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第9讲 期中复习
1．D 2．B 3．C 4．D 5．D 6．C
7．A
【详解】解：曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，
由，得或，所以，
，
所以实数的取值范围是.
故选：A．
8．A
【详解】因为平面的方程为，
所以平面的法向量可取，
同理平面的法向量可取，
平面的法向量可取，
设直线的方向向量，
则，令，则，
则直线l与平面所成角的正弦值为
.
9．AD 10．BD 11．AC
12．BC
【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、
设点、，其中，.
对于A选项，若存在点，使得，且，，
，解得，不合乎题意，A错；
对于B选项，设，其中、，
即，即，可得，
，则，所以，，B对；
对于C选项，当点与点重合时，，则，此时点为的中点，如下图所示：
在直三棱柱中，四边形为矩形，则且，
、分别为、的中点，则且，
所以，且，同理且，且，
所以，，故几何体为三棱台，
，，
，
，
因此，，C对；
对于D选项，，，
则点到直线的距离为，
，则点到直线的距离为
，
所以，，故，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D错.
13． 14． 15．
16．2
【详解】由题意得：圆的方程为：
∴圆心为，半径为2，
又∵四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．将代入点到直线的距离公式，，
故四边形PACB面积的最小值为2．
故答案为：2
17．(1)0 (2)
【详解】（1）因为，所以，解得，，
则，．又，所以，即，
解得，于是，．
（2）由（1）得， ，设与的夹角为，
因为．所以与夹角的余弦值为．
18．(1)圆心，半径，与圆相交； (2)﹒
【详解】（1）由题设知圆：，
∴圆的圆心坐标为C，半径为r＝．
又直线可变形为：，则直线恒过定点，
∵，∴点在圆内，故直线必定与圆相交．
（2）由题意知，
∴直线l的斜率，
∴圆心到直线：的距离，
∴．
19．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）连接，因为平面，平面，所以，
因为四边形是正方形，所以，
因为，所以平面，因为平面平面，所以
（2）四边形是正方形，则，又平面，以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
由,得,则，
由∥,，得,,
所以平面的一个法向量，
所以到平面的距离
20．(1)选①：；选②：
(2)和
【详解】（1）解：选①：设圆心，则由题意：
∵圆心在直线：上，
∴………………………（ⅰ）
∵圆过点和，
∴，即，
化简得：…………………（ⅱ）
联立（ⅰ）（ⅱ）解得：，
∴圆心，半径为，
∴圆的标准方程为.
选②：如下图：设直线：和圆的交点为，
连接，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线，
垂足为，连接、.
由题意，圆的圆心为，半径.
∵直线方程为，，
∴直线方程为，故设圆心，
由图知，则，
由解得直线和直线交点，
则，
圆半径，
，，
由得：
，解得：.
∴圆心，半径.
∴圆的标准方程为.
（2）解：由（1）知，选①或选②，圆的标准方程均为，
如下图，点在圆外，则
因为圆的圆心到轴距离，
所以，是圆过点的一条切线.
设圆过点的另一条切线斜率为，则其方程为：
，即.
由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有
，解得：，
∴切线方程为，即.
综上知，过点的圆的切线方程为和.
21．(1) (2)
【详解】（1）解：设，，机器人运动速度为，
由题意可得，化简得.
由于点在矩形场地内，则.
所以成功点的轨迹方程为.
（2）解：由题意可知直线的斜率存在，不妨设直线：，
直线与点的轨迹没有公共点，
由直线与圆的位置关系可得，解得.
则点纵坐标，
又因为，所以.
22．(1)证明见解析 (2) (3)存在，
【详解】（1）在梯形中，，，，P为AB的中点，可得为等边三角形，四边形为菱形，
故，而平面，平面，
平面，
（2）由（1）得，，，故，，
而平面平面，平面平面，平面，，
平面，
两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则取得，
平面的一个法向量为，
故，二面角的大小为，
（3）设，则，,,
的，，
设平面的一个法向量为
CQ与平面所成角的正弦值为，
化简得，解得（舍去）
故存在，使得CQ与平面所成角的正弦值为．
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第9讲 期中复习
一、单选题
1．直线的倾斜角（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，且，其中，则（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－2
3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架 上下水平纵向联结系 桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB=BH，那么直线AH与直线IG所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（ ）
A． B．3 C． D．
7．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知圆：，则（ ）
A．点在圆的内部 B．圆的直径为
C．点在圆的外部 D．直线与圆相离
10．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．为钝角 D．在方向上的投影向量为
11．若直线l：与圆C：相切，则直线l与圆D：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
12．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱、分别交于点、，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．线段长度的取值范围是
C．当点与点重合时，四棱锥的体积为
D．设截面、、的面积分别为、、，则的最小值为
三、填空题
13．已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数 .
14．在空间直角坐标系中，已知点，，若点在轴上，且，则M的坐标是 .
15．如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E F分别在 AC上，且，则直线EF与直线的距离为 .
16．已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C:的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为 .
四、解答题
17．已知，求：
(1)的值；
(2)与夹角的余弦值．
18．已知圆，直线．
(1)写出圆的圆心坐标和半径，并判断直线与圆的位置关系；
(2)设直线与圆交于A、两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长．
19．如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，
（1）求证：
（2）求到平面的距离.
20．①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．
已知圆经过点，且________．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知点，求过点的圆的切线方程．
21．VEX亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长12米，长5米.在处有一只电子狗，在边上距离点米的点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点，那么电子狗被机器人捕获，称点为成功点.
(1)求成功点的轨迹方程；
(2)为了记录比赛情况，摄影机从边上某点处沿直线方向往点运动，要求直线与点的轨迹没有公共点，求点纵坐标的取值范围.
22．在梯形中，，，，P为AB的中点，线段AC与DP交于O点（如图1）.将沿AC折起到位置，使得平面平面（如图2）.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)线段上是否存在点Q，使得CQ与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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