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第6讲 直线的一般式方程和距离公式
【课堂训练】
题型1直线的一般式方程
1.下列直线中，倾斜角最大的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
2.下列说法中不正确的是（ ）．
A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示
B．当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点
C．当，，时，方程表示的直线与x轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
【答案】D
3.经过点，且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5.已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
题型2两点间的距离
6.已知点，，，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7.（多选题）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
【答案】BCD
题型3直线过定点问题
8.已知满足，则直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
9.若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10.（多选）两直线，与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
题型4两点间的距离公式求最值
11.过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
13.的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
14.设实数满足，则的最小值等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
题型5点到直线的距离
15.已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
16.若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是 ( ）
A． B． C． D．
【答案】A
17.设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
题型6 直线的对称问题
18.一束光线从点出发，经直线:上一点反射后，恰好穿过点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
19.两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
20.已知在中，其中，的平分线所在的直线方程为，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
题型7两平行线间的距离
21.已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．不确定
【答案】A
22.若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
【答案】C
23.已知点，在直线和上分别找一点M和N，使的周长最短，则最短周长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【课后作业】
1.不论为何实数，直线恒过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
2.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0平行的直线l的方程为（ ）
A．3x－4y＋8＝0 B．3x－4y＋6＝0
C．4x＋3y－6＝0 D．4x＋3y＋6＝0
【答案】A
3.点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
4.若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
【答案】B
5.已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．
【答案】B
6.过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
7.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
8.直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9.已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10.已知的三个顶点分别是，，，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于（ ）．
A．5 B． C． D．
【答案】A
11.(多选)已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
12.(多选)已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（ ）
A．点的坐标是或
B．三角形的面积等于
C．斜边的中点坐标是
D．点关于直线的对称点是
【答案】ACD
13.(多选)已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
14.点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为 ．
【答案】.
15.点关于直线的对称点是_________.
【答案】
16.函数的最小值为____________．
【答案】
17.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线的方程为____________.
【答案】2x－3y－9＝0
18.已知，是分别经过，两点的两条平行直线，当，之间的距离最大时，直线的方程是____________.
【答案】
19.已知分别过和两点作两条平行线，并使它们之间的距离为3，求这两条直线的方程．
【答案】，，或，．
【详解】当两直线的斜率不存在时，方程分别为，，不满足题意；
当两直线的斜率存在时，设所求两平行直线方程分别为与，即，．
它们之间的距离为3，，解得，或
这两条直线的方程为，，或， ，
即，，或，
20.已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
【答案】（1）(－2,7)；（2）7x＋y＋22＝0；（3）3x－y－5＝0.
【详解】(1)设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)，
因为kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.（1）
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
所以3×＋3＝0. （2）
由（1）（2）得
把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7，
所以点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用（3）（4）分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l对称的直线方程为，
化简得7x＋y＋22＝0.
(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，
所以，x′＝2，，y′＝1，所以M′(2,1)．
l关于(1,2)的对称直线平行于l，所以k＝3，
所以对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，
即3x－y－5＝0.
21.过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.
(1)求面积的最小值以及面积最小时直线的方程;
(2)是否存在直线，使的周长为12，若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.
【答案】(1)最小值为，
(2)存在， 或
【详解】（1）设 ，则直线，
直线过点 ， 则
故，故 ，
当且仅当，即时取得等号，此时直线，
故，此时直线的方程为.
（2）假设存在满足条件的直线 ，
由已知有 解得 或
故存在满足条件的直线 或
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第6讲 直线的一般式方程和距离公式
一．直线的一般式方程
1.定义：关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
2.适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
3.当B≠0时，则k＝ ；
4.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
(3)经过两直线l1，l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数，在此方程中，无论λ取什么实数，都不能表示直线 .
5.两直线的位置关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
二．两点间的距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ .
三．点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
四．两平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ .
【课堂训练】
题型1直线的一般式方程
1.下列直线中，倾斜角最大的为（ ）
A． B．
C． D．
2.下列说法中不正确的是（ ）．
A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程（A，B不同时为0）表示
B．当时，方程（A，B不同时为0）表示的直线过原点
C．当，，时，方程表示的直线与x轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
3.经过点，且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5.已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
题型2两点间的距离
6.已知点，，，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7.（多选）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
题型3直线过定点问题
8.已知满足，则直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
9.若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点（ ）
A． B． C． D．
10.（多选）两直线，与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（ ）
A． B． C． D．
题型4两点间的距离公式求最值
11.过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
13.的最小值为
A． B． C． D．
14.设实数满足，则的最小值等于( )
A． B． C． D．
题型5点到直线的距离
15.已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
16.若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是 ( ）
A． B． C． D．
17.设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
题型6直线的对称问题
18.一束光线从点出发，经直线:上一点反射后，恰好穿过点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
19.两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
20.已知在中，其中，的平分线所在的直线方程为，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型7两平行线间的距离
21.已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（ ）
A．2 B．4 C． D．不确定
22.若直线与之间的距离为，则a的值为（ ）
A．4 B． C．4或 D．8或
23.已知点，在直线和上分别找一点M和N，使的周长最短，则最短周长为（ ）
A．4 B． C． D．
【课后作业】
1.不论为何实数，直线恒过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2.经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0平行的直线l的方程为（ ）
A．3x－4y＋8＝0 B．3x－4y＋6＝0
C．4x＋3y－6＝0 D．4x＋3y＋6＝0
3.点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
4.若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
5.已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．
6.过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
7.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
8.直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9.已知直线在x轴的截距大于在y轴的截距，则A、B、C应满足条件（ ）
A． B． C． D．
10.已知的三个顶点分别是，，，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于（ ）
A．5 B． C． D．
11.(多选)已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
12.(多选)已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（ ）
A．点的坐标是或
B．三角形的面积等于
C．斜边的中点坐标是
D．点关于直线的对称点是
13.(多选)已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
14.点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为 ．
15.点关于直线的对称点是_________.
16.函数的最小值为____________．
17.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线的方程为____________.
18.已知，是分别经过，两点的两条平行直线，当，之间的距离最大时，直线的方程是____________.
19.已知分别过和两点作两条平行线，并使它们之间的距离为3，求这两条直线的方程．
20.已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；
(3)直线l关于(1,2)的对称直线．
21.过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点.
(1)求面积的最小值以及面积最小时直线的方程;
(2)是否存在直线，使的周长为12，若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.
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