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第4讲 导数的概念及其运算
知识点一 函数的平均变化率
对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
知识点二 函数在某点处的导数(瞬时变化率)
当Δx→0时，无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或，即f ′(x0)＝ ＝ .
知识点三 导数的物理意义与几何意义
1．割线斜率与切线斜率
直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为曲线在点A处的切线AD．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于在点A的切线AD的斜率k，即k＝f ′(x0)＝ .
2．导数的物理意义
函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即．
3．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
知识点四 几个常用函数的导数
f(x)＝kx+b f ′(x)＝
f(x)＝ f ′(x)＝
f(x)＝ f ′(x)＝
知识点五 基本初等函数的导数公式
f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝
f(x)＝sin x f ′(x)＝
f(x)＝cos x f ′(x)＝
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f(x)＝ex f ′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f(x)＝ln x f ′(x)＝
知识点六 导数的运算法则
已知为可导函数,且.
1．
2．,特别地,.
3．.
知识点七 复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地,对于两个函数和,如果通过中间变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.
2．复合函数的求导法则
一般地,对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数,它的导数与函数的导数间的关系为,则,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【课堂训练一】
1.函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
2.已知函数，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
3.（多选题）如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
4.已知函数f(x)＝x2＋，则＝ .
5.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4（s的单位：m）的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
6.求曲线在点（处的切线的倾斜角．
7.函数f(x)＝，则f ′(3)等于（ ）
A． B．0 C． D．
8.若,则的值为( )
A． B． C． D．
9.（多选题）以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10.直线能作为下列函数图象的切线的是（ ）
A． B． C． D．
11.点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为 .
12.过点作曲线的切线，写出一条切线方程： .
13.已知函数，若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方程；
14.若函数，函数.
(1)若函数在处的切线与坐标轴围成的面积为，求实数的值；
(2)若直线与，的图象都相切，求实数的值.
【课堂训练二】
1.已知函数，若在处的函数值与导数值之和等于，则的值等于（ ）
A． B． C． D．不存在
2.函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
3.已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
① ， ② ， ③ ， ④.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4.（多选题）下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5.函数的导数 .
6.已知函数，则 .
7.函数过原点的切线方程是 .
8.已知曲线在处的切线的斜率为，则 .
9.求下列函数的导数.
(1)； (2)； (3).
10.求下列函数的导数：
(1)； (2)； (3)．
11.曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
12.已知函数.
(1)求曲线与直线垂直的切线方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.
【课后作业】
1.已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
2.已知函数在处可导，若，则 .
3.某物体按照s(t)＝t2＋t＋3（t的单位：秒）的规律做直线运动，求2秒末时的速度为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
4.（多选题）以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知，为的导函数，则的值为( )
A．0 B． C． D．
6.曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
7.函数的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知函数，则的值为（ ）
A．-18 B．-16 C．10 D．20
9.过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
10.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 .
11.已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为 .
12.求下列函数的导数．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
13.已知函数为．
(1)函数在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标；
(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程．
14.已知函数.
(1)求曲线在处的切线的方程；
(2)求过原点O与曲线相切的直线的方程.
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第4讲 导数的概念及其运算
【课堂训练一】
1.函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
2.已知函数，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
3.如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【答案】CD
4.已知函数f(x)＝x2＋，则＝ .
【答案】－6
5.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4（s的单位：m）的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
【答案】平均速度为15m/s；瞬时速度为26 m/s.
【详解】自运动开始到t s时，物体运动的平均速度为＝3t＋2＋，
故前4 s物体的平均速度为＝3×4＋2＋1＝15（m/s）．
由于Δs＝3＋2＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3
＝2＋6t＋3·Δt，＝2＋6t，
当t＝4时，＝2＋6×4＝26，所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s.
6.求曲线在点（处的切线的倾斜角．
【答案】
【详解】，
所以曲线在点处的切线斜率为，则倾斜角为.
7.函数f(x)＝，则f′（3）等于（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
8.若,则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
9.（多选）以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
10.直线能作为下列函数图象的切线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
11.点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为 .
【答案】
12.过点作曲线的切线，写出一条切线方程： .
【答案】或（写出一条即可）
13.已知函数，若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求的值和该切线方程；
【答案】，切线方程为.
【详解】，由已知得 解得
∴两条直线交点的坐标为，切线的斜率为
∴切线的方程为，即.
14.若函数，函数.
(1)若函数在处的切线与坐标轴围成的面积为，求实数的值；
(2)若直线与，的图象都相切，求实数的值.
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由已知，则，又，
所以函数在处的切线为，
当时，，当时，，则，又,解得；
（2）由已知，，
设直线与，的图象相切的切点分别为则，，
所以，可得直线与函数的切点为，
直线与函数的切点为，，解得.
【课堂训练二】
1.已知函数，若在处的函数值与导数值之和等于，则的值等于（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
2.函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
【答案】B
3.已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ）
① ， ② ， ③ ， ④.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】A
4.下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
5.函数的导数 .
【答案】
6.已知函数，则 ．
【答案】
7.函数过原点的切线方程是 .
【答案】.
8.已知曲线在处的切线的斜率为，则 .
【答案】
9.求下列函数的导数.
(1)； (2)； (3).
【答案】(1); (2); (3)
【详解】（1）
（2）
(3).
10.求下列函数的导数：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1) (2) (3)
11.曲线在点（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
【答案】或．
【详解】∵，∴，
∴曲线在点（0，1）处的切线的斜率为，其方程为，即．
又∵直线l与平行，∴直线l的方程可设为（）．
由得：或．∴直线l的方程为或．
12.已知函数.
(1)求曲线与直线垂直的切线方程；
(2)若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率.
【解析】（1）因为斜率为，所以，
所以，又.
所以所求切线方程为，即.
（2），设切点的横坐标为，直线的斜率为，直线的方程：，
则
则，整理得，所以，
所以或5.
【课后作业】
1.已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2.已知函数在处可导，若，则 ．
【答案】2
3.某物体按照s(t)＝t2＋t＋3（t的单位：秒）的规律做直线运动，求2秒末时的速度为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】A
4.（多选）以下运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
5.已知，为的导函数，则的值为( )
A．0 B． C． D．
【答案】C
6.曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7.已知函数，则的值为（ ）
A．-18 B．-16 C．10 D．20
【答案】A
8.函数的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
9.过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
10.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 .
【答案】
11.已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为 .
【答案】
12.求下列函数的导数．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【答案】(1) (2) (3)
(4) (5)
【详解】（1），.
（2），
，.
（3），
.
（4），
.
（5），
13.已知函数为．
(1)函数在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标；
(2)过点作曲线的切线，求此切线的方程．
【答案】(1)或 (2)或
【详解】（1），，设，
函数在点P处的切线与直线互相垂直
，解得，或；
（2）过点作曲线的切线，设切点为，则，
切线方程为，
代入点得，解得或，
即切线方程为或.
14.已知函数.
(1)求曲线在处的切线的方程；
(2)求过原点O与曲线相切的直线的方程.
【解析】（1）因为，所以.
，，
所以曲线在处的切线方程为，
即直线的方程为.
（2）设过原点的直线与曲线切于点.
则的斜率，
所以，整理得，所以，
所以，
所以直线的方程为，即.
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