中小学教育资源及组卷应用平台
第11讲 双曲线的方程与性质
一．双曲线的定义
平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于（）的点的轨迹称为双曲线．
(1)2a＜2c，P的轨迹为双曲线；(2)2a＝2c，P的轨迹为两条射线；(3)2a＞2c，P的轨迹不存在.
二．双曲线的性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
轴长 实轴长= ，虚轴长= （等轴双曲线： ）
焦点
焦距 ( )
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
渐近线
通径
焦点三角形面积
三．直线与双曲线的位置关系
1.联立y＝kx＋m与－＝1，消y得：(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2(m2＋b2)＝0.
交点个数 Δ的取值
没有交点(相离) k≠±且Δ＜0
只有一个交点(相交或相切) 相交：k＝±，相切：k≠±且Δ＝0
有两个交点(相交) k≠±且Δ＞0
2..
弦长|MN|＝·＝·.
3..
【课堂训练】
题型1 双曲线的定义
1.若双曲线的一个焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
2.双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（ ）
A．22 B．2 C．2或22 D．24
3.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.若，则是方程表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为 .
题型2 求双曲线的标准方程
6.已知动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
7.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A． B．
C． D．
题型3 双曲线的几何性质
8.为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左 右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，则 cm.
9.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 .
10.（多选题）已知双曲线方程为，则（ ）
A．焦距为6 B．虚轴长为4
C．实轴长为8 D．离心率为
题型4求双曲线的离心率与渐近线
11.已知双曲线：的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为的三角形，则双曲线的离心率为 .
A． B． C．3 D．5
12.已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
13.已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为 .
14.双曲线C：，圆与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率为 .
15.双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
题型5直线与双曲线的位置关系
16.双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则（ ）
A． B． C． D．
17.已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
18.已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为 .
19.（多选题）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．左焦点到渐近线的距离为1
C．直线双曲线有两个公共点
D．过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条
20.（多选题）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B．若F为C的左焦点，点P在C上，则满足的点M的轨迹方程为
C．若A，B在C上，线段AB的中点为，则线段AB的方程为
D．若P为双曲线上任意一点，点P到点和到直线的距离之比恒为2
21.已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离.
【课后作业】
1.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2.双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4 B．－4 C．－ D．
4.已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ）
A．38 B．24 C．38或10 D．24或4
5.设为双曲线的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以为直径的圆与双曲线左、右两支在轴上方的交点分别为、，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6.(多选)已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（ ）
A． B．2 C． D．
7.(多选)已知曲线C：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是双曲线
D．若，，则C是两条直线
8.(多选)已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点
D．若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值
9.(多选)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10
B．若是双曲线左支上的点，且，则△的面积为16
C．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为或
D．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左支与右支上，且点，与点共线，若，则 .
11.过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 .
12.已知的顶点，，顶点C在双曲线上，则的值为 .
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且线段的中点在另一条渐近线上．若，则双曲线的离心率为 .
14.已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为 .
15.已知，当为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在轴上的双曲线；
(3)表示焦点在轴上的双曲线．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知点、，点M满足，记点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过圆的圆心D且与圆交于A，B两点，点P为C上一个动点，求的最小值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第11讲 双曲线的方程与性质
【课堂训练】
题型1 双曲线的定义
1.若双曲线的一个焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2.双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（ ）
A．22 B．2 C．2或22 D．24
【答案】A
3.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4.若，则是方程表示双曲线的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
5.已知表示焦点在轴上的双曲线有个，表示焦点在轴上的椭圆有个，则的值为 .
【答案】22
题型2 求双曲线的标准方程
6.已知动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
【答案】C
7.已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
题型3 双曲线的几何性质
8.为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左 右两侧的两段曲线（曲线与曲线）为某双曲线（离心率为2）的一部分，曲线与曲线中间最窄处间的距离为，点与点，点与点均关于该双曲线的对称中心对称，且，
则 cm.
A． B． C． D．
【答案】D
9.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 .
【答案】
10.（多选题）已知双曲线方程为，则（ ）
A．焦距为6 B．虚轴长为4
C．实轴长为8 D．离心率为
【答案】BCD
题型4求双曲线的离心率与渐近线
11.已知双曲线：的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为的三角形，则双曲线的离心率为 .
【答案】
12.已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
【答案】2
13.已知双曲线的左，右焦点分别为，双曲线上一点满足轴．若，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
14.双曲线C：，圆与双曲线C的一条渐近线相交所得弦长为2，则双曲线的离心率为 .
【答案】
15.双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，则b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】B
题型5直线与双曲线的位置关系
16.双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
17.已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
18.已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为 .
【答案】
19（多选题）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．左焦点到渐近线的距离为1
C．直线双曲线有两个公共点
D．过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条
【答案】ABD
20.（多选题）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B．若F为C的左焦点，点P在C上，则满足的点M的轨迹方程为
C．若A，B在C上，线段AB的中点为，则线段AB的方程为
D．若P为双曲线上任意一点，点P到点和到直线的距离之比恒为2
【答案】BCD
21.已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离.
【答案】(1) (2).
【详解】（1）由双曲线性质可知，关于原点对称，
所以一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象
而和坐标的数中，，但，所以点不在双曲线上，即在双曲线上.
解得双曲线的方程为
（2）直线的方程为，设，
由消去得
所以.
由，可得，即
所以，可化为
即
则即
到的距离.
【课后作业】
1.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2.双曲线与椭圆的焦点相同，则等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
【答案】A
3.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )
A．4 B．－4 C．－ D．
【答案】C
4.已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（ ）
A．38 B．24 C．38或10 D．24或4
【答案】B
5.设为双曲线的左焦点，在轴上点的右侧有一点，以为直径的圆与双曲线左、右两支在轴上方的交点分别为、，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
6.(多选)已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】BC
7.(多选)已知曲线C：，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则C是圆，其半径为
C．若，则C是双曲线
D．若，，则C是两条直线
【答案】ACD
8.(多选)已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，点是双曲线第一象限上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．双曲线的渐近线方程为
C．椭圆的左顶点是双曲线的左焦点
D．若椭圆的左、右焦点分别为、，则直线，的斜率之积为定值
【答案】BCD
9.(多选)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点，，为双曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若双曲线上一点到它的焦点的距离等于16，则点到另一个焦点的距离为10
B．若是双曲线左支上的点，且，则△的面积为16
C．过点的直线与双曲线有唯一公共点，则直线的方程为或
D．过点的直线与双曲线相交于，两点，且为弦的中点，则直线的方程为
【答案】BD
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，分别在双曲线的左支与右支上，且点，与点共线，若，则 .
【答案】
11.过双曲线的左焦点作一条直线l交双曲线左支于P Q两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 .
【答案】12
12.已知的顶点，，顶点C在双曲线上，则的值为 .
【答案】
13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且线段的中点在另一条渐近线上．若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
14.已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为 .
【答案】3
15.已知，当为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在轴上的双曲线；
(3)表示焦点在轴上的双曲线．
【答案】(1)或(2)(3)
【详解】（1）因为，即，方程表示双曲线，
所以，解得或；
所以或；
（2）因为，即，焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
所以；
（3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线，
则，解得，
所以.
16.在平面直角坐标系xOy中，已知点、，点M满足，记点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过圆的圆心D且与圆交于A，B两点，点P为C上一个动点，求的最小值．
【答案】(1) (2)23
【详解】（1）由，
则轨迹C是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹C的方程为，则，可得，，
所以C的方程为；
（2）设，则，且，圆心，
则
因为，则当时，取最小值23.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
