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第7讲 期末复习
1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C
8．D
【详解】在中，令，由余弦定理得，则有，
显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如图，
而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，，
因此，
当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，
所以的取值范围是.
9．BCD 10．AC 11．ABD
12．ACD
【详解】对于A选项，因为平面//平面，而平面，故//平面，
因为点为面对角线上一个动点，故点到面距离不变，为，
因为分别为棱的中点，故为定值，
故三棱锥，而三棱锥的体积，A选项正确；
对于B选项，如图1，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，设（），
平面的法向量为，则，令，则，，则，
设平面的法向量，则，令，则，，所以，
若平面//平面，则存在，使得，即，解得：，，因为，故不合题意，
所以线段上不存在点，使平面//平面，B选项错误；
对于C选项，，，，若，即，解得，
此时，又，，显然平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则，C选项正确；
对于D选项，如图2，连接，交EF于点J，则为EF的中点，，则三棱锥的外接球球心的投影为，
过点作于点，则平面，，找到球心位置，连接，则为外接球半径，
过点作于点，则，，设（），，
由勾股定理得：，，从而，解得：，
要想半径最大，则只需最大，即最大，当时，最大为，此时半径的最大值为，故D正确.
故选：ACD
13． 14．16 15．
16． 6
【详解】在数列中，，由得：，而，
于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，
所以数列的通项公式为；
显然，，
则，
由得：，即，令，则，即数列是递增数列，
由，得，而，因此，，从而得，，
所以满足不等式的的最小值为6.
故答案为：；6
17．(1)或， (2)或
【详解】（1）当时，直线，
由，解得，
所以直线与的交点为，
由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
当时，，当时，，
因为直线在两坐标轴上的截距相反，
所以，即，解得或，
所以直线的方程为或，
即或，
（2）因为坐标原点O到直线的距离为1，直线，
所以，化简得，解得或.
18．（1）；（2）证明见解析．
【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）∴，即
，∴即．
又∵，平面且∴平面．
19．（1）；（2）证明见解析，.
【详解】（1）由，可得时，，即；
当时，，由，，
两式相减可得：，即：.即有.
（2）由（1）可得，即有，
两式相减可得，即.
则，可得数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
20．（1）；（2）．
【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，
．
所以圆的方程为：．
（2）联立或，
不妨设，，则，
∴．
故的最小值为．
21．(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）证明：因为，为的中点，
所以，又且，
所以平面BCD，又平面ABD，所以平面平面；
（2）解：由题意，，所以，由（1）知平面BCD，
所以，所以OA=2，
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，A（0，0，2），，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又，
所以由，得，令，则，，
所以，所以，
所以平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值为.
22．(1)； (2)最大值为.
【详解】（1）由题意得，，又，，，
椭圆方程为：.
（2）
设，，
联立，得，
，
，，
，
，直线的方程为：，
联立得，，
，
,
，
令，，且，
则
当且仅当，，即，时等号成立，
，因此，的最大值为，
综上所述，的最大值为，此时.
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第7讲 期末复习
一、单选题
1．已知点，则直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“方程表示椭圆”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．在棱长为1的正方体中，（ ）
A．1 B． C． D．2
4．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是
A． B．
C． D．
5．在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
7．若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ）
A．2 B．5 C． D．
8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ）
A．
B．
C．(为常数)
D．
10．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．公共弦AB的长为
C．线段AB中垂线方程为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，则
A． B． C． D．
12．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面//平面
C．当时，直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
三、填空题
13．已知数列的通项公式为：，则的最小值为 ，此时的值为 .
14．在公差不为0的等差数列中，前n项和记作，若，则 ．
15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E的左、右两支分别交于A，B两点，若，则的面积为 ．
16．已知数列满足，，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为 ．
四、解答题
17．已知直线，．
(1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；
(2)若坐标原点O到直线的距离为1，求实数的值．
18．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小．
（2）证明：平面．
19．记为数列的前项和，．
（1）求；
（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和．
20．已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线与圆交于、两点.
（1）求圆的方程；
（2）求的最小值.
21．如图，在三棱锥中， ，为的中点，.
(1)证明：平面平面;
(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.
22．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为，且．T是线段OD延长线上一点，且，的半径为，OP，OQ是的两条切线，切点分别为P，Q，求的最大值．
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