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第3讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系
【课堂训练】
题型1求平面的法向量
1.已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
题型2直线和直线平行
3.在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】A
4.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
题型3利用空间向量证明线面平行
5.设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内 B．不能确定
C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】A
6.(多选题）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AD
题型4平面和平面平行
7.（多选题）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合），并且直线均不在平面内，那么下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
8.（多选题）在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】BCD
题型5证明线线垂直
9.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．平面 B．存在点，使平面
C．存在点，使 D．
【答案】D
题型6直线和平面垂直
10.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，.
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的长.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）∵，
∴，，∴，，
即AP⊥AB且AP⊥AD，
又∵AB∩AD＝A，平面ABCD∴AP⊥平面ABCD.
（2）∵，
∴，，∴．
11.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
题型7平面和平面垂直
12.在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．平面 D．平面
【答案】B
【课后作业】
1.如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
2.有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
3.已知向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
4.如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直
【答案】D
5.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
【答案】C
6.如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在平面与直线垂直
B．四边形可能是正方形
C．不存在平面与直线平行
D．任意平面与平面垂直
【答案】D
7.(多选)在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．是平面的一个法向量 B．是平面的一个法向量
C． D．
【答案】ABD
8.(多选)下列利用方向向量 法向量判断线 面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】AC
9.(多选)如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（ ）
A．当时，平面
B．平面与平面的交线垂直于
C．直线，与平面所成角相等
D．点在平面内的射影在正方体的内部
【答案】BC
10.在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________.
【答案】
11.放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
【答案】
12.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．
【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以，，，，
设是平面EFG的法向量，
则，，即，得，
令，则，，所以，
设是平面PBC的法向量，
由，，即，得，
令，则，，所以，
所以，所以平面EFG∥平面PBC．
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE∥平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，则，
所以为平面PAD的一个法向量，
又，所以BE⊥AB，
又平面PAD，所以BE∥平面PAD．
（2）由（1）知平面PAD的法向量，，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，令y＝1，可得z＝1，所以，
又，
所以，所以平面PAD⊥平面PCD．
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第3讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系
一．空间中点、线、面的向量表示
点P的 位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量表示
空间直线的 向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋ta，也可以表示为＝＋t
空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝ xa＋yb.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y
二．直线的方向向量与平面的法向量
1.直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．
2.平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
三．空间中平行关系的向量表示
线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(x1，y1，z1)，u2＝(x2，y2，z2)，则l1∥l2 u1∥u2
线面平行 设l的方向向量为u＝(x1，y1，z1)，α的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则l∥α u·n＝0
面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)， 则α∥β n1∥n2
三．空间中垂直关系的向量表示
线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(x1，y1，z1)，直线l2的方向向量为v＝(x2，y2，z2))，则l1⊥l2 u·v＝0
线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(x1，y1，z1)，平面α的法向量是n＝(x2，y2，z2)， 则l⊥α u∥n u＝λn
面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面β的法向量n2＝(x2，y2，z2))， 则α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
【课堂训练】
题型1 求平面的法向量
1.已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型2 直线和直线平行
3.在正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
4.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
题型3 利用空间向量证明线面平行
5.设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内 B．不能确定
C．相交但不垂直 D．垂直
6.(多选题）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型4 平面和平面平行
7（多选题）已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合），并且直线均不在平面内，那么下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
8.（多选题）在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
题型5证明线线垂直
9.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．平面 B．存在点，使平面
C．存在点，使 D．
题型6直线和平面垂直
10.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，.
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的长.
11.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A． B． C． D．
题型7平面和平面垂直
12.在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．平面 D．平面
【课后作业】
1.如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.已知向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.如图，在三棱柱中，平面．，，分别为的中点，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交且不垂直
5.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
6.如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在平面与直线垂直
B．四边形可能是正方形
C．不存在平面与直线平行
D．任意平面与平面垂直
7.(多选)在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．是平面的一个法向量 B．是平面的一个法向量
C． D．
8.(多选)下列利用方向向量 法向量判断线 面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线的方向向量分别是，则
B．直线的方向向量，平面的法向量是，则
C．两个不同的平面的法向量分别是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
9.(多选)如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（ ）
A．当时，平面
B．平面与平面的交线垂直于
C．直线，与平面所成角相等
D．点在平面内的射影在正方体的内部
10.在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为_________.
11.放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：
（1）直线BC的一个方向向量___________；
（2）点OD的一个方向向量___________；
（3）平面BHD的一个法向量___________；
（4）的重心坐标___________.
12.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC．
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE∥平面PAD；
(2)平面PCD⊥平面PAD．
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