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分课时教学设计
第一课时《16.1.1二次根式》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本章是在数的开方的基础上展开的，是算术平方根概念的抽象与扩张，本章的重点是二次根式。本章的重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性。学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简和运算的依据。
学习者分析 学生已经学习了“整式”、“平方根”、“算术平方根”等知识，已具备了学习二次根式的知识基础和心理基础，但学生刚认识二次根式，学习将有一定难度。学生知识障碍点是二次根式的概念及运算，本章知识对学生思维的严谨性、分类讨论及类比的数学思想等都有更高的要求 ，如果学生在此不能很好地理解和正确的认知，将对今后学习产生很大影响。
教学目标 1.理解二次根式的概念. 2.掌握二次根式有意义的条件. 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
教学重点 了解二次根式的概念，二次根式有意义的条件，并会求二次根式中所含字母的取值范围。
教学难点 理解二次根式的双重非负性
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 .你能将这个式子化简吗？ 学生活动1： 学生与老师一起思考活动意图说明： 课前导入，激发学生的学习兴趣环节二：教师活动2： 思考 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1) 如图①的海报为正方形，若面积为 3 m2，则边长为_ ____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2) 一个长方形的围栏，若长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____． 上面问题的结果为 , ,，这些式子表示什么含义呢？观察这些式子的被开方数和根指数，你能试着归纳它们的共同特点吗？ 一个正数有两个平方根;0的平方根为0;在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式(quadraticradical)，“”称为二次根号. 通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？学生活动2： 学生观察、分析。 思考、计算，体会结果。活动意图说明： 让学生亲自动手，进行探究、得出结论，激发学生的求知欲望。环节三：教师活动3： 例1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x≥2. 当x≥2时，在实数范围内有意义.学生活动3： 学生思考，探索交流，并尝试解题，养成良好的分析问题、解决问题的习惯。活动意图说明：学生在教师引导下主动学习并积极思考相关问题，并作出概括。 进行变式训练，发散学生思维。环节四：教师活动4： 1.当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 2.二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ x为任意实数时，都有意义；当x≥0时，有意义. 当a＞0时,表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时,表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时,≥0. 二次根式的双重非负性 (1)被开方数 a 必须为大于或等于 0的非负数. (2) （a≥0）既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果. 实际上就是非负数 a 的算术平方根，由于算术平方根的结果为非负数,故 学生活动4： 学生先独立思考，将答案写在白板上，并请同学展示活动意图说明： 通过探究，让学生得出结论。学生在教师引导下主动学习并积极思考相关问题
板书设计 一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 1.表示a的算术平方根； 2.a可以是数，也可以是式； 3.形式上含有二次根号； 4.a≥0，≥0 (双重非负性)； 5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ） A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤ 2.使分式有意义的x的取值范围是（ ） A． B．且 C． D． 3. 当 x =____ 时，二次根式取最小值， 其最小值为______． 4. 式子有意义的条件是 . 选做题： 5．已知则ab=_____． 6．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为_______. 7．若，则________. 【综合拓展类作业】 8.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式中不是二次根式的是 ( ) A. B.C. D. 2.下列各式：; 一定是二次根式的有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 选做题： 3．已知，的平方根是（ ） A．16 B．8 C． D． 4．若、为实数，且，则的值（ ） A．-2 B．1 C．2 D．-1 【综合拓展类作业】 5. 已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足，求此三角形的周长．
教学反思 本节课的难点是“二次根式的被开方数的非负性”,为了让学生熟练掌握,教师要注意精讲多练,练习题由浅入深,引导学生回顾平方根成立的条件,启发学生总结出二次根式有意义的条件,从而判断出字母或因式的取值范围.这种教学方法能让学生温故知新,更快地掌握所学知识.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册16章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念，2.了解二次根式 (根号下仅限于数) 加，减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
内容分析 本章内容“二次根式”是《课程标准》中“数与代数”领域的重要内容。本章是在之前学习的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算。在本章中，将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法。通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解。
学情分析 初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
单元目标 （一）教学目标1.了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由;2.理解二次根式的性质;3.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则、会用它们进行四则运算;4.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用5.先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.6.用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算.利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.7.通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.（二）教学重点、难点教学重点：二次根式的运算和运算法则;教学难点:在理解二次根式的性质和运算法则的基础上、养成良好的运算习惯.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1 二次根式216.2二次根式的乘除216.3二次根式的加减2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1二次根式1.掌握二次根式的概念2.理解二次根式的性质学生能说出二次根式以及运用二次根式的性质解决问题任务1.认识二次根式任务2.探究二次根式的性质任务3.出示例题16.2二次根式的乘除1．掌握二次根式的乘除法则．2．熟练运用法则进行计算 学生会利用法则进行二次根式的乘除运算任务1：探究二次根式的乘法法则任务2.探究二次根式的除法法则任务3.出示例题16.3二次根式的加减1、掌握二次根式的加减法则2、熟练运用二次根式的法则进行混合运算学生能综合运用法则进行二次根式的混合运算任务1.出示问题 任务2.探究二次根式的加法法则任务3.出示例题
《16章二次根式》单元教学设计
活动3：探究最简二次根式的概念
活动2：探究二次根式加减乘除混合运算
活动1：引入课题
16.3二次根式的加减(第二课时)
活动2：通过探究得出二次根式的性质
活动1：引入课题
16.1二次根式(第2课时)
活动4：例题
活动1：引入课题
活动2：探究二次根式的除法法则
16.2二次根式的乘除(第二课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：通过探究得出二次根式的乘法法则
活动3：例题
活动2：探究二次根式加减法则
活动1：由现实生活中的问题情境引入课题
16.3二次根式的加减(第一课时)
16.2二次根式的乘除(第1课时)
活动1：通过现实生活中的情境引入课题
活动2：由思考填空得出二次根式的概念
活动3：例题
16.1.二次根式(第1课时)
活动3：例题
二次根式
活动3：例题
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16.1.1二次根式
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
教学目标
1.理解二次根式的概念.
2.掌握二次根式有意义的条件.
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
新知导入
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 .你能将这个式子化简吗？
新知讲解
思考 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1) 如图①的海报为正方形，
若面积为 3 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
图①
正方形的面积 3 = 边长(x)×边长(x) (x＞0)
x2 = 3
同理：正方形的面积 S
边长
新知讲解
(2) 一个长方形的围栏，若长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为_____m．
解析：
长方形的面积 130 = 长(2x)×宽(x) (x＞0)
2x2 = 130
x2 = 65
新知讲解
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含有h的式子表示t，那么t为_____．
上面问题的结果为 , ,，这些式子表示什么含义呢？观察这些式子的被开方数和根指数，你能试着归纳它们的共同特点吗？
归纳总结
定义
一个正数有两个平方根;0的平方根为0;在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式(quadraticradical)，“”称为二次根号.
新知讲解
二次根号
被开方数
读作:根号a
a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等
实为“”，通常将根指数2省略不写
通过上述的学习，同学们可以自己举出具体的二次根式吗？
练一练
在实数范围内,负数没有平方根
判断下列代数式中哪些是二次根式？
(1)
(2)
(3)
(4) ，x
(5)
是
不是
是
是
是
被开方数恒为正数
典例精析
例1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？
二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数，即a≥0.
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时，在实数范围内有意义.
新知讲解
1.当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
2.二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
x为任意实数时，都有意义；当x≥0时，有意义.
当a＞0时,表示a的算术平方根，因此＞0；当a=0时,表示0的算术平方根，因此=0.这就是说，当a≥0时,≥0.
新知讲解
二次根式的双重非负性
(1)的被开方数 a 必须为大于或等于 0的非负数.
(2) （a≥0）既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果. 实际上就是非负数 a 的算术平方根，由于算术平方根的结果为非负数,故
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
2.使分式有意义的x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
A
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3. 当 x =____ 时，二次根式取最小值， 其最小值为______．
4. 式子有意义的条件是 .
-1
0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5．已知则ab=_____．
6．已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为_______.
7．若，则________.
6
15
-2021
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？
解：设长方形的长、宽分别为3xcm、2xcm，依题意得
3x 2x=18
6x2=18
x2=3
解得 x=
答：矩形的长、宽分别为3cm、2cm.
课堂总结
二次根式
概念
有意义的条件
被开方数为非负数
含有二次根号
被开方数（式子）
注意隐含条件：分式的分母不能为0.
板书设计
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号.
1.表示a的算术平方根；
2.a可以是数，也可以是式；
3.形式上含有二次根号；
4.a≥0，≥0 (双重非负性)；
5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果.
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列各式中不是二次根式的是 ( )
A. B.C. D.
2.下列各式：;
一定是二次根式的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C
B
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3．已知，的平方根是（ ）
A．16 B．8 C． D．
4．若、为实数，且，则的值（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．-1
C
D
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
∴此三角形的周长是 10或14.
谢谢
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