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第8讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
【课堂训练】
题型1 直线与圆的位置关系
1.直线与圆交点的个数为（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．不确定
【答案】A
2.已知圆的弦过点P（1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
3.已知直线与圆相交于A、B两点，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
4.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是 .
【答案】
5.已知直线与圆交于A，B两点，且，则k = .
【答案】
题型2直线与圆相切的有关问题
6.已知直线与圆相切于点，则圆C的半径为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
7.当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8.一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程的斜率为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
9.（多选题）过点引圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
题型3与圆上的点有关的最值问题
10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11.已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
12.直线与圆相交于、两点，当的面积达到最大时，的值为 .
【答案】
题型4 两圆的位置关系
13.圆和圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．内含
【答案】A
14.若圆与圆关于直线对称，则两圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
15.已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是（ ）
A． B．2 C．或2 D．1或
【答案】C
16.已知圆和圆交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程是 .
【答案】
17.已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，-1)，圆C2：x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为 .
【答案】
18.已知直线：与圆：．
(1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程；
(3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析，定点坐标为 (2)或 (3)为定值，
【详解】（1）由直线：，得，
联立，解得，所以直线恒过定点；
（2）由圆：，得圆心，半径，
又由（1）得直线恒过定点，
当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离由直线与圆相切可得，即，
解得，直线方程为，即，
综上所述：直线的方程为或；
（3）由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，
联立方程，即，
，即，
，，又，，
，
所以为定值，.
【课后作业】
1.在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.若圆的半径为1，且圆心为坐标原点，过该圆上一点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
3.已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
【答案】D
4.圆：与圆：的公切线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】D
5.已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】D
6.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
7.已知圆截直线所得线段的长度是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8.在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，当取最小值时，的值为
A． B．3 C． D．4
【答案】B
9.一条光线从射出，经过y轴反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
10.(多选)若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（ ）
A．7 B． C．－2 D．1
【答案】AD
11.(多选)以下四个命题表述正确的是（ ）
A．与圆关于直线对称的方程为
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．圆上有且仅有个点到直线的距离等于
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
【答案】CD
12.已知过点的直线被圆:截得的弦长为，则直线的方程是 .
【答案】或
13.已知圆，过圆外一点作圆的两条切线（切点为），则直线的方程为 ．
【答案】
14.已知直线，圆与.若直线被圆，所截得两弦的长度之比是，则实数 .
【答案】
15.圆与圆的公切线方程为__________．
【答案】
16.如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
【答案】(1) (2)3.11米．
【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系，
设该圆拱所在圆的方程为，
由于圆心在轴上，所以，那么方程即为.
因为都在圆上，
所以它们的坐标都是这个圆的方程的解，
于是有方程组，解得
所以，这个圆的方程是．
（2）解：由题知点的横坐标为.
所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得，
所以，
因为的纵坐标，故应取正值，
所以，（米）．
所以，支柱的高度约为3.11米.
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第8讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
一．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
相离 相切 相交
图形
代数关系 Δ＜0
几何关系 d＞r
二．圆与圆的位置关系及判断
相离 外切 相交 内切 内含
图形
代数关系 Δ＜0
几何关系 d＞r1＋r2
公切线条数 4
三．两圆的公共弦方程
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，
则两圆的公共弦方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).
注：若与相切，则表示在切点处的公切线方程.
四．圆系方程
已知圆C：与直线l：相交于M、N两点，
则过M、N两点的圆系方程为：.
五．阿波罗尼斯圆
若A、B为两定点，P为动点，且满足.
【课堂训练】
题型1 直线与圆的位置关系
1.直线与圆交点的个数为（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．不确定
2.已知圆的弦过点P（1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知直线与圆相交于A、B两点，则（ ）
A． B． C．2 D．
4.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是 .
5.已知直线与圆交于A，B两点，且，则k = .
题型2直线与圆相切的有关问题
6.已知直线与圆相切于点，则圆C的半径为（ ）
A． B． C． D．5
7.当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程的斜率为（ ）
A． B．或 C． D．或
9.（多选题）过点引圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
题型3与圆上的点有关的最值问题
10.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，河岸线所在直线方程为，若将军从点处出发，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
11.已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12.直线与圆相交于、两点，当的面积达到最大时，的值为 .
题型4 两圆的位置关系
13.圆和圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．内含
14.若圆与圆关于直线对称，则两圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
15.已知圆：，圆：，若圆与圆内切，则实数a的值是（ ）
A． B．2 C．或2 D．1或
16.已知圆和圆交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程是 .
17.已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点(2，-1)，圆C2:x2+y2=4，则圆C1，C2的公共弦长为 .
18.已知直线：与圆：．
(1)求证：直线过定点，并求出此定点坐标；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程；
(3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【课后作业】
1.在平面直角坐标系中，已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数（ ）
A． B． C． D．
2.若圆的半径为1，且圆心为坐标原点，过该圆上一点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
3.已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（ ）
A．14 B．34 C．14或45 D．34或14
4.圆：与圆：的公切线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
5.已知半径为1的动圆与圆相切,则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．或
C．
D．或
6.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知圆截直线所得线段的长度是，则（ ）
A． B． C． D．
8.在平面直角坐标系中，过点向圆引切线，切线长为.设点到直线的距离为，当取最小值时，的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
9.一条光线从射出，经过y轴反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10.(多选)若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（ ）
A．7 B． C．－2 D．1
11.(多选)以下四个命题表述正确的是（ ）
A．与圆关于直线对称的方程为
B．曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为
C．圆上有且仅有个点到直线的距离等于
D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为
12.已知过点的直线被圆:截得的弦长为，则直线的方程是 .
13.已知圆，过圆外一点作圆的两条切线（切点为），则直线的方程为 .
14.已知直线，圆与.若直线被圆，所截得两弦的长度之比是，则实数 .
15.圆与圆的公切线方程为 ．
16.如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.
(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;
(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．
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