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第7讲 圆的方程
【课堂训练】
题型1 圆的方程
1.圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2.若方程表示圆，则a的取值范围为 .
【答案】
3.若直线始终平分圆的周长，则a的值为 .
【答案】-6
4.“实数”是“方程”表示圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
5.已知圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
6.(多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
题型2点与圆的位置关系
7.过可作两条直线与圆相切，则k的取值范围为 .
【答案】或
8.（多选题）已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
题型3与圆有关的简单最值问题
9.设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为 .
【答案】4
10.已知实数，满足，则的最小值是 .
【答案】
11.圆C为过点的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为 .
【答案】
12.满足，的三角形面积的最大值为 .
【答案】
13.（多选题）已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的取值范围是
C．的最大值为3
D．的最小值为1
【答案】ABD
14.已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
15.已知，，，平面内的动点满足，，则的最大值是
A． B． C． D．
【答案】D
16.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
17.已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设所求圆的C的一般方程为，则圆心，
由题意得，解得，
所以圆的C的一般方程为.
（2）依题意，设，，
因为M为线段OP的中点，，所以，
又因为点P在圆C上运动，所以，
故，整理得：，
所以点M的轨迹方程为.
【课后作业】
1.圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2.已知直线和圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3.经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
4.方程所确定的圆中，最大面积是（ ）
A． B． C．3π D．不存在
【答案】B
5.过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
6.若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
7.若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．0或3 B．-1或-2 C．3 D．0
【答案】C
8.三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
9.已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．14
【答案】C
10.(多选)方程表示圆的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】CD
11.(多选)已知圆M的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（2，－1） B．圆M的半径为5
C．点在圆M外 D．圆M被x轴截得的弦长为4
【答案】ACD
12.(多选)已知点在圆的外部，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
13.若方程表示圆，则的值为________
【答案】
14.设直线与圆相交于A，B两点，若，则________
【答案】
15.在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一点，求的最值.
【答案】.
【详解】由题设，与y轴的交点为，对称轴为，
若与x轴交点横坐标分别为，则，，
∴，
若圆半径为，圆心为，∴，解得，
∴圆半径为，圆心为，则圆的方程为，
，只需求圆上点到定点的最小距离即可.
又圆心到的距离为，而，
∴，故目标式的最小值为.
16.（1）求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程.
（2）已知圆C：，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为求圆的一般方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）线段的中点为，线段的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线方程为.
，即圆心坐标为，半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）圆心，∵圆心在直线上，∴，即.①
又∵半径长，∴.由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴，即.
则.故圆的一般方程为.
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第7讲 圆的方程
一、圆的方程
1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2.确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．
3.标准方程：,圆心,半径为.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．
4.一般方程：.
表示圆，圆心C（）半径为.
表示点（），不表示任何图形.
二、点与圆的位置关系
位置关系 d与r的大小 图示 标准方程 一般方程
点在圆外 d＞r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d＜r
三、常见最值问题
(1)形如的最值问题，可转化为点(x, y)和点(a, b)的斜率的最值问题．
(2)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为点(x, y)到点(a, b)的距离的平方的最值问题．
【课堂训练】
题型1 圆的方程
1.圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B． C． D．
2.若方程表示圆，则a的取值范围为 .
3.若直线始终平分圆的周长，则a的值为 .
4.“实数”是“方程”表示圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6.(多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
题型2点与圆的位置关系
7.过可作两条直线与圆相切，则k的取值范围为 .
8.（多选题）已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为（ ）
A． B． C． D．
题型3与圆有关的简单最值问题
9.设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为 .
10.已知实数，满足，则的最小值是 .
11.圆C为过点的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为 .
12.满足，的三角形面积的最大值为 .
13.（多选题）已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．的取值范围是
C．的最大值为3
D．的最小值为1
14.已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15.已知，，，平面内的动点满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
16.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
17.已知圆C经过点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的一般方程；
(2)若线段OP的端点P在圆C上运动，端点O为坐标原点，求线段OP的中点M的轨迹方程．
【课后作业】
1.圆的圆心和半径分别是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知直线和圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.经过点和，且圆心在x轴上的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
4.方程所确定的圆中，最大面积是（ ）
A． B． C．3π D．不存在
5.过点，且经过圆与圆的交点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6.若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7.若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．0或3 B．-1或-2 C．3 D．0
8.三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9.已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．14
10.(多选)方程表示圆的充分不必要条件可以是（ ）
A． B．或
C． D．
11.(多选)已知圆M的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（2，－1） B．圆M的半径为5
C．点在圆M外 D．圆M被x轴截得的弦长为4
12.(多选)已知点在圆的外部，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
13.若方程表示圆，则的值为________
14.设直线与圆相交于A，B两点，若，则________
15.在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一点，求的最值.
16.（1）求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程.
（2）已知圆C：，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为求圆的一般方程.
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