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第4讲 用空间向量研究距离、夹角问题
【课堂训练】
题型1点到直线的距离
1.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
题型2点到平面的距离
2.在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
3.如图，在正方体中，棱长为2，点分别为棱 中点，则点到平面的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
4.（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（ ）
A．平面 B．平面与平面相交
C．点О到直线的距离为 D．点O到平面的距离为
【答案】BC
题型3.异面直线间的距离
5.（多选题）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
【答案】ABD
6.（多选题）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离为
B．直线到直线的距离为
C．点到平面的距离为
D．直线到平面的距离为
【答案】BD
题型4.平面与平面间的距离
7.在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】A
8.两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A． B． C． D．
【答案】B
题型5异面直线所成的角
9.如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10.在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】D
11.如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
题型6求直线与平面所成的角
12.如图，在直三棱柱中，棱长均为．，，分别为，，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
13.（多选题）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
题型7两平面的夹角
14.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（ ）
A．120° B．45° C．150° D．60°
【答案】B
15.在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
16.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）证明：由题知且，所以为等边三角形，
则，
又由四边形为梯形，，则，
在中，，
所以，即，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：若O为中点，，则，
由（1）得平面平面，平面平面，平面，
则平面，
连接，则，且平面，所以，，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，分别为为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
设且，则，由平面的一个法向量为，
可得，解得，
因为，所以，可得，
所以，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，可得，所以
则，
由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【课后作业】
1.在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
2.如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4.已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
5.在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
6.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】C
7.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
8.在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．
C．三棱锥外接球的表面积为
D．平面与平面的距离为
【答案】A
9.(多选)如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得平面
B．存在点M，使得∥平面
C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为
D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为
【答案】BCD
10.(多选)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为
【答案】ABD
11.(多选)已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．点到平面距离的取值范围是
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ACD
12.(多选)在棱长为2的正方体中，，分别是棱BC，的中点，点满足，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则平面MPQ
B．若，则过点，，的截面面积是
C．若，则点到平面MPQ的距离是
D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
【答案】BD
13.(多选)已知正方体的棱长为，点，分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成角的正弦值是
B．点到平面的距离是
C．平面与平面间的距离为
D．点到直线的距离为
【答案】ACD
14.已知，，则的最大值为
【答案】
15.如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则
【答案】
16.如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则的坐标为______，______.
【答案】 / /
17.如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）取线段的中点，连接，记，连接，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由题意可知四边形是矩形，则是的中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，且，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
（2）取棱的中点，以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，所以，
故点到平面的距离．
18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，若，．
(1)证明：平面平面；
(2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，设为直线BP与平面ABCD所成角，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）在中，，
为直角三角形且，
又底面是矩形，则，
，且均含于面QAD内平面，
又平面，平面平面；
（2）在平面内，取中点为，过点作，交于点，，，
由题意可得平面，且平面，
则，直线两两互相垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设，
则，，
又，
则，
，，
与平面所成角的正弦值的取值范围为．
19.如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）因为是⊙O的直径，所以，因为，，
所以，又因为，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
又因为平面ACD，，所以平面
（2）因为，，，所以，
所以，因为平面，平面，所以，
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则，，，．
显然，是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则
令，则，所以，
设二面角所成角为，，
则，
所以二面角的正弦值为
20.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）如图，连接，由题意知为的直径，所以，
因为是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以，又因为平面，
所以平面；
（2）由（1）知两两相互垂直，
如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
由（1）知平面，故平面的法向量可取为.
设平面的法向量为，由，，
则有，可取
设二面角的平面角为，
则，
由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为.
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第4讲 用空间向量研究距离、夹角问题
一．空间距离的向量求法
分类 向量求法
两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB|＝
点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P l，设＝a，则点P到直线l的 距离d＝
点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P α，则点P到平面α的距离为d＝
二．空间角的向量求法
角的分类 向量求法 范围
两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则 ＝|cos|＝
直线l与平面α 所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 ＝|cos|＝
平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 ＝|cos|＝
【课堂训练】
题型1点到直线的距离
1.已知空间直角坐标系中的三点，，，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
题型2点到平面的距离
2.在空间直角坐标系中，已知，且平面的法向量为，则到平面的距离等于（ ）
A． B．4 C． D．
3.如图，在正方体中，棱长为2，点分别为棱 中点，则点到平面的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
4.（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（ ）
A．平面 B．平面与平面相交
C．点О到直线的距离为 D．点O到平面的距离为
题型3.异面直线间的距离
5.（多选题）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（ ）
A．与垂直
B．是异面直线与的公垂线段，
C．异面直线与所成的角为
D．异面直线与间的距离为
6.（多选题）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（ ）
A．点到直线的距离为
B．直线到直线的距离为
C．点到平面的距离为
D．直线到平面的距离为
题型4.平面与平面间的距离
7.在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（ ）
A． B．1
C． D．
8.两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
题型5异面直线所成的角
9.如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10.在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．2
11.如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型6求直线与平面所成的角
12.如图，在直三棱柱中，棱长均为．，，分别为，，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
13.（多选题）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
题型7两平面的夹角
14.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的大小是（ ）
A．120° B．45° C．150° D．60°
15.在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
16.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.
【课后作业】
1.在空间直角坐标系中，已知，则A到的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
2.如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4.已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A． B． C．3 D．
5.在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（ ）
A．2 B． C．4 D．1
7.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（ ）
A． B． C． D．
8.在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．
C．三棱锥外接球的表面积为
D．平面与平面的距离为
9.(多选)如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得平面
B．存在点M，使得∥平面
C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为
D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为
10.(多选)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为
11.(多选)已知正方体的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角的大小为
C．点到平面距离的取值范围是
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
12.(多选)在棱长为2的正方体中，，分别是棱BC，的中点，点满足，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则平面MPQ
B．若，则过点，，的截面面积是
C．若，则点到平面MPQ的距离是
D．若，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
13.(多选)已知正方体的棱长为，点，分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成角的正弦值是
B．点到平面的距离是
C．平面与平面间的距离为
D．点到直线的距离为
14.已知，，则的最大值为
15.如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则
16.如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则的坐标为______，______.
17.如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求点到平面的距离．
18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，若，．
(1)证明：平面平面；
(2)若分别是的中点，动点P在线段EF上移动，设为直线BP与平面ABCD所成角，求的取值范围．
19.如图，内接于⊙O，为⊙O的直径，，，，为的中点，且平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的正弦值．
20.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
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