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第3讲 等比数列
知识点一 等比数列、等比中项的概念
1．等比数列：若＝q(q为非零常数)，则数列{an}是等比数列，常数q叫做等比数列的 .
2．等比中项：若成等比数列，则为与的等比中项，且2＝ .
知识点二 等比数列的通项公式
1．已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝ .
2．第n项与第m项的关系为.
3．若数列{an}是等比数列，则，公比q＝ .
知识点三 等比数列的性质
1．下标性质：在等比数列{an}中，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .
2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
知识点四 等比数列的前n项和公式
1．等比数列{an}的前n项和公式
2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
3．若{an}是公比为q的等比数列，在其前2n项中，＝q；
【课堂训练一】
1.已知等比数列的前3项积为8，，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
2.正项等比数列{an}中，存在两项(m，n)使得，且，则+的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3.已知等比数列的各项均为正数，且，则使得成立的正整数的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4.已知等比数列的各项均为正数，公比为q，，，记的前n项积为，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
5.（多选题）已知等比数列的公比为且成等差数列，则的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
6.（多选题）已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
7.（多选题）已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．数列是等比数列
C．若数列的前n项和，则
D．若首项，公比，则数列是递减数列
8.已知数列是等比数列，若，则的最小值为 ．
9.已知等比数列满足：，，，则公比 .
10.已知数列满足，设．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【课堂训练二】
1.在等比数列中，为其前n项和，且，则它的公比q的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
2.已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知是等比数列的前项和，且，，成等差数列，下列结论正确的是（ ）
A．，，成等差数列 B．，，成等比数列
C．，，成等差数列 D．，，成等比数列
4.（多选题）设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5.（多选题）记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
6.徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i等于1，2，…，6，7）匹马的最长日行路程是第i＋1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为500里，则这8匹马的最长日行路程之和为 里.（取）
7.等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝ ．
8.设正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【课后作业】
1.在等比数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．20 B．15 C．8 D．
3.在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4.（多选题）已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则
B．若是等比数列，则
C．若是递减等差数列，则当取得最大值时，或
D．若是递增等差数列，对恒成立，则
5.（多选题）已知数列为等比数列，则（ ）
A．数列，，成等比数列
B．数列，，成等比数列
C．数列，，成等比数列
D．数列，，成等比数列
6.设等比数列的前n项和为，且，则 ．
7.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．127 B．254 C．510 D．255
8.已知数列满足，，其前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
9.已知是各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．80 B．20 C．32 D．
10.（多选题）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
11.（多选题）设数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．的前项和为
12.记为数列的前项和，若，则 ．
13.已知为数列的前项和，，．
(1)证明：．
(2)求的通项公式．
(3)若，求数列的前项和．
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第3讲 等比数列
【课堂训练一】
1.已知等比数列的前3项积为8，，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
【答案】D
2.正项等比数列{an}中，存在两项(m，n)使得，且，则+的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
3.已知等比数列的各项均为正数，且，则使得成立的正整数的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
4.已知等比数列的各项均为正数，公比为q，，，记的前n项积为，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5.已知等比数列的公比为且成等差数列，则的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】AC
6.已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
7.已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，则
B．数列是等比数列
C．若数列的前n项和，则
D．若首项，公比，则数列是递减数列
【答案】BC
8.已知数列是等比数列，若，则的最小值为 ．
【答案】1
9.已知等比数列满足：，，，则公比 .
【答案】
10.已知数列满足，设．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）由条件得，，即，又因为，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，所以，
故.
【课堂训练二】
1.在等比数列中，为其前n项和，且，则它的公比q的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
2.已知数列为各项均为正数的等比数列，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3.已知是等比数列的前项和，且，，成等差数列，下列结论正确的是（ ）
A．，，成等差数列 B．，，成等比数列
C．，，成等差数列 D．，，成等比数列
【答案】A
4.设等比数列的前项和为，公比为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
5.记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
6.徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i等于1，2，…，6，7）匹马的最长日行路程是第i＋1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为500里，则这8匹马的最长日行路程之和为 里.（取）
【答案】5700
7.等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝ ．
【答案】8
8.设正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）当时，，得，
当时，，
则，
化简得，
又，所以，．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以；
（2）因为，，所以，
所以，
，
所以，
所以，整理得.
【课后作业】
1.在等比数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
2.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．20 B．15 C．8 D．
【答案】B
3.在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
4.已知数列的前项和为，与是方程的两根，则下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则
B．若是等比数列，则
C．若是递减等差数列，则当取得最大值时，或
D．若是递增等差数列，对恒成立，则
【答案】BC
5.已知数列为等比数列，则（ ）
A．数列，，成等比数列
B．数列，，成等比数列
C．数列，，成等比数列
D．数列，，成等比数列
【答案】BD
6.设等比数列的前n项和为，且，则 ．
【答案】
7.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．127 B．254 C．510 D．255
【答案】D
8.已知数列满足，，其前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
9.已知是各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．80 B．20 C．32 D．
【答案】A
10.已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，，则是等比数列
C．若是等差数列，则，，成等差数列
D．若是等比数列，则，，成等比数列
【答案】ABC
11.设数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列 B．
C． D．的前项和为
12.记为数列的前项和，若，则 ．
【答案】
13.已知为数列的前项和，，．
(1)证明：．
(2)求的通项公式．
(3)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【详解】（1）当时，，则，而，则，
当时，由，得，两式相减得，
又，满足上式，
所以当时，．
（2），
因此的奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列，，
的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列，，于是，
所以的通项公式是．
（3）由（2）知，，
，则，
因此，所以.
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