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第2讲 等差数列
【课堂训练】
1.在等差数列{}中，，，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
2.在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（ ）．
A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项
3.已知数列中，且是等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．30
【答案】B
5.（多选）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
6.已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（ ）
A．公差的取值范围是 B．
C． D．
【答案】BCD
7.设d为等差数列的公差，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
8.已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是
① ② ③ ④
【答案】① ② ③
9.已知数列的首项，，则 .
【答案】
10.已知下列数列的前n项和的公式.
(1)求的通项公式；
(2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由.
【答案】(1) (2)不是等差数列，理由见解析
【详解】（1）因为，当时，，
当时，，
当时，上式不成立，所以；
（2）由（1）得，
因为，所以数列不是等差数列.
【课堂训练二】
1.已知等差数列的前项和 ，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
2.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
3.已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
【答案】D
4.设等差数列的前项和为，，且，则下列结论一定正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
5.设等差数列的前n项和为，公差为d，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．时，n的最小值为13
【答案】ACD
6.数列是递增的等差数列，前n项和为，满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．时，n的最小值为7
【答案】ABD
7.等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（ ）
A． B．
C．的最大值是 D．当且仅当时，
【答案】BC
8.已知等差数列的前项和为，若，公差，当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是 .
【答案】
9.设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为 ．
【答案】
10.在等差数列中，已知且．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求满足的的最小值．
【答案】(1) (2)9
元二次不等式即可求解.
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，
则由，得，
解得，所以．
（2）由（1）及等差数列前n项和公式得，
由，即，
解得或（舍去），
所以满足条件的的最小值为9.
【课后作业】
1.在等差数列中，，．则数列中负数项的个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
2.已知等差数列的公差，且，若，则n为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】C
3.在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4.在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为
D．数列的通项公式为
【答案】BD
5.等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
6.已知数列均为无穷等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等差数列
C．是等差数列
D．若，则为等差数列
【答案】ACD
7.在和之间插入两个数，，使这四个数成等差数列，则公差为 .
【答案】3
8.数列是等差数列，若，，则 ．
【答案】9
9.已知数列满足，，设.
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）求数列的通项公式.
【答案】（1），，； （2）见解析； （3）.
【详解】（1），，，，；
（2）∵，∴，∴是等差数列；
（3）由前面知，，∴
10.已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．7 B．5 C．4 D．
【答案】B
11.我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该电影院大厅最后一排的座位数为（ ）
A．53 B．51 C．15 D．16
【答案】A
12.已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
13.已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．138 B．674 C．675 D．2023
【答案】C
14.等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
15.等差数列的前项和为，若，则等于 ．
【答案】
16.设为数列的前项和，若，，且，，则 ．
【答案】55
17.已知数列的前项和为．
(1)求的通项公式.
(2)若数列，求数列前项和.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：数列的前项和为，
当时，，
所以，即，
当时，符合上式，所以；
（2）解：由（1）可得，
则
.
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第2讲 等差数列
知识点一 等差数列、等差中项的概念
1．等差数列：若(d为常数)，则数列{an}是等差数列，常数d叫做等差数列的 .
2．等差中项：若成等差数列，则为与的等差中项，且 .
知识点二 等差数列的通项公式
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝ .
2．第n项与第m项的关系为an＝am＋(n－m)d，从而可得变形公式：d＝ .
3．若数列{an}是等差数列，则an＝f(n)＝kn+b，公差d＝ .
知识点三 等差数列的性质
1.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 .
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有 .
2．等差数列{an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列．
知识点四 等差数列的前n项和公式
1．等差数列{an}的前n项和公式Sn＝ ＝ .
2．等差数列{an}的前n项和Sn＝f(n)＝An2+Bn，公差d＝ .
3．若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则
①也是等差数列，且公差为 .
②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等差数列，且公差为 .
③S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1.
【课堂训练一】
1.在等差数列{}中，，，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
2.在等差数列40，37，34，…中，第一个负数项是（ ）
A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项
3.已知数列中，且是等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．30
5.（多选题）已知数列的通项公式为（a，b为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6.（多选题）已知各项均为正数的等差数列单调递增，且，则（ ）
A．公差的取值范围是 B．
C． D．
7.（多选题）设d为等差数列的公差，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是
① ② ③ ④
9.已知数列的首项，，则 .
10.已知下列数列的前n项和的公式.
(1)求的通项公式；
(2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由.
【课堂训练二】
1.已知等差数列的前项和 ，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
2.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
3.已知等差数列的前n项和为，若，，则取最大值时n的值为（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
4.设等差数列的前项和为，，且，则下列结论一定正确的是（ ）.
A． B． C． D．
5.（多选题）设等差数列的前n项和为，公差为d，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．时，n的最小值为13
6.（多选题）数列是递增的等差数列，前n项和为，满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．时，n的最小值为7
7.（多选题）等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（ ）
A． B．
C．的最大值是 D．当且仅当时，
8.已知等差数列的前项和为，若，公差，当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是 .
9.设为等差数列的前n项和，若，则满足的最大的正整数n的值为 ．
10.在等差数列中，已知且．
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，求满足的的最小值．
【课后作业】
1.在等差数列中，，．则数列中负数项的个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2.已知等差数列的公差，且，若，则n为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
3.在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A． B．
C． D．
4.（多选题）在数列中，，且对任意大于的正整数，点在直线上，则（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为 D．数列的通项公式为
5.（多选题）等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
6.（多选题）已知数列均为无穷等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．是等差数列 D．若，则为等差数列
7.在和之间插入两个数，，使这四个数成等差数列，则公差为 .
8.数列是等差数列，若，，则 .
9.已知数列满足，，设.
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）求数列的通项公式.
10.已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．7 B．5 C．4 D．
11.我们学校附近的胜利电影院的放映大厅有20排共680个座位，从第二排开始，每一排都比前一排多两个座位，则该电影院大厅最后一排的座位数为（ ）
A．53 B．51 C．15 D．16
12.已知公差不为0的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
13.已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．138 B．674 C．675 D．2023
14.（多选题）等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）
A．若，则 B．若，则是中最大的项
C．若，则 D．若，则
15.等差数列的前项和为，若，则等于 ．
16.设为数列的前项和，若，，且，，则 ．
17.已知数列的前项和为．
(1)求的通项公式.
(2)若数列，求数列前项和.
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