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第5讲 函数的单调性
知识点一 函数的单调性
设函数在某个区间内可导，
1．如果，则为增函数；
2．如果，则为减函数．
知识点二 已知函数的单调性问题
1．若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立；
2．若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立．
知识点三 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)
越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)
知识点四 讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
1．定义域求导化简（先求定义域，求导化简需通分，因式分解）.
2．求根作图得结论（求出的根，画出导函数与x轴位置草图，得出导数正负区间段）.
3．一阶复杂求二阶（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）.
类型二：含参数单调性讨论
1．定义域求导化简（先求定义域，求导化简需通分，因式分解）.
2．恒正恒负先讨论（围绕是否有解讨论，无解时导数一般恒正或恒负）.
3．求根作图得结论（求出的根，画出导函数与x轴位置草图，得出导数正负区间段）.
4．多根需比较大小（若有两根，需要围绕两根的大小关系进行讨论）.
【课堂训练】
1.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数f(x)＝ln x＋ax在函数g(x)＝x2－2x＋b的单调递增区间上也单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[0，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．(－1，0]
6.已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是( )
A.a>－ B.0
C.a>或－
7.定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，则“”是“对任意，且，都有成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9.（多选题）已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．在处的切线的斜率为0 D．在处的切线的斜率为4
10.已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是 .
11.若函数单调递减，则a的取值范围是 .
12.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________________.
13.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________________.
14.设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是_________________.
15.已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是 .
16.若对任意的，且当时，都有，则的取值范围是 .
17.已知函数，求的单调区间.
18.已知函数，求函数的单调区间.
19.已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程．
(2)讨论的单调区间．
【课后作业】
1.函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
2.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
3.函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)＝xex－，则( )
A．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上单调递减
B．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
C．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减
D．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
5.若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为( )
A.(－∞，－2) B.(－2，2)
C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)
6.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
7.已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
8.若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A.[－1，1] B.
C. D.
9.直线y＝ax＋b为函数f(x)＝ln x－图象的一条切线，则2a＋b的最小值为( )
A.ln 2 B．ln 2－
C．1 D．2
10.已知函数f(x)＝，若mA．3－2ln 2 B．3＋2ln 2
C．2＋2ln 3 D．2－3ln 2
11.如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2x ln x－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，2]
C．(－∞，4] D．(－∞，6]
12.函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为______________.
13.若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.
14.已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围是________________.
15.已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________________.
16.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，f′(x)>2，f(2)＝4，则不等式xf(x－1)＞2x2－2x的解集为________________.
17.已知函数f(x)＝a ln x－sin x＋x在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________________.
18.讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性.
19.已知g(x)＝2x＋ln x－.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
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第5讲 函数的单调性
【课堂训练】
1.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
2.函数的单调递减区间为
A． B． C． D．
【答案】A
3.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4.已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
5、已知函数f(x)＝ln x＋ax在函数g(x)＝x2－2x＋b的单调递增区间上也单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[0，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[0，＋∞) D．(－1，0]
【答案】B
6、已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件可以是( )
A.a>－ B.0C.a>或－
【答案】D
7.定义域为的函数的导函数为，满足，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8.已知函数，则“”是“对任意，且，都有成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
9.已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递增
C．曲线在处的切线的斜率为0 D．曲线在处的切线的斜率为4
【答案】BD
10.已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
11.若函数单调递减，则a的取值范围是 .
【答案】
12、若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________.
【答案】(－3，0)∪(0，＋∞)
13.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为________________.
【答案】
14、设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________.
【答案】(－∞，－1)∪(0，1)
15.已知的定义域是，为的导函数，且满足，则不等式的解集是 .
【答案】
16.若对任意的，且当时，都有，则的取值范围是 .
【答案】
17.已知函数，求的单调区间；
【详解】函数的定义域为，
，
令，得或
当时，，单调递增区间为
当时，与随x的变化情况如下表：
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当时，与随x的变化情况如下表：
k
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
综上：当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为和，单调递减区间；
当时，单调递增区间为和，单调递减区间.
18.已知函数，求函数的单调区间.
【答案】单调递减区间为，，单调递增区间为
【详解】解析：因为，
所以，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.
19.已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程．
(2)讨论的单调区间．
【答案】(1)y=3ex-2e (2)答案见解析.
【详解】（1）当时, ,则，以f(1)=e, ，
所以曲线在处的切线方程为y-e=3e(x-1),即y=3ex-2e.
（2）.由得.
当a=0时,解得x=0.
故当x>0时, ,当x<0时, .
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
当a<0时,解得x=0或.当x<0时, ；当时，；
当时, .
所以的单调递增区间为,单调递减2区间为和.
当a>0时,解得x=0或.当x>0时, ；当时，；
当时, .
所以的单调递增区间为和,单调递减区间为.
综上所述：当a=0时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
当a<0时,的单调递增区间为,单调递减区间为和.
当a>0时,的单调递增区间为和,单调递减区间为.
【课后作业】
1、函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )
【答案】D
2、下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B )
A.f(x)＝sin 2x B.f(x)＝xex
C.f(x)＝x3－x D.f(x)＝－x＋ln x
【答案】B
3、函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是( C )
A. B.
C. D.
4、已知函数f(x)＝xex－，则( C )
A．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上单调递减
B．f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
C．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减
D．f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上先递减再递增
5、若函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x).若f′(x)－3＜0恒成立，f(－2)＝0，则f(x)－3x＜6的解集为( D )
A.(－∞，－2) B.(－2，2)
C.(－∞，2) D.(－2，＋∞)
6．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
7．已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
8、若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( C )
A.[－1，1] B.
C. D.
9、直线y＝ax＋b为函数f(x)＝ln x－图象的一条切线，则2a＋b的最小值为( B )
A.ln 2 B．ln 2－
C．1 D．2
10、已知函数f(x)＝，若mA．3－2ln 2 B．3＋2ln 2
C．2＋2ln 3 D．2－3ln 2
11、如果存在函数g(x)＝ax＋b(a，b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意的x都有f(x)≤g(x)成立，那么g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”．已知f(x)＝－2x ln x－x2，g(x)＝－ax＋3，若g(x)为函数f(x)在区间(0，＋∞)上的一个“线性覆盖函数”，则实数a的取值范围是( C )
A．(－∞，0] B．(－∞，2]
C．(－∞，4] D．(－∞，6]
12、函数f(x)＝ln x－x2的单调递增区间为________.
13、若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为___-4_____.
14、已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1，4]上单调递减，则a的取值范围是___∪(0，＋∞)_____.
15、已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x＞0时，2f(x)＞xf′(x)，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是____(－1，0)∪(0，1)____.
16、已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，f′(x)>2，f(2)＝4，则不等式xf(x－1)＞2x2－2x的解集为___(－∞，0)∪(3，＋∞)_____．
17、已知函数f(x)＝a ln x－sin x＋x在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为____[0，＋∞)____．
18、讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性.
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.
设y＝x2－ax＋1，其图象过定点(0，1)，开口向上，对称轴为x＝，
①当≤0，即a≤0时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当＞0，即a＞0时，
令x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4，
(ⅰ)当Δ≤0，即0＜a≤2时，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
故a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
(ⅱ)当Δ＞0，即a＞2时，令f′(x)＝0，得
x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.所以f(x)在，
上单调递减，在上单调递增.
19、已知g(x)＝2x＋ln x－.
(1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.
解：(1)g(x)＝2x＋ln x－(x>0)，g′(x)＝2＋＋(x>0).
∵函数g(x)在[1，2]上单调递增，∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋＋≥0在[1，2]上恒成立，
∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2].
在[1，2]上，(－2x2－x)max＝－3，所以a≥－3.
∴实数a的取值范围是[－3，＋∞).
(2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间，则g′(x)＞0在[1，2]上有解，
即a＞－2x2－x在[1，2]上有解，∴a＞(－2x2－x)min，又(－2x2－x)min＝－10，∴a＞－1
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