命题，其中正确的有
（1）若空间向量，满足，则；
（2）空间任意两个单位向量必相等；
（3）对于非零向量，由，则；
（4）在向量的数量积运算中．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】A
13.如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
14.设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
题型5空间向量数量积的应用
15.在长方体中，，，则（ ）
A．3 B．13 C．4 D．9
【答案】D
16.已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
17.棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)求．
(2)求FH的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意，，，
则
，
，
，
所以；
（2）
，
所以
，
所以FH的长为.
18.如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
【答案】(1)；.(2).
【详解】（1）连结.在直三棱柱中，，，，
则.
.
（2）如图，在直三棱柱中，，，，所以，，又，
所以，，.
，
所以.
【课后作业】
1.下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
2.如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3.已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
4.如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5.四面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6.如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
7.已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
8.(多选)正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
9.(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．是共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有 ，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
【答案】CD
10.已知，，三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中，是实数，若点与，，四点共面，则___________.
【答案】
11.如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
【答案】
12.如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【答案】(1)； (2).
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