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第10讲 椭圆的方程与性质
一．椭圆的定义
平面内与两个定点，的距离之和等于（）的点的轨迹称为椭圆．
(1)2a＞2c，P的轨迹为椭圆；(2)2a＝2c，P的轨迹为线段；(3)2a＜2c，P的轨迹不存在.
二．椭圆的性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
轴长 长轴长= 短轴长=
焦点 、 、
焦距
对称性 关于轴、轴、原点对称
离心率
通径
焦点三角形面积
三．直线与椭圆的位置关系
1.直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ＝0
相离 无解 Δ<0
2..
弦长|MN|＝·＝·.
3..
【课堂训练】
题型1 求椭圆的标准方程
1.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点．若，，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4.已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
题型2椭圆的定义及应用
6.已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
7.设、分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则点到原点的距离= .
8.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
题型3 椭圆的几何性质
9.已知直线l：（）与椭圆C：（）交于A，B两点，F为椭圆C的右焦点．若椭圆C的离心率为，且，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
10.已知a＞0，椭圆x2+a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
11.中心在原点的椭圆长轴右顶点为，直线与椭圆相交于两点，中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（ ）
A． B． C． D．
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C相交于A，B两点．有下列结论：
①四边形为平行四边形；
②若轴，垂足为E，则直线BE的斜率为；
③若（O为坐标原点），则四边形的面积为；
④若，则椭圆的离心率可以是．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③ D．②④
题型4求椭圆的离心率
13.椭圆的右焦点为，存在直线与椭圆交于两点，使得为等腰直角三角形，则椭圆的离心率 .
14.已知椭圆C：的左右焦点为，，直线与椭圆C相交于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率 .
15.已知为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，若，则的离心率 .
16.已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率 .
17.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率 .
题型5直线与椭圆的位置关系
18.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19.直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的长轴长与短轴长之比等于 .
20.已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
21.已知椭圆的标准方程为，点是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
22.已知椭圆C:经过点，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点.
（1）求椭圆的标准方程；
（1）若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围；
【课后作业】
1.已知定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2.P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4.椭圆的长轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此椭圆上，那么PM，PN的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
5.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上的一个动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的面积的最大值为
C．存在点P，使得 D．的最大值为7
6.（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹不存在
B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
7.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为 .
8.已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为 .
9.已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为4，为的中点，则的值等于 ．
10.（1）点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹．
（2）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．
11.已知点 分别是椭圆C：）的左 右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A B两点，求面积的最大值.
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第10讲 椭圆的方程与性质
【课堂训练】
题型1 求椭圆的标准方程
1.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
2.已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3.已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点．若，，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4.已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
5.已知椭圆：的左右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为4，过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，若线段的长为3，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
题型2椭圆的定义及应用
6.已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是（ ）．
A． B．6 C． D．12
【答案】D
7.设、分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则点到原点的距离= .
【答案】5
8.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
题型3 椭圆的几何性质
9.已知直线l：（）与椭圆C：（）交于A，B两点，F为椭圆C的右焦点．若椭圆C的离心率为，且，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】A
10.已知a＞0，椭圆x2+a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
11.中心在原点的椭圆长轴右顶点为，直线与椭圆相交于两点，中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C相交于A，B两点．有下列结论：
①四边形为平行四边形；
②若轴，垂足为E，则直线BE的斜率为；
③若（O为坐标原点），则四边形的面积为；
④若，则椭圆的离心率可以是．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．①②④ C．①②③ D．②④
【答案】B
题型4求椭圆的离心率
13.椭圆的右焦点为，存在直线与椭圆交于两点，使得为等腰直角三角形，则椭圆的离心率 .
【答案】
14.已知椭圆C：的左右焦点为，，直线与椭圆C相交于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率 .
【答案】
15.已知为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，若，则的离心率 .
【答案】
16.已知椭圆的右焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交该椭圆上半部分于点P，以FP，FO（O为坐标原点）为邻边作平行四边形，点Q恰好也在该椭圆上，则该椭圆的离心率 .
【答案】
17.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率 .
【答案】
题型5直线与椭圆的位置关系
18.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
19.直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的长轴长与短轴长之比等于 .
【答案】
20.已知分别为椭圆的左 右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
21.已知椭圆的标准方程为，点是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
22.已知椭圆C:经过点， 是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围；
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由已知得，，∴，
，同理，
∴，，∴，
椭圆标准方程为．
（2）设，则
，
由椭圆方程可得
整理得，所以
即点横坐标取值范围是．
【课后作业】
1.已知定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2.P是椭圆上的一点，F是椭圆的左焦点，O是坐标原点，已知点M是线段PF的中点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3.已知是椭圆的左焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4.椭圆的长轴端点为M，N，不同于M，N的点P在此椭圆上，那么PM，PN的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上的一个动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的面积的最大值为
C．存在点P，使得 D．的最大值为7
【答案】BD
6.（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹不存在
B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
【答案】AC
7.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则t的取值范围为 .
【答案】
8.已知F是椭圆C：的右焦点，P是椭圆上一点，，当△APF周长最大时，该三角形的面积为 .
【答案】
9.已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为4，为的中点，则的值等于 ．
【答案】3
10.（1）点是圆内一定点，动圆与已知圆相内切且过点，判断圆心的轨迹．
（2）已知是椭圆上一动点，为坐标原点，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】（1）轨迹是椭圆；（2）．
【详解】（1）方程化成标准形式为，圆心为，半径．
因为动圆与已知圆相内切且过点，
所以，
根据椭圆的定义，动点到两定点的距离之和为定值，所以动点的轨迹是椭圆．
（2）设，由中点坐标公式得所以
又点在椭圆上，所以，即．
11.已知点 分别是椭圆C：）的左 右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A B两点，求面积的最大值.
【答案】(1) (2)3
【详解】（1）△PF1F2面积达到最大时为椭圆的上顶点或下顶点，
而此时∠PF1F2=，故面积最大时为等边三角形，
故，因面积的最大值为，故，故，
故椭圆的标准方程为：.
（2）设，则由可得，
此时恒成立.
而，
到的距离为,
故的面积，
令，设，则，
故在上为增函数，故即的最大值为3.
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