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第6讲 函数的极值与最值
知识点一 函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的 ，f(a)叫做函数y＝f(x)的 ．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的 ，f(b)叫做函数y＝f(x)的 ．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
4．为可导函数的极值点；但为的极值点．
知识点二 函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f (x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f (x) ≥ f (x0)，则称f (x0)为函数f (x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f (x)≤ f (x0)，则称f (x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
知识点三 求函数的最大值与最小值的步骤
函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
1．求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
2．将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点四 函数极值与最值的关系
1．极值不一定是最值，极值点可以有多个；
2．函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；
3．函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
【课堂训练】
1.函数的极大值点为（ ）
A．1 B．-1 C．(1,-1) D．(-1,1)
2.若函数的导函数的图象分别如图1 图2所示，则与极值点的个数分别为（ ）
A．4，1 B．2，2 C．4，2 D．2，1
3.设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A．的极值点一定是最值点
B．的最值点一定是极值点
C．在区间上可能没有极值点
D．在区间上可能没有最值点
4.已知函数在处取得极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
5.函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7.已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在处取得最大值 D．在处取得最小值
8.设，若函数有大于的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
9.（多选题）若函数在处取得极小值，则实数a的取值可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
10.（多选题）函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处有最小值 B．1是的一个极值点
C．当时，方程有两异根 D．当时，方程有两异根
11.（多选题）如图是y= 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当x=﹣1时，取得极小值 B．在[﹣2，1]上是增函数
C．当x=1时，取得极大值 D．在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
12.（多选题）已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ）
A．有个极值点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．在上单调递增
13.函数的最大值为 ．
14.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 .
15.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
16.已知函数．
（1）判断在定义域上的单调性；
（2）若在上的最小值为2，求的值．
17.已知函数，曲线过点.
（1）求函数解析式.
（2）求函数的单调区间与极值.
18.已知函数，
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最值.
【课后作业】
1.函数的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
2.函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
3.如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数 B．在内是减函数
C．在时取得极小值 D．当时取得极大值
4.若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.对于函数，给出命题：
①是增函数，无极值；
②是减函数，无极值；
③的递增区间为，，递减区间为；
④是极大值，是极小值．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.若函数的导函数，则（ ）
A．的极小值点为 B．的极小值点为
C．的极大值点为 D．的极大值点为
7.若函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值，无极小值
B．函数有极小值，无极大值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
8.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
9.（多选题）如图是函数的导函数 f ′(x)的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间上是增函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．当时，取极大值
10.（多选题）已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11.（多选题）定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的极大值点，是函数的极小值点
B．是函数的极小值点
C．函数的单调递增区间是
D．函数的单调递减区间是
12.（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，点是曲线的对称中心
B．当时，在上是增函数
C．当时，在上的最大值是1
D．有两个极值点
13.函数y＝在[0，2]上的最大值为 .
14.当时，函数取得最小值，则 .
15.已知函数在处取得极值9，则 .
16.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 .
17.求函数在区间上的最大值与最小值.
18.设函数在处取得极值.
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
19.已知函数且在处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在的最大值与最小值.
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第6讲 函数的极值与最值
【课堂训练】
1.函数的极大值点为（ ）
A．1 B．-1 C．(1,-1) D．(-1,1)
【答案】A
2.若函数的导函数的图象分别如图1 图2所示，则与极值点的个数分别为（ ）
A．4，1 B．2，2 C．4，2 D．2，1
【答案】A
3.设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A．的极值点一定是最值点
B．的最值点一定是极值点
C．在区间上可能没有极值点
D．在区间上可能没有最值点
【答案】C
4.已知函数在处取得极值，则（ ）
A．1 B．2 C． D．-2
【答案】C
5.函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
6.若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7.已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在处取得最大值 D．在处取得最小值
【答案】B
9.若函数在处取得极小值，则实数a的取值可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】CD
10.函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处有最小值 B．1是的一个极值点
C．当时，方程有两异根 D．当时，方程有两异根
【答案】BC
11.如图是y= 的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当x=﹣1时，取得极小值 B．在[﹣2，1]上是增函数
C．当x=1时，取得极大值 D．在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
【答案】AD
12.已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ）
A．有个极值点 B．是的极大值点
C．是的极大值点 D．在上单调递增
【答案】ABD
13.函数的最大值为 ．
【答案】
14.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 .
【答案】(0，)
15.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
16.已知函数．
（1）判断在定义域上的单调性；
（2）若在上的最小值为2，求的值．
【答案】（1）当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；（2）.
【详解】解：（1）由题意得的定义域为，
①当时，，故在上为增函数；
②当时，由得；由得；
由得；
∴在上为减函数；在上为增函数．
所以，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数．
（2）∵，．由（1）可知：
①当时，在上为增函数，，得，矛盾!
②当时，即时，在上也是增函数，，
∴（舍去）．
③当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，
∴，得（舍去）．
④当时，即时，在上是减函数，有，
∴．综上可知：．
17.已知函数，曲线过点.
（1）求函数解析式.
（2）求函数的单调区间与极值.
【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减，极大值为.
【详解】（1）由过点得，，
即，所以.
（2）由（1）知，，
令，，令，，
在上单调递增，在上单调递减，
极大值为，无极小值.
18.已知函数，
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)极大值是，极小值是．(2)最大值为，最小值为．
【详解】（1）．令，解得或5，
当或时，；当时，,
所以的极大值是，的极小值是．
（2）因为，由（1）知，在区间上，有极小值，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
【课后作业】
1.函数的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2.函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3.如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在内是增函数 B．在内是减函数
C．在时取得极小值 D．当时取得极大值
【答案】B
4.若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
5.对于函数，给出命题：
①是增函数，无极值；
②是减函数，无极值；
③的递增区间为，，递减区间为；
④是极大值，是极小值．其中正确的命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
6.若函数的导函数，则（ ）
A．的极小值点为 B．的极小值点为
C．的极大值点为 D．的极大值点为
【答案】B
7.若函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值，无极小值
B．函数有极小值，无极大值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
【答案】A
8.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
9.如图是函数的导函数 f ′(x)的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间上是增函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．当时，取极大值
【答案】BC
10.已知函数的最大值为3，最小值为，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
11.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数的极大值点，是函数的极小值点
B．是函数的极小值点
C．函数的单调递增区间是
D．函数的单调递减区间是
【答案】BCD
12.已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，点是曲线的对称中心
B．当时，在上是增函数
C．当时，在上的最大值是1
D．有两个极值点
【答案】ABC
13.函数y＝在[0，2]上的最大值为 .
【答案】
14.当时，函数取得最小值，则 .
【答案】
15.已知函数在处取得极值9，则 ．
【答案】
16.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 .
【答案】
17.求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】最小值为，最大值为
【详解】由，得令.得
，所以舍去，
列表如下：
单调递减 单调递增
的极小值为
又，，
所以，的最小值为，最大值为.
18.设函数在处取得极值.
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.
【详解】（1），由题意得：，，
解得：，此时，
当时，，当或时，，
故为极值点，满足题意，所以.
（2）由（1）可知：当时，，当或时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
19.已知函数且在处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用来求得的值.
（2）结合（1）求得在区间上的最值，由此确定正确结论.
【详解】（1），
依题意，解得.
，
所以在区间上递增；
在区间上递减.
所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意.
（2），
，
由（1）知，在区间上的最大值为，最小值为.
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