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第7讲 期末复习
一、单选题
1．已知直线与平行，则系数（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．相离
3．曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同,则双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（ ）．
A． B． C． D．
6．已知二次函数在处的导数值为1，该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知空间中三点，则下列结论正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．与共线的单位向量是
C．与夹角的余弦值是
D．平面的一个法向量是
10．已知抛物线的焦点为，为上一动点，点，则（ ）
A．当时，
B．当时，在点处的切线方程为
C．的最小值为
D．的最大值为
11．已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列的最大项为 D．
12．已知,则（ ）
A．的定义域是
B．函数在上为减函数
C．若直线和的图象有交点,则
D．
三、填空题
13．已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy= .
14．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 ；
15．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于 ．
16．已知是等差数列,,且成等比数列,则 ;的前项和 ．
四、解答题
17．已知直线．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求直线与之间的距离．
18．已知方程，．
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若（1）中的圆与直线相交于M，N两点，且（O为坐标原点），求m的值．
19．数列的各项均为正数，，当时，.
(1)证明：是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)设，数列前项和为，证明：．
20．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面，是斜边的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱，的中点，M是棱上一点，
(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．
21．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
22．已知函数
(1)若函数存在两个极值点，求的取值范围；
(2)若在恒成立，求的最小值.
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第7讲 期末复习
1．B 2．A 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C
8．A
【详解】由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理可得，
又由得，所以，.
9．CD 10．ACD 11．ABD
12．ABD
【详解】解:关于选项A:,
,解得,故选项A正确;
关于选项B:,,,
,,在单调递增,,
在上单调递减,故选项B正确;
关于选项C:,,,在单调递增,
,时,,单调递减,时,,单调递增,
,
所以画草图如下:
由图可知,若直线和的图象有交点,则,故选项C错误;
关于选项D:时,单调递增,,即,
成立,故选项D正确.
13．2 14． 15．
16． -5
【详解】解:由题知是等差数列,不妨记公差为,
因为成等比数列,,所以,
即,解得:,
故;由于,,所以.
故答案为:-5;
17．（1）；（2）.
【详解】（1）∵，且，∴，
解得．
（2）∵，且，
∴且，解得，
∴，即
∴直线间的距离为．
18．(1) (2)
【详解】（1），
因为该方程表示圆，所以有，因此m的取值范围为；
（2）代入方程中，
化简，得，则有，
设，则有，
，
，所以m的值
19．(1)证明见解析； (2)证明见解析
【详解】（1）由得
因为数列的各项均为正数，故，，又
所以是以1为首项，1为公差的等差数列.即；
（2）由（1）得，，
，则，，即.
20．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）因为是斜边PA的长为的等腰直角三角形，所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，∴，
又，，平面，∴平面，
因为平面，∴，
∵，F是棱PC的中点，∴，
又，平面，∴平面．
又平面，∴平面平面．
（2）如图，取的中点，连接，，
则，，
由（1）知平面，∴平面，
∴是直线与平面所成角，
∴，∴，∴，
以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则有：，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为
则，令，则，
有，令，则，
∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为．
21．(1)抛物线； (2)证明见解析
【详解】（1）设，则，解得：，抛物线；.
（2）由题意知：直线斜率不为零，可设，，，
由得：，，即；
，；
，，
又，；
则（此时成立），
直线，当时，，直线恒过定点.
22．(1)或 (2)
【详解】（1）因为，所以
因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的解，
所以，解得或
（2）在恒成立，即恒成立，
令，则 ， 因为，
设，在上都递减，
所以在上递减，
所以，当时，，此时，在上递增，
当时，，此时，在上递减，
所以，所以， 即
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