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第2讲 空间向量基本定理与坐标表示
【课堂训练】
题型1空间向量基底概念及辨析
1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
【答案】C
2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
题型2用空间基底表示向量
3. 已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
【答案】C
4. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
题型3空间向量基本定理及应用
5．如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
题型4空间向量的坐标表示
6．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
7.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标和的模长分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8.在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
题型5空间向量数量积的坐标表示
9.已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
10.已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2） B．
C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
【答案】BCD
题型6利用空间向量的坐标运算
11．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
12.(多选题）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
13．已知空间向量，，，若，则______．
【答案】
题型7利用空间向量求夹角和距离(长度)
14．已知向量，，且，的夹角为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
15．已知，，，则________.
【答案】2
16．已知，单位向量满足，则_________．
【答案】或
17．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【答案】(1)； (2).
【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．，∴
∴．所以的距离为.
（2）依题意得，，，，∴，，
，，，∴．
【课后作业】
1．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.与向量共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3.已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4.已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
【答案】A
5.在空间直角坐标系中，已知点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
6.下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
7.已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
8.已知向量，若，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
9.在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点和不共线的三点,,,若,则,,,四点共面
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
10.(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．若，则的夹角是钝角
C．已知，，若与垂直，则
D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面
【答案】ACD
11.已知空间向量，则（ ）
A． B．是共面向量
C． D．
【答案】ABC
12.(多选)如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A．
B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为
D．若，则面积的最小值为
【答案】ACD
13.若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
【答案】
14.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）以为原点，分别以射线 为轴 轴 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
所以，则.
（2）由（1）知，，
所以；
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第2讲 空间向量基本定理与坐标表示
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c ，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 . 其中{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量．
二．单位正交基底
空间一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解．
三．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点, i，j，k都叫做坐标向量.
对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).
四．空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
向量运算 坐标表示
加法 a＋b＝
减法 a－b＝
数乘 λa＝
数量积 a·b＝
空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a∥b a＝λb(λ∈R)
a⊥b a·b＝0
模 |a|＝
夹角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝
【课堂训练】
题型1空间向量基底概念及辨析
1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B．直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底
D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ）
A． B． C． D．
题型2用空间基底表示向量
3. 已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
4. 在平行六面体中，，记向量，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
题型3空间向量基本定理及应用
5.(多选)如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
题型4空间向量的坐标表示
6．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标和的模长分别为（ ）
A． B． C． D．
8．在空间直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
题型5空间向量数量积的坐标表示
9．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2） B．
C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
题型6利用空间向量的坐标运算
11．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
12．(多选题）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知空间向量，，，若，则______．
题型7利用空间向量求夹角和距离(长度)
14．已知向量，，且，的夹角为，则=（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，，则________.
16．已知，单位向量满足，则_________．
17．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【课后作业】
1.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
2.与向量共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4.已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
5.在空间直角坐标系中，已知点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
6.下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8.已知向量，若，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
9.在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点和不共线的三点,,,若,则,,,四点共面
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10.(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B．若，则的夹角是钝角
C．已知，，若与垂直，则
D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面
11.(多选)已知空间向量，则（ ）
A． B．是共面向量
C． D．
12.(多选)如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A．
B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为
D．若，则面积的最小值为
13.若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
14.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．
(1)求；
(2)求．
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