寒假预习-3.2.2 圆锥的体积 人教版数学 六年级下册（含解析）

寒假预习-3.2.2 圆锥的体积
人教版数学 六年级下册
一、选择题
1．下图中，圆锥的体积与圆柱（ ）的体积相等。
A．A B．B C．C
2．把一块体积是12cm3的圆柱形橡皮泥，捏成高为6cm的圆锥，圆锥的底面积是（ ）cm2。
A．2 B．6 C．12
3．一个圆锥是由等底等高的圆柱体改造而成的，那么圆柱去掉的部分的体积和圆锥的体积的比是（ ）。
A．1∶2 B．2∶1 C．3∶1
4．一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，若圆锥的高是15cm，则圆柱的高是（ ）cm。
A．5 B．45 C．30
5．把一段圆柱钢块削成一个最大圆锥体，削去部分重8千克，这段圆柱钢重（ ）。
A．8千克 B．12千克 C．24千克
二、填空题
6．一块圆柱体木料，底面积是36平方厘米，高6厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。
7．一辆货车车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后沙堆成一个高是3米的圆锥体，它的底面积是( )平方米。
8．下面物体①、②、③的底面积相等，④、⑤的底面积是①的3倍，物体③的高是其他物体的3倍。和物体②的体积相等的是物体( )和物体( )。
9．两个等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是30cm3，圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。
10．一块橡皮泥能捏一个底面半径为3cm，高5cm的圆柱，若捏等底的圆锥，高为( )cm，我还可以捏成一个长( )cm，宽( )cm，高( )cm的长方体。
11．一种圆锥形的救灾帐篷，它的底面直径是4m，高是2.4m。若一个这样的帐篷住4个人，平均每个人占用的空间是( )m3。
12．如图，将一个圆柱削成两个同样的圆锥，则削掉部分的体积是( )立方分米。
13．一个正方体木块的棱长是6厘米，把它削成一个最大的圆柱体。圆柱体的体积是( )立方厘米。再把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体的体积是( )立方厘米。
三、判断题
14．圆柱体体积一定大于圆锥体体积。( )
15．圆柱的体积是圆锥体积的3倍。( )
16．一个圆锥的底面积是12.56cm2，体积是25.12cm3，那么高是9cm。( )
17．如果圆锥的体积是8cm3，那么圆柱的体积是24cm3。( )
18．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积与削去部分体积的比是2∶1。( )
四、计算题
19．求出下列图形的体积。（单位：厘米）
五、解答题
20．一个圆锥形钢锭，底面直径6分米，高5分米，体积多少？如果每立方分米重3千克，这个钢锭重多少千克？
21．一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84米，高是4米。用这堆沙在10米宽的公路上铺4厘米厚的路面，能铺多少米？
22．河边有一堆沙子，近似于一个圆锥，沙堆的底面直径是6米，高是1.2米，如果每立方米的沙子重1.5吨，这堆沙子大约重多少吨？
23．一个底面直径是6厘米，高10厘米的圆柱形容器中倒入水，水面高8厘米，把一个高9厘米的圆锥形铁块全部浸没在容器中，水满溢出了28.26立方厘米，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？（π取3.14）
24．一个瓶子的下半部是圆柱形的，它的底面积是8平方厘米，瓶高12厘米。在瓶子里面注入高为6厘米的水（图①）。封好瓶口，将其倒立，则水高8厘米（图②）。这个瓶子的容积是多少立方厘米？
参考答案：
1．B
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等、底面积相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答。
【详解】根据分析得，因为圆锥的底面积与圆柱B的底面积相等，圆柱B的高是圆锥高的，所以圆锥的体积与圆柱B的体积相等。
故答案为：B
【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
2．B
【分析】圆柱形橡皮泥捏成圆锥后，体积不变，根据圆锥的体积公式：V＝，代入数据即可求圆锥的底面积。
【详解】12×3÷6
＝36÷6
＝6（cm2）
故答案为：B
【点睛】此题主要理解等积变形，灵活运用圆锥的体积公式求解。
3．B
【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱和圆锥的体积差相对于圆锥体积的（3－1）倍。由此可知，一个圆锥是由等底等高的圆柱体改造而成的，那么圆柱去掉的部分的体积和圆锥的体积的比是2∶1。据此解答即可。
【详解】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，
所以把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆柱去掉的部分的体积和圆锥的体积的比是2∶1。
故答案为：B
【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。
4．A
【分析】由题意可得等量关系：圆柱的底面积×高＝圆锥的底面积×高×，已知它们的底面积相等，那么由此可求得圆柱的高是圆锥的高的几分之几。
【详解】圆柱的底面积×高＝圆锥的底面积×高×；
已知它们的底面积相等，所以，圆柱的高＝圆锥的高×。
15×＝5（cm）
故答案为：A
【点睛】此题是考查圆柱、圆锥的关系，在等底等体积的情况下，圆柱的高是圆锥高的。
5．B
【分析】圆柱内最大的圆锥的体积是圆柱的体积的，则削去部分就是圆柱的体积的，削去部分对应的数量是8千克，据此利用分数除法的意义即可求出圆柱的重量。
【详解】8÷（1－）
＝8÷
＝8×
＝12（千克）
这段圆柱钢重12千克。
故答案为：B
【点睛】抓住圆柱内最大的圆锥的体积是圆柱的体积的，是解决此类问题的关键。
6． 216 72
【分析】圆柱体积公式为V圆柱＝Sh，与其等底等高的圆锥体积为圆柱体积的。
【详解】V圆柱＝Sh＝36×6＝216（立方厘米）
V圆锥＝216×＝72（立方厘米）
【点睛】圆柱体积不仅可以用公式V圆柱＝πr2h来计算，也可以用V＝Sh计算。
7．24
【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据求出长方体的体积，即这车沙的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝，代入数据即可求出这堆沙的底面积。
【详解】4×1.5×4÷3÷
＝6×4÷3×3
＝24（平方米）
即它的底面积是24平方米。
【点睛】此题主要考查等积变形，熟练运用长方形和圆锥的体积公式。
8． ③ ④
【分析】如果圆柱和圆锥的底面积和体积都相等，则圆锥的高是圆柱高的3倍；如果圆柱和圆锥的高和体积都相等，则圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，据此解答。
【详解】由分析得：
下面物体①、②、③的底面积相等，④、⑤的底面积是①的3倍，物体③的高是其他物体的3倍。和物体②的体积相等的是物体③和物体④。
【点睛】本题考查圆柱和圆锥体积的关系，根据圆柱和圆锥体积的关系进行解答即可。
9． 22.5 7.5
【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，也就是等底等高的圆锥的体积与圆柱体积的比是1∶3，已知它们的体积之和是30cm3，根据按比例分配的方法解答。
【详解】1＋3＝4
30×
＝30×
＝7.5（cm3）
30×
＝30×
＝22.5（cm3）
即圆柱的体积是22.5cm3，圆锥的体积是7.5cm3。
【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。
10． 15 9 5 3.14
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，和圆锥的体积公式：V＝Sh，橡皮泥的体积不变，底面积不变，所以等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的高的3倍。代入数据求出圆锥的高；根据圆柱的体积公式求出这块橡皮泥的体积，再利用长方体的体积公式，即可求出长方体的长、宽、高。（答案不唯一）
【详解】5×3＝15（cm）
即圆锥的高为15cm。
3.14×32×5
＝3.14×9×5
＝141.3（cm3）
长、宽、高的数据不唯一，只需满足体积是141.3cm3即可。因为9×5×3.14＝141.3，所以可捏成长为9cm，宽为5cm，高为3.14cm的长方体。
【点睛】此题的解题关键是抓住等积变形的原则，灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。
11．2.512
【分析】根据“”求出圆锥的体积，再除以4即可。
【详解】3.14×（4÷2） ×2.4×÷4
＝10.048÷4
＝2.512（立方米）
【点睛】熟记圆锥体积的计算公式是解答本题的关键。
12．401.92
【分析】两个同样的圆锥的体积加起来相当于求一个底的直径为8分米，高为12分米的圆锥的体积，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以把圆柱削成等底等高的圆锥，削掉部分的体积相当于圆柱体积的（1－），根据圆柱的体积公式：V＝πr2h把数据代入公式解答。
【详解】3.14×（8÷2）2×12×（1）
＝3.14×42×12×
＝3.14×16×12×
＝50.24×12×
＝401.92（立方分米）
【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
13． 169.56 56.52
【分析】由题意知，削成的最大圆柱体的底面直径是6厘米，高也是6厘米，可利用V＝Sh求出它的体积，再把圆柱削成最大的圆锥体，则圆锥是与圆柱等底等高的，圆锥的体积就是圆柱体积的，要求圆锥的体积可用圆柱的体积乘即可。
【详解】3.14×（6÷2）2×6
＝3.14×9×6
＝169.56（立方厘米）
169.56×＝56.52（立方厘米）
圆柱体的体积是169.56立方厘米；圆锥体的体积是56.52立方厘米。
【点睛】此题是考查圆柱、圆锥的体积计算，在求圆锥体积时不要忘了乘。
14．×
【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，它们的体积都与自己的底面半径和高有关，在不知道底面半径和高的情况下，无法比较它们的体积。
【详解】一个圆柱的底面半径是1，高也是1，一个圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的体积大于圆柱的体积，所以题目说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积之间的关系，解答本题的关键是掌握只有等底等高的圆柱和圆锥，才有圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
15．×
【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，如果圆柱和圆锥在等底等高的条件下，一个圆柱的体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍。据此解答。
【详解】由于圆柱、圆锥的体积公式中都有底面积和高两个未知的量，原题没有对这两个量加“等底等高”或其它条件的限制，所以不能说“圆柱的体积是圆锥体积的3倍”。
故答案为：×
【点睛】掌握等底等高的圆锥和圆柱的体积关系是解答题目的关键。
16．×
【分析】根据圆锥的体积公式可知，，已知底面积和体积，求高，逆推公式，验证题干中的高是否正确。
【详解】25.12÷12.56÷
＝2÷
＝6（cm）
69，所以题干中说“高是9cm”是错误的。
故答案为：×
【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆锥的体积公式来验证。
17．×
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，如果圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是8cm3，那么圆柱的体积就是圆柱体积的3倍。据此解答。
【详解】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，如果圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是8cm3，那么圆柱的体积就是圆柱体积的3倍，即8×3＝24（cm3）。
因此，如果圆锥的体积是8cm3，那么圆柱的体积是24cm3这种说法是错误的。
所以判断错误。
【点睛】解答此题要明确：圆锥和圆柱等底等高，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
18．×
【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以削去部分的体积相当于圆锥体积的（3﹣1）倍，再根据比的意义解答即可。
【详解】1∶（3－1）＝1∶2
所以，把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积与削去部分体积的比是1∶2。
因此，题干中的说法是错误的。
故答案为：×。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用，比的意义及应用。
19．12.56立方厘米；857.22立方厘米
【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，圆柱的体积＝底面积×高，解答此题即可。
【详解】（1）4÷2＝2（厘米）
圆锥的体积：3.14×22×3÷3
＝37.68÷3
＝12.56（立方厘米）
（2）10÷2＝5（厘米）
3÷2＝1.5（厘米）
圆柱的体积：3.14×52×12－3.14×1.52×12
＝942－84.78
＝857.22（立方厘米）
20．47.1立方分米；141.3千克
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝，已知圆锥的底面直径和高，从而可以求其体积；已知每立方分米钢锭的重量，乘圆锥的体积，就是这块圆锥形钢锭的总重量。
【详解】×3.14××5
＝×3.14×9×5
＝9.42×5
＝47.1（立方分米）
47.1×3＝141.3（千克）
答：这个圆锥形钢锭的体积是47.1立方分米，钢锭重141.3千克。
【点睛】此题主要考查圆锥的体积的计算方法的实际应用。
21．94.2米
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这堆沙的体积，再根据长方体的体积公式：V＝abh，那么a＝V÷bh，把数据代入公式解答求出能铺的长度。
【详解】4厘米＝0.04米
18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（米）
3.14×32×4×÷（10×0.04）
＝3.14×9×4×÷0.4
＝37.68÷0.4
＝94.2（米）
答：能够铺94.2米。
【点睛】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
22．16.956吨
【分析】根据题意，利用圆锥的体积公式V＝πr2h先求出圆锥形沙堆的体积，再乘每立方米的沙子重1.5吨即可。
【详解】3.14×（6÷2）2×1.2××1.5
＝3.14×9×1.2××1.5
＝11.304×1.5
＝16.956（吨）
答：这堆沙子大约重16.956吨。
【点睛】此题考查了圆锥体积的求解方法，注意最后不要忘记乘。
23．28.26平方厘米
【分析】根据题意可知：圆锥形铁块的体积等于容器内升高的10－8＝2厘米的水的体积＋溢出的水的体积。先根据圆柱的体积求出容器内升高的2厘米的水的体积，再加上28.26立方厘米求出这个圆锥形铁块的体积。由圆锥的体积可知：，将圆锥的体积和高代入上式，即可求出圆锥体铁块的底面积。
【详解】
＝
＝
＝56.52＋28.26
＝84.78（立方厘米）
84.78÷÷9
＝84.78×3÷9
＝254.34÷9
＝28.26（平方厘米）
答：这个圆锥形铁块的底面积是28.26平方厘米。
【点睛】解决此题的关键是求出圆锥形铁块的体积。向盛液体的容器中放入物体，且物体完全浸入液体中，液体溢出，放入的物体的体积等于容器中升高的那部分液体的体积加上溢出的液体的体积。
24．80立方厘米
【分析】因水的体积不变，所以用容器里水的体积，再加图二中上面没有水的圆柱的体积，就是瓶子的容积，据此解答。
【详解】8×6＋8×（12－8）
＝48＋8×4
＝48＋32
＝80（立方厘米）
答：这个瓶子的容积是80立方厘米。
【点睛】本题的关键是让学生理解，水的体积不变，图二中水的体积加上面没水的体积，就是瓶子的容积。