(共27张PPT)
第七章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条件概率
第七章
新课程标准 素养风向标
1.在具体情境中了解条件概率. 2.能用条件概率解决一些实际问题. 1.在具体情境中了解条件概率的概念.(数学抽象)
2.掌握求条件概率的方法.(数学运算)
3.能够运用条件概率解决一些简单的实际问题.(数学建模)
基础预习初探
主题1 条件概率的概念及性质
已知10道试题中有4道选择题,甲、乙两人依次不放回地抽取1道.
(1)甲抽到选择题的概率;
提示:甲抽到选择题的概率为=.
(2)在甲抽到选择题的情况下,乙抽到选择题的概率.
提示:在甲抽到选择题的情况下,乙抽到选择题的概率为=.
结论:
1.条件概率
一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=______为在事件A发生的条件下,
事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.条件概率的性质
设P(A)>0,则
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B,C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=______________
(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).
P(B|A)+P(C|A);
【对点练】
1.若P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由公式得P(B|A)===.
2.下列式子成立的是 ( )
A.P(A|B)=P(B|A)
B.0
C.P(AB)=P(B|A)·P(A)
D.P(AB|A)=P(B)
【解析】选C.由P(B|A)=得P(AB)=P(B|A)·P(A),而P(A|B)=知A不正确,C正确;当P(B)为零时,知P(B|A)=0,所以B不正确;D选项应是P(AB|A)=P(B|A),故D不正确.
主题2 概率的乘法公式
1.袋中有3个红球,2个白球,从中不放回摸2次,每次摸1个球,则2次都为红球的概率是多少
提示:用Ai(i=1,2)表示事件“第i次摸出红球”,则P(A1A2)==.
2.对两个事件A,B,如果已知P(A)与P(B|A),如何计算P(AB)呢
提示:由条件概率的定义,对于任意两个事件A,B,若P(A)>0,则P(AB)= P(A) P(B|A).
结论:概率的乘法公式
对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=___________.
P(A)P(B|A)
【对点练】
设A,B为两个事件,已知P=,P=,则P= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.由条件概率的计算公式,可得:P=PP=×=.
核心互动探究
探究点一 利用定义计算条件概率
【典例1】(1)袋中装有形状和大小完全相同的4个黑球,3个白球,从中不放回地依次随机摸取两球,在第一次摸到了黑球的条件下,第二次摸到白球的概率是( )
A. B. C. D.
(2)(2022·天津高二检测)春季是鼻炎和感冒的高发期,某人在春季里鼻炎发作的概率为,鼻炎发作且感冒的概率为,则此人在鼻炎发作的情况下,感冒的概率为 .
【思维导引】(1)首先求出第一次摸到黑球的概率,然后求出第一次摸到黑球,第二次摸到白球的概率,利用条件概率的计算公式即可求解.
(2)根据条件概率的定义及条件概率的计算方法求解.
【解析】(1)选C.设第一次摸到黑球为事件A,则
P=,第二次摸到白球为事件B,则P=×,设第一次摸到黑球的条件下,第二次摸到白球的概率为P===.
(2)设某人在春季里鼻炎发作为事件A,感冒为事件B,则P(A)=,P(AB)=,则此人在鼻炎发作的情况下,感冒的概率为P(B∣A)===.
答案:
【类题通法】用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意,弄清概率模型;
(2)计算P(A),P(AB);
(3)代入公式求P(B|A)=.
【定向训练】
气象资料表明,某地区每年七月份刮台风的概率为,在刮台风的条件下,下大雨的概率为,则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.设该地区每年七月份刮台风为事件A,设该地区每年七月份下大雨为事件B,则该地区七月份既刮台风又下大雨为事件AB,由题得
P(A)=,P(B|A)=,所以P(B|A)===,所以P(AB)=×=.
探究点二 缩小样本点范围求条件概率
【典例2】先后抛掷一枚骰子两次,将出现的点数分别记为a,b.
(1)设向量m=(a,b),n=(2,-1),求m·n=1的概率;
(2)求在点数a,b之和不大于5的条件下,a,b中至少有一个为2的概率.
【思维导引】首先求出先后抛掷一枚骰子两次包含的基本事件个数.
(1)利用向量数量积的坐标运算可得2a-b=1,再求出满足条件的基本事件个数,利用古典概型的概率计算公式即可求解.
(2)列出点数a,b之和不大于5的基本事件个数,再列出a,b中至少有一个为2的基本事件个数,利用条件概率计算公式即可求解.
【解析】先后抛掷一枚骰子两次,“将出现的点数分别记为a,b”包含的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,5),(6,6),共36个.
(1)记“向量m=(a,b),n=(2,-1),且m·n=1”为事件A,由m·n=1得2a-b=1,
从而事件B包含(1,1),(2,3),(3,5)共3个基本事件,故P(A)==.
(2)设“点数a,b之和不大于5”为事件C,包含(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个基本事件;设“a,b中至少有一个为2”为事件D,包含(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),共11个基本事件,所以n(CD)=5,故“在点数a,b之和不大于5的条件下,a,b中至少有一个为2”的概率:P===.
【类题通法】
利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法
将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A,原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件,每个基本事件发生的概率相等,从而可以在缩小的事件空间中利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=,这里n(A)和n(AB)是基于缩小的基本事件范围的.
【定向训练】
1.把一枚骰子连续抛掷两次,记事件M为“两次所得点数均为奇数”,N为“至少有一次点数是5”,则P等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.事件M为“两次所得点数均为奇数”,则事件为,,,,,,,,,故n=9;N为“至少有一次点数是5”,则事件MN为,,,,,n=5,
所以P=.
2.我国高铁发展迅速,某机构统计了3个车站中经停该站的高铁列车正点率,根据以往的记录有以下的数据:
从这400个车次中随机选择1个车次,若已知选到的是正点到达的高铁列车,则该高铁列车来自车站3的概率为 .
【解析】正点的列车数为100×0.97+200×0.98+100×0.99=392,来自车站3且正点到达的列车数为0.99×100=99,则所求的概率为.
答案:
车站 正点率 车次
1 0.97 100
2 0.98 200
3 0.99 100
探究点三 乘法公式的应用
【典例3】一批产品中有4%的次品,而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率.
【思维导引】任取一件产品是一等品,首先应是合格品.
【解析】设A表示事件“取到的产品是一等品”,B表示事件“取到的产品是合格品”,则P(A|B)=45%,P()=4%,于是P(B)=1-P()=96%,
所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)
=96%×45%=43.2%.
【类题通法】利用乘法公式求概率的步骤
(1)求事件B的概率;
(2)求在事件B发生的前提下事件A发生的概率;
(3)代入乘法公式求解.
【知识延拓】乘法公式的拓展
一般地,设有n个事件A1,A2,…,An,n≥2,并且P(A1A2…An-1)>0,则由条件概率的定义,可得P(A1A2…An)=P(An|A1A2…An-1)P(An-1|A1A2…An-2)·…·P(A3|A1A2)P(A2|A1)·P(A1).
【定向训练】
1.(2022·滨海高二检测)已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.6,且事件A,B相互独立,则P= .
【解析】由概率的乘法公式可得P=P(A)·
P=0.3×0.6=0.18.
答案:0.18
2.一个盒子中有6个白球,4个黑球,从中不放回地每次任取1个,连取2次,求:
(1)第一次取得白球的概率;
(2)第一、第二次都取得白球的概率;
(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.
【解析】设A表示事件“第一次取得白球”,B表示事件“第二次取得白球”,则(1)P(A)===0.6.
(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)P(B)=P()P(B|)=×=.
【跟踪训练】
在100件产品中有5件是次品,从中连续无放回地抽取3次,问第三次才取得次品的概率.
【解析】设Ai表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取得次品”,
则B=A3,P(B)=P(A3)=P()P(|)P(A3| )=××≈0.046.
课堂素养达标
1.下面几种概率是条件概率的是 ( )
A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,各投篮一次都投中的概率
B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7,在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C.有10件产品,其中3件次品,抽2件产品进行检验,恰好抽到一件次品的概率
D.小明上学路上要过四个路口,每个路口遇到红灯的概率都是,小明在一次上学中遇到红灯的概率
【解析】选B.由条件概率的定义知B为条件概率.
2.已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)等于( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由P(AB)=P(B|A)P(A),得P(A)==.
3.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为 ( )
A.0.72 B.0.8 C.0.9 D.0.5
【解析】选A.在种子发芽的条件下成长为幼苗,所以为条件概率问题.设“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗(发芽,又成活为幼苗)”为事件A∩B,则发芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,P(A)=0.9.根据乘法公式得P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.
4.现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个,总的事件数n(Ω)==30.
根据分步乘法计数原理,有n(A)==20,所以P(A)===.
(2)因为n(AB)==12,所以P(AB)===.
(3)由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)===.(共20张PPT)
7.1.2 全概率公式
第七章
新课程标准 素养风向标
能运用全概率公式求解复杂事件的概率. 1.掌握全概率公式.(数学抽象)
2.会运用全概率公式求解复杂事件的概率.(数学运算)
基础预习初探
主题 全概率公式
有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱中装有1个红球4个白球,2号箱中装有2个红球2个白球,3号箱中装有3个红球.某人从三个箱子中任取一箱,从中任意摸出一球.
(1)若记Ai={球取自i号箱},则事件A1,A2,A3是什么关系
提示:A1,A2,A3是两两互斥关系.
(2)若记B={取得红球},则事件B可表示为哪些事件的和
提示:B=A1B+A2B+A3B,且A1B,A2B,A3B两两互斥.
(3)事件B发生的概率等于什么
提示:P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(Ai)P(B|Ai).
结论:全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥事件,
A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,
则对任意的事件B Ω,有P(B)=_______________.
P(Ai)P(B|Ai)
【对点练】
1.某小组有20名射手,其中1,2,3,4级射手分别为2,6,9,3名.若选1,2,3,4级射手参加比赛,则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,0.45,0.32,今随机选一人参加比赛,则该小组比赛中射中目标的概率为 .
【解析】设B表示“该小组比赛中射中目标”,
Ai(i=1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”,
则P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×0.85+×0.64+×0.45+×0.32=0.527 5.
答案:0.527 5
2.现有两批相同的产品,其中第1批和第2批分别有12件和10件,每批产品中各有1件废品,现在先从第1批产品中任取1件放入第2批中,然后从第2批中任取1件,求取到废品的概率.
【解析】设A表示“取到废品”,
B表示“从第1批中取到废品”,有P(B)=,
P(A|B)=,P(A|)=,所以P(A)
=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×+×=.
核心互动探究
探究点一 利用全概率公式求概率
【典例1】一批产品共8件,其中正品有6件,次品有2件.现不放回地从中取产品两次,每次一件,求第二次取得正品的概率.
【思维导引】先用字母表示出事件,再利用全概率公式计算.
【解析】记Ai={第i次取得正品},i=1,2,则A2=A1A2+A2,所以P(A2)=P(A1A2)+P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=.
【延伸探究】
本题条件不变,现不放回地从中取产品三次,每次一件,求第三次取得正品的概率.
【解析】记Ai={第i次取得正品},i=1,2,3,
则A3=A1A2A3+A2A3+A1A3+A3,
所以P(A3)=P(A1A2A3+A2A3+A1A3+A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2)+
P(A2)P(A3|A2)+P(A1)P(A3|A1)+P()P(A3|)
=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P()P(A2|)P(A3|A2)+P(A1)P(|A1)P(A3|A1)+
P()P(|)P(A3|)=××+××+××+××=.
【类题通法】利用全概率公式求解概率问题的方法
(1)判断所求问题是否为全概率类型;
(2)若是,正确假设完备事件组及事件B;
(3)计算P(Ai),P(B|Ai);
(4)将(3)所得代入相应公式.
提醒:应用全概率公式计算某一事件A的概率时,关键在于构造出一个完备事件组,使得这些事件的概率已知,且在这些事件发生的条件下事件A的条件概率已知.
【定向训练】
(2022·辽宁高二检测)已知某地区6%的男性和0.4%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半,从中随机选一人,则此人恰是色盲的概率是 .
【解析】设A,B分别表示随机选1人为男性和女性,用事件C表示此人是色盲,则A,B互斥,故P=P(A)P+PP=×6%+×0.4%=0.032.
答案:0.032
探究点二 全概率公式的应用
【典例2】某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有以下的数据:
设这三家制造厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.
(1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率;
(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,求此次品出自三家制造厂的概率分别是多少.
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
【思维导引】用A表示“取到的是一只次品”,Bi表示“所取到的产品是由第i家制造厂提供的”
(1)根据全概率公式计算事件A发生的概率.
(2)“若取到的是次品,计算它是第i(i=1,2,3)家厂家的概率”,就是计算在A发生的条件下,事件Bi发生的概率.
【解析】设A表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家制造厂提供的”.则B1,B2,B3是样本空间的一个划分,P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,
P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.
(1)由全概率公式得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5.
(2)该元件来自制造厂1的概率为P(B1|A)===0.24,
该元件来自制造厂2的概率为P(B2|A)===0.64.
该元件来自制造厂3的概率为P(B3|A)===0.12.
【类题通法】能用全概率公式解决的问题具有的特点
(1)该随机试验可以分为两步,第一步试验有若干个可能结果,在第一步试验结果的基础上,再进行第二步试验,又有若干个结果;
(2)如果要求与第二步试验结果有关的概率,则用全概率公式.
【定向训练】
1.播种用的一等小麦种子中混合2.0%的二等种子,1.5%的三等种子,1.0%的四等种子.用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率为0.5,0.15,0.1,0.05.求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率.
【解析】以Ai(i=1,2,3,4)分别表示任选一颗种子是i等(i=1,2,3,4)这一事件,用B表示在这批种子中任选一颗且这颗种子所结的穗含50颗以上麦粒这一事件.
由全概率公式:
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.955×0.5+0.02×0.15+0.015×0.1+0.01×0.05=0.482 5.
2.(2022·临沂高二检测)“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心,据考证“青团”之称大约始于唐代,已有1000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”,已知甲箱中有4个蛋黄馅的“青团”和3个肉松馅的“青团”,乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”和2个肉松馅的“青团”.
(1)若从甲箱中任取2个“青团”,求这2个“青团”馅不同的概率;
(2)若先从甲箱中任取2个“青团”放入乙箱中,然后再从乙箱中任取1个“青团”,求取出的这个“青团”是肉松馅的概率.
【解析】(1)从甲箱中任取2个“青团”的事件数为=21,
这2个“青团”馅不同的事件数为=12,
所以这2个“青团”馅不同的概率为P==.
(2)设事件A为“从乙箱中任取1个‘青团’,取出的这个‘青团’是肉松馅”,事件B1为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是蛋黄馅”,事件B2为“从甲箱中取出的2个‘青团’都是肉松馅”,
事件B3为“从甲箱中取出的2个‘青团’为1个蛋黄馅1个肉松馅”,
则B1,B2,B3彼此互斥.
P===,P===,P===,P=,P=,P=,
所以P(A)=PP+PP+PP=×+×+×=,所以取出的这个“青团”是肉松馅的概率为.
课堂素养达标
1.市场上某种商品由三个厂家同时供应,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙、丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,则市场上该商品的次品率为( )
A.0.035 B.0.05 C.0.025 D.0.075
【解析】选C.设Ai表示取到第i个工厂产品,i=1,2,3,B表示取到次品,由题意得:
P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04,
由全概率公式得:
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.5×0.02+0.25×0.02+0.25×0.04=0.025.
2.某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为100%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为 ( )
A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0
【解析】选A.用A表示事件“考生答对了”,用B表示“考生知道正确答案”,用表示“考生不知道正确答案”,则P(B)=0.5,P()=0.5,P(A|B)=100%,
P(A|)=0.25,则P(A)=P(AB)+P(A)
=P(A|B)P(B)+P(A|)P()
=1×0.5+0.25×0.5=0.625.
3.设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱,3箱,2箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.2,0.3,从这10箱产品中任取1箱,再从这箱中任取一件产品,求取得正品的概率.
【解析】设A为事件“取得的产品为正品”,
B1,B2,B3分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的”.
由题意得P(B1)=,P(B2)=,P(B3)=,
P(A|B1)=0.9,P(A|B2)=0.8,P(A|B3)=0.7,
故P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=×+×+×=0.83.(共35张PPT)
7.2 离散型随机变量及其分布列
第七章
新课程标准 素养风向标
1.在具体问题分析中,理解取有限个值的离散型随机变量的概念. 2.在具体问题的分析中,理解取有限个值的离散型随机变量分布列的概念. 1.了解随机变量的意义,理解随机变量的概念.(数学抽象)
2.理解随机变量所表示的试验结果的含义.(数学抽象)
3.会求简单的离散型随机变量的概率分布.(数学运算)
4.掌握离散型随机变量的分布列性质.(数学抽象)
5.理解两点分布,并能进行简单应用.(数学运算)
基础预习初探
主题1 离散型随机变量
在含有10件次品的100件产品中,任意取4件,变量X表示4件产品中的次品数.
(1)随机试验的结果构成的样本空间是什么
提示:如果用0表示“正品”,用1表示“次品”,用0和1构成的长度为4的字符串表示样本点,则样本空间:
Ω={0000,0001,0010,0100,1000,0011,0101,1001,0110,1010,1100,0111,
1011,1101,1110,1111}.
(2)X=2代表什么
提示:因为变量X表示4件产品中的次品个数,所以X=2代表取出的4件产品中含有2件次品,其事件包含的样本点为:0011,0101,1001,0110,1010,1100.
(3)变量X有什么特征
提示:①取值依赖于样本点;②所有可能取值是明确的.
结论:
1.随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个________,都有唯一的_________与之对
应,我们称X为随机变量.
2.离散型随机变量
(1)定义:可能取值为_______或可以_________的随机变量,称为离散型随机变量.
(2)表示:通常用大写的英文字母表示随机变量,如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机
变量的取值,如x,y,z.
样本点ω
实数X(ω)
有限个
一一列举
【对点练】
拋掷2颗骰子,所得点数之和记为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是 ( )
A.2颗都是4点
B.1颗是1点,另1颗是3点
C.2颗都是2点
D.1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点
【解析】选D.D是ξ=4代表的所有试验结果.
主题2 离散型随机变量的分布列及性质
袋中有5个球,其中3个红球,2个白球,从中随机抽取2个球,其中白球的个数记作X.
(1)随机变量X的取值范围是什么
提示:随机变量X的取值范围是{0,1,2}.
(2)X取0,1,2时对应的概率是多少
提示:P(X=0)==;P(X=1)==;P(X=2)==.
(3)求P(-1≤X≤1)的值.
提示:因为X只能在0,1,2中取值,所以-1≤X≤1等价于X=0或X=1,又因为X=0与X=1互斥,所以P(-1≤X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.
结论:离散型随机变量的分布列
(1)定义:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的表示
①解析式:__________,i=1,2,…,n;
②表格:
③概率分布图.
X x1 x2 … xn
P ___ ___ … pn
P(X=xi)=pi
p1
p2
(3)离散型随机变量分布列的性质
①pi≥__,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=__.
1
0
【对点练】
随机变量X的分布列为
其中a,b,c成等差数列,则P等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
又a+b+c=1,所以b=,所以P(|X|=1)=a+c=.
X -1 0 1
P a b c
主题3 两点分布
问题一:抛一枚硬币的随机试验中,令X=如果正面向上的概率为,则随机变量X的分布列为
X 0 1
P
问题二:某人购买一张彩票的随机试验中,令X=若中奖的概率为p,则X的分布列为
(1)上述两个问题中的试验结果都有几个
提示:上述两个随机试验的结果都有两个.
(2)上述两个问题中的试验结果有什么特点
提示:①随机试验的结果只有两个.
②两个试验结果是对立的.
X 0 1
P 1-p p
结论:两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义
____________如果P(A)=p,则P()=____,那么X的分布列如表所示
我们称X服从两点分布或0-1分布.
X 0 1
P 1-p p
X=
1-p
【对点练】
若离散型随机变量的分布列为
则c= .
【解析】由分布列的性质得2c-1+c-1=1,解得c=1.
答案:1
X 0 1
P 2c-1 c-1
核心互动探究
探究点一 用随机变量表示随机试验的结果
【典例1】写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值和所表示的随机事件.
(1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;
(2)一袋中装有5个同样大小的白球,编号为1,2,3,4,5,现从中取出3个球,被取出的球的最大号码数X.
【思维导引】(1)根据红球个数为10个,所以最多摸11次可摸到白球.
(2)先确定可能的最大号码,再确定其余号码.
【解析】(1)设所需的取球次数为X,
则X=1,2,3,4,…,10,11.
X=i表示前i-1次取到红球,第i次取到白球,这里i=1,2,…,11.
(2)X的可能取值为3,4,5,
X=3,表示取出的3个球的编号为1,2,3;
X=4,表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4;
X=5,表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.
【延伸探究】
本例(2)中的“被取出的球的最大号码数X”改为“被取出的球的最小号码数X”,结果如何
【解析】X的可能取值为1,2,3,
X=1,表示取出的3个球的编号为1,2,3或1,2,4或1,2,5或1,3,4或1,3,5或1,4,5;
X=2,表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5;
X=3,表示取出的3个球的编号为3,4,5.
【类题通法】
1.确定离散型随机变量结果的步骤
(1)确定随机变量的所有可能取值;
(2)依据随机变量各个取值确定对应试验结果.
2.确定离散型随机变量结果的关键点
解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果.
提醒:解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【定向训练】
1.袋中有3个白球,5个黑球,从中任取2个,则可以作为离散型随机变量的是( )
A.至少取到1个白球
B.取到白球的个数
C.至多取到1个白球
D.取到的球的个数
【解析】选B.根据离散型随机变量的定义可得选项B是离散型随机变量,其可以一一列出,其中随机变量X的取值为0,1,2.
2.(2022·深圳高二检测)甲、乙两班进行足球对抗赛,每场比赛赢的队伍得3分,输的队伍得0分,平局的话,两队各得1分,共进行三场.用ξ表示甲的得分,则ξ=3表示( )
A.甲赢三场
B.甲赢一场、输两场
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
【思维导引】ξ=3表示甲队得分为3分这个事件,可以直接列举情况即可.
【解析】选D.因为赢的队伍得3分,输的队伍得0分,平局的话,两队各得1分,所以ξ=3可以分成两种情况,即3+0+0或1+1+1,即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次.
【跟踪训练】
1.同时抛掷3个硬币,正面向上的个数是随机变量,这个随机变量的所有可能取值为( )
A.3 B.4
C.1,2,3 D.0,1,2,3
【解析】选D.同时抛掷3个硬币,正面向上的个数可能取值为0,1,2,3.
2.甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛,规定采用“七局四胜制”.用X表示需要比赛的局数,写出“X=6”时表示的试验结果.
【解析】根据题意可知,X=6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出.
探究点二 求离散型随机变量的分布列
【典例2】有2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示总检测费用(单位:元),求X的分布列.
【思维导引】(1)根据排列组合知识求出基本事件总数与第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品这个事件含有的基本事件的总数,然后计算概率;
(2)X的可能取值为200,300,400,分别求出概率可得分布列.
【解析】(1)设“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则P(A)==.
(2)X的可能取值为200,300,400,则P(X=200)==,P(X=300)==,
P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1--=.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
【类题通法】求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n)以及X取每个值的意义;
(2)求出X取各值的概率P(X=xi)=pi;
(3)列成表格得到分布列.
【定向训练】
甲、乙是两名射击运动员,根据历史统计数据,甲一次射击命中10,9,8环的概率分别为,,,乙一次射击命中10,9环的概率分别为,,一轮射击中,甲、乙各射击一次.甲、乙射击相互独立,每次射击也互不影响.
(1)在一轮射击中,求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率;
(2)记一轮射击中,甲乙命中的环数之和为X,求X的分布列;
(3)进行三轮射击,求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率.
【解析】(1)当甲命中环数高于乙命中环数时,只有一种情况:甲击中10环,且乙击中9环,这时概率为=×=;
所以甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率p=1-=;
(2)甲、乙命中的环数之和X的可能取值为17,18,19,20,
P(X=17)=×=,P(X=18)=×+×=,P(X=19)=×+×=,P(X=20)=×=,
所以随机变量X的分布列为
X 17 18 19 20
P
(3)甲、乙命中的环数之和低于52环时,甲、乙每轮命中环数之和都是17,其概率为P1==,所以甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率为P=1-P1=1-=.
探究点三 两点分布
【典例3】(1)(多选题)下列问题中的随机变量服从两点分布的是 ( )
A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X
B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量X
C.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X=
D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X
(2)某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=1)等于 ( )
A.0 B. C. D.
【思维导引】(1)根据两点分布的特点判断.
(2)设出失败的概率为p,则成功的概率为2p,建立方程求解.
【解析】(1)选BCD.两点分布又叫0-1分布,所有的试验结果有两个,选项B,C,D满足定义,
而选项A,抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X,则X的所有可能的结果有6种,不是两点分布.
(2)选D.因为某项试验的成功率是失败率的2倍,用离散型随机变量X描述1次试验成功的次数,所以设失败率为p,则成功率为2p.
所以X的分布列为
则“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,所以p+2p=1,解得p=,所以P(X=1)=.
X 0 1
P p 2p
【类题通法】两点分布的适用范围
(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律.
(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律.
【定向训练】
1.已知X服从两点分布,且P=0.3,则P= .
【解析】因为X服从两点分布,
所以P=1-P=0.7.
答案:0.7
2.若离散型随机变量X的分布列为
则常数a的值为 ( )
A. B. C.或 D.1或
【解析】选A.由离散型随机变量的分布列的性质知,所以a=.
X 0 1
P 6a2-a 3-7a
课堂素养达标
1.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是 ( )
A.5 B.9 C.10 D.25
【解析】选B.号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.
2.下列表格中,不是某个随机变量的分布列的是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.C选项中,P(X=1)<0不符合P(X=xi)≥0的特点,也不符合P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1的特点,故C选项不是分布列.
X -2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
X 1 2 3
P
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
3.下列变量中,不是随机变量的是 ( )
A.一射击手射击一次命中的环数
B.标准状态下,水沸腾时的温度
C.抛掷两颗骰子,所得点数之和
D.某电话总机在时间区间(0,T)内收到的呼叫次数
【解析】选B.因为标准状态下,水沸腾时的温度是一个常量,所以不是随机变量.
4.在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x,y,记ξ=|x-2|+|y-x|.写出随机变量ξ可能的取值,并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果.
【解析】因为x,y可能取的值为1,2,3,所以0≤|x-2|≤1,0≤|y-x|≤2,所以0≤ξ≤3,
所以ξ可能的取值为0,1,2,3.
用(x,y)表示第一次抽得卡片号码为x,第二次抽得号码为y,则随机变量ξ取各值的意义为:ξ=0表示两次抽得卡片编号都是2,即(2,2).
ξ=1表示(1,1),(2,1),(2,3),(3,3).
ξ=2表示(1,2),(3,2).
ξ=3表示(1,3),(3,1).(共34张PPT)
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
第七章
新课程标准 素养风向标
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的均值. 3.能利用离散型随机变量的均值解决一些实际问题. 1.理解随机变量均值的概念.(数学抽象)
2.会根据离散型随机变量的分布列计算离散型随机变量的均值.(数学运算)
3.掌握离散型随机变量均值的性质.(数学抽象)
4.能利用随机变量的均值解决一些简单问题.(数学建模)
基础预习初探
主题1 离散型随机变量的均值
有一种彩票,每注售价2元,中奖的概率为1%.如果每注奖的奖金为50元,
(1)购买一注彩票获得的收益为随机变量X,写出X的分布列.
提示:随机变量X的取值为50,-2,分布列为
(2)那么购买一注彩票的期望收益为多少元
提示:由题意购买一注彩票的期望收益为50×+(-2)×=-=-1.48.
X 50 -2
P 0.01 0.99
结论:离散型随机变量的均值
(1)概念:一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称
为期望).
(2)意义:反映了随机变量X取值的平均水平.
(3)两点分布的均值:
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=__.
xipi
p
【对点练】
已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
则X的数学期望E(X)= ( )
A. B.2 C. D.3
【解析】选A.E(X)=1×+2×+3×=.
主题2 离散型随机变量均值的性质
1.设离散型随机变量X,试问η=aX+b (a,b是常数)也是随机变量吗
提示:a,b作为具体的常数,不会改变随机变量X的属性,所以是随机变量.
2.设η=aX+b,试用E(X)表示E(η).
提示:E(η)=(ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b)pn=a(x1p1+x2p2+…+
xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn)=aE(X)+b.
结论:
若X,Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则E(Y)=E(aX+b)=________.
aE(X)+b
【对点练】
1.随机变量X的分布列如表所示,则E= ( )
X -2 -1 1
P a
A.0 B.- C.-1 D.-2
【解析】选D.由随机变量的分布列的性质可得+a+=1,解得a=,
则E=-2×+(-1)×+1×=-, 所以E=2E-1=2×-1=-2.
2.已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如表所示,则m的值
为 ( )
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
【解析】选A.η=12ξ+7且E(η)=34,则E(ξ)=,
即E(ξ)=1×+2m+3n+4×=,又+m+n+=1,解得m=.
核心互动探究
探究点一 求离散型随机变量的均值
【典例1】某车站每天上午发出两班客车,每班客车发车时刻和发车概率如下:
第一班车:在8:00,8:20,8:40发车的概率分别为,,;
第二班车:在9:00,9:20,9:40发车的概率分别为,,.
两班车发车时刻是相互独立的,一位旅客8:10到达车站乘车.
求:(1)该旅客乘第一班车的概率;
(2)该旅客候车时间(单位:分钟)的分布列;
(3)该旅客候车时间的均值.
【思维导引】(1)第一班车若在8:20或8:40发出,则旅客能乘坐第一班车,这两个事件是互斥的,根据互斥事件的概率公式得到其概率;
(2)由题意得出候车时间的可能取值,并求出各个取值对应的概率,写出分布列;
(3)根据分布列,代入公式,求随机变量的均值.
【解析】(1)该旅客可能乘8:20的车,也可能乘8:40的车,这两个乘车时间互斥,概率为P=+=;
(2)该旅客候车时间设为X,由题意X的可能值依次为(单位:分钟):10,30,50,70,90,
P(X=10)=,P(X=30)=,
在第一班车8:00已经发出的情况下,他只能乘第二班车,
P(X=50)=×=,P(X=70)=×=,P(X=90)=×=.
分布列为
X 10 30 50 70 90
P
(3)由(2)得该旅客候车时间的均值为
E(X)=10×+30×+50×+70×+90×=30.
所以旅客候车时间的均值为30.
【类题通法】求离散型随机变量均值的步骤
(1)写出X可能的全部取值.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)由均值的定义求出E(X).
【定向训练】
1.已知离散型随机变量X的分布列如下:
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其数学期望E(X)等于 ( )
A.1 B.0.6 C.2+3m D.2.4
【思维导引】根据分布列的性质先求出m,再套用数学期望的公式即可求解.
【解析】选D.因为分布列中出现的所有的概率之和等于1,所以0.5+m+0.2=1,解得m=0.3,所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4.
2.已知甲口袋中有3个红球和2个白球,乙口袋中有2个红球和3个白球,现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换,记交换后甲口袋中红球的个数为ξ,则E(ξ)= ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.ξ的可能取值为2,3,4.
ξ=2表示从甲口袋中取出一个红球,从乙口袋中取出一个白球,故P=×=.
ξ=3表示从甲、乙口袋中各取出一个红球,或从甲、乙口袋中各取出一个白球,
故P=×+×=.
ξ=4表示从甲口袋中取出一个白球,从乙口袋中取出一个红球,故P=×=.
所以E(ξ)=2×+3×+4×=.
探究点二 离散型随机变量均值性质的应用
【典例2】已知随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2
P m
若Y=-2X,则E(Y)= .
【思维导引】先根据随机变量X的分布列求出m的值,再利用E(Y)=E(aX+b)求E(Y)的值.
【解析】由随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=,所以E(X)=(-2)
×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),
即E(Y)=-2×=.
答案:
【类题通法】求随机变量Y=aX+b均值的方法
若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b(其中a,b为常数,且a≠0),一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).
【定向训练】
1.已知Y=4X+7,E(Y)=15,则E(X)= ( )
A.67 B.11 C.2 D.1
【解析】选C.E(Y)=4E(X)+7=15,则E(X)=2.
2.已知随机变量X的分布列为
且Y=aX+3,若E(Y)=-2,求a的值.
X 1 2 3
P
【解析】由X的分布列得E(X)=1×+2×+×3=.因为Y=aX+3,所以E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=a+3=-2,所以a=-5,所以a=-3.
【跟踪训练】
已知随机变量X的分布列如表所示,则E(6X+8)= ( )
X 1 2 3
P 0.2 0.4 0.4
A.13.2 B.21.2
C.20.2 D.22.2
【解析】选B.首先E(X)=1×0.2+2×0.4+3×0.4=2.2,所以E(6X+8)=6E(X)+8=6×2.2+8=21.2.
探究点三 离散型随机变量均值的应用
【典例3】(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
【命题意图】本题主要考查概率的分布列及数学期望的相关问题,旨在考查数学建模及数学运算的核心素养.
【解析】(1)X的取值可能为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)假设先答B类问题,得分为Y,
则Y可能为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6,
由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4,
所以E(Y)>E(X),
所以应先答B类问题.
【类题通法】
解决与实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值.
【定向训练】
1.在某公司的两次投标工作中,每次中标可以获利14万元,没有中标损失成本费
8 000元.若每次中标的概率为0.7,每次投标相互独立,设公司这两次投标盈利为X万元,则E(X)= ( )
A.18.12 B.18.22 C.19.12 D.19.22
【解析】选C.X的可能取值为28,13.2,-1.6,且P=0.72=0.49,P=2×0.7×0.3=0.42,
P=0.32=0.09,
故E(X)=28×0.49+13.2×0.42-1.6×0.09=19.12.
2.已知甲、乙两人进行一场乒乓球比赛,比赛采用五局三胜制,即两人中先胜三局的人赢得这场比赛,比赛结束.已知第一局比赛甲获胜的概率为,且每一局的胜者,在接下来一局获胜的概率为.
(1)求两人打完三局恰好结束比赛的概率;
(2)设比赛结束时总的比赛局数为随机变量X,求X的数学期望E(X).
【解析】(1)由题意,两人打完三局恰好结束比赛的基本事件有{三局甲胜}、{三局乙胜},
而第一局比赛甲获胜的概率为,则第一局比赛乙获胜的概率为,又胜者在接下来一局获胜的概率为,
所以{三局甲胜}的概率为××=;{三局乙胜}的概率为××=;
所以两人打完三局恰好结束比赛的概率P=+=.
(2)由题意知:X的可能取值为3,4,5,由(1)知:P(X=3)=,
当X=4时,{两局甲胜,一局乙胜,最后甲胜}、{两局乙胜,一局甲胜,最后乙胜},
{两局甲胜,一局乙胜,最后甲胜}的概率P1=×××+×××+×××=,
{两局乙胜,一局甲胜,最后乙胜}的概率P2=×××+×××+×××=,
所以P(X=4)=+=,
当X=5时,前四局{甲、乙各胜两局},
P(X=5)=×××+×××+×××+×××+×××+×××=,
综上,E(X)=3×+4×+5×=.
课堂素养达标
1.(2021·北京朝阳高二检测)若随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
则X的数学期望E(X)是 ( )
A. B. C.1 D.
【解析】选C.由已知,得E(X)=0×+1×+2×=1.
2.若随机变量X的分布列如表,则E(X)= ( )
X 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A. B. C. D.
【解析】选D.因为2x+3x+7x+2x+3x+x=1,
所以x=,E(X)=3x+14x+6x+12x+5x=40x=.
3.某船队若出海后天气好,可获得5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知天气好的概率为0.6,则出海的期望效益是( )
A.2 000元 B.2 200元
C.2 400元 D.2 600元
【解析】选B.E(X)=5 000×0.6+×=2 200,即期望效益为2 200元.
4.某运动员射击一次的命中率为p=0.6.
求射击一次时命中次数X的均值.
【解析】射击一次,命中次数X的分布列为
所以E(X)=0.6.
X 0 1
P 0.4 0.6(共42张PPT)
7.3.2 离散型随机变量的方差
第七章
新课程标准 素养风向标
1.通过实例理解离散型随机变量方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 1.理解离散型随机变量的方差、标准差的概念与意义.(数学抽象)
2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些简单的实际问题.(数学运算、数学建模)
3.掌握方差的性质.(数学运算)
基础预习初探
主题1 离散型随机变量的方差
甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相同,所得次品数分别为X,Y,X和Y的分布列如表.
X 0 1 2
P
Y 0 1 2
P
(1)通过两工人加工出次品的均值能否比较两工人的技术水平
提示:E(X)=0×+1×+2×=0.7,
E(Y)=0×+1×+2×=0.7,
由E(X)=E(Y)知,两人加工出次品的均值相同,技术水平相当.
(2)甲、乙两名工人技术的稳定性如何
提示:作出两名工人的概率分布图如图,比较两个图形发现乙工人的技术水平比较稳定.
(3)如何定量刻画两名工人技术的稳定性呢
提示:可通过离散型随机变量的方差来定量刻画两名工人技术的稳定性.
结论:离散型随机变量的方差
(1)方差:如果离散型随机变量X的分布列如表.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
因为X的均值为E(X),所以
_____________________________________________=为随机变量
X的方差,有时也记为Var(X).
D(X)=p1+p2+…+(xn-E(X))2pn
pi
方差计算公式的简化形式:
D(X)=pi-(E(X))2.
(2)标准差:称为随机变量X的标准差,记为σ(X).
【对点练】
1.随机变量X的分布列如表,则D(X)= ( )
X 0 1
P
A. B. C. D.
【解析】选B.由题意,根据随机变量期望的计算公式,可得E=0×+1×=,所以方差为D=×+×=.
2.随机变量X的分布列如表,
X 0 1 2
P x y z
其中x,y,z成等差数列,若E=,则D的值是 .
【解析】因为x+y+z=1,又因为x,y,z成等差数列,所以x+z=2y,所以y=.
又因为E=0×x+1×y+2×z=,所以z=0,x=.
所以D=×+×+×0=.
答案:
主题2 离散型随机变量方差的性质
1.设X为随机变量,Y=X+b,其中b为常数,试用D(X)表示D(Y).
提示:因为Y=X+b,所以E(Y)= E(X)+b,
所以D(Y)=(yi-E(Y))2pi=(xi+b-E(Y))2pi =(xi+b-E(X)-b)2pi= (xi-E(X))2pi=D(X).
2.设X为随机变量,Y=aX+b,其中a,b为常数,试用D(X)表示D(Y).
提示:因为Y=aX+b,所以E(Y)=aE(X)+b,
所以D(Y)=(yi-E(Y))2pi=(axi+b-E(Y))2pi =(axi+b-aE(X)-b)2pi= a2(xi-E(X))2pi =a2(xi-E(X))2pi= a2D(X).
结论:
(1)若随机变量X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);
(2)若随机变量X,Y满足Y=aX+b(a≠0)a,b为常数,则D(Y)=D(aX+b)=_______.
a2D(X)
【对点练】
1.已知随机变量ξ,η满足η=2ξ+1,且E(ξ)=1,D(η)=2,则 ( )
A.E(η)=2,D(ξ)=1
B.E(η)=2,D(ξ)=0.5
C.E(η)=3,D(ξ)=1
D.E(η)=3,D(ξ)=0.5
【解析】选D.因为η=2ξ+1,E(ξ)=1,D(η)=2,所以E(η)=E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=3,D(η)=D(2ξ+1)=22D(ξ)=2,所以D(ξ)=0.5.
2.已知随机变量ξ的取值为i.若P=,E=1,则D= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意,设P=p,
则P=1--p=-p,又E=0×+1×p+2=1,
解得p=,所以P=,P=,
则D=×+×+×=,所以D=4D=.
核心互动探究
探究点一 离散型随机变量方差的计算
【典例1】某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列与数学期望E,方差D.
【思维导引】(1)甲、乙两人所付费用相同,即为0,40,80,求出相应的概率,利用互斥事件的概率公式,可求出甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)确定随机变量ξ的可能取值,求出相应的概率,即可得出随机变量ξ的分布列,然后利用数学期望公式和方差公式求出E和D.
【解析】(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0,40,80元,
两人都付0元的概率为P1=×=,两人都付40元的概率为P2=×=,
两人都付80元的概率为P3=×(1--)=.
则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=;
(2)设甲、乙所付费用之和为ξ,ξ可能取值为0,40,80,120,160,
则P=×=,P=×+×=,P=×+×+×=,
P=×+×=,
P=×=.
所以,随机变量ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
所以E=0×+40×+80×+120×+160×=80,
D=×+×+×+×+×=.
【类题通法】求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤
(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值.
(2)求ξ取各个值的概率,写出分布列.
(3)根据分布列,由数学期望的定义求出E(ξ).
(4)根据方差、标准差的定义求出D(ξ),.
【定向训练】
随机变量X的取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)= ( )
A. B. C. D.1
【解题指南】设P(X=1)=p,P(X=2)=q,则由P(X=0)=,E(X)=1,求出p,q,由此能求出D(X).
【解析】选B.设P(X=1)=p,P(X=2)=q,由题意得E(X)=0×+p+2q=1,+p+q=1,
解得p=,q=,所以D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=.
【跟踪训练】设随机变量ξ的概率分布列如表所示:
ξ 1 2 3
P a b c
其中a,b,c成等差数列,若随机变量ξ的均值为,则ξ的方差为 .
【解析】因为a,b,c成等差数列,则a+c=2b,所以a+b+c=3b=1 b=,
又因为随机变量ξ的均值E=a+2b+3c=a+3c+=, a+3c=,且a+c=,故a=,c=,
所以ξ的方差为D=×+×+×=.
答案:
探究点二 离散型随机变量方差性质的应用
【典例2】已知X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
(1)求D(X);
(2)设Y=2X-E(X),求D(Y).
【思维导引】(1)先根据分布列求期望,再利用方差公式求方差.
(2)将E(X)的值代入,利用公式 D(aX+b)=a2D(X)求解.
【解析】(1)因为E(X)=0×+10×+20×+50×+60×=16,所以D(X)=(0-16)2 ×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2×=384.
(2)D(Y)=D(2X-16)=22D(X)=4×384=1 536.
【类题通法】方差性质的应用
对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.
【定向训练】
1.随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=,则D(3X-2)= ( )
X -1 0 1
P a b
A. B. C.5 D.7
【解析】选C.因为E(X)=,
所以由随机变量X的分布列得:解得
所以D(X)=×+×+×=,
所以D(3X-2)=9D(X)=9×=5.
2.已知随机变量ξ,η满足η=-2ξ+5,若E(ξ)=3,D(ξ)=2,则 ( )
A.E(η)=-1,D(η)=8
B.E(η)=-1,D(η)=-4
C.E(η)=3,D(η)=2
D.E(η)=-3,D(η)=1
【解析】选A.因为η=-2ξ+5,所以E(η)=-2E(ξ)+5,D(η)=(-2)2D(ξ),
又E(ξ)=3,D(ξ)=2,所以E(η)=-1,D(η)=8.
3.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取2个球,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,ξ表示两个口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则E(X+Y)= ,D(ξ)= .
【解析】由题知,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,
故P(X+Y=1)=×=,
P(X+Y=2)=×+×=,
P(X+Y=3)=×+×=,
P(X+Y=4)=×=.
故X+Y的分布列:
X+Y 1 2 3 4
P
所以E(X+Y)=+2×+3×+4×=2.7;
又从甲口袋中取出的黑球数为2-X,同理可得2-X的分布列:
2-X 0 1 2
P
同理2-X+Y的分布列
2-X+Y 1 2 3 4
P
所以E(2-X+Y)=+×2+×3+×4=2.3,
D(ξ)=(1-2.3)2×+(2-2.3)2×+(3-2.3)2×+(4-2.3)2×=0.61.
答案:2.7 0.61
探究点三 离散型随机变量的方差在实际中的应用
【典例3】某投资公司准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和;
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和.针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
【思维导引】首先根据题意写出两个项目获利的分布列,根据分布列求出数学期望以及方差,结合数学期望和方差选择合适的项目.
【解析】对于项目一,该项目年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和,设按该项目投资,获利为ξ万元,则随机变量ξ的分布列为
ξ 300 -150
P
所以E=300×-150×=200(万元),
D=×+×=35 000.
对于项目二,该项目年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和,设按该项目投资,获利为η万元,则随机变量η的分布列为
η 500 0 -300
P
所以E=500×+0×-300×=200(万元),D=×+×
+×=140 000.因为E=E,D这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.综上所述,建议该公司选择项目一投资.
【类题通法】方差在实际问题中的应用
均值仅体现了随机变量取值的平均大小,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围变化,方差大,说明随机变量取值较分散,方差小,说明取值较集中.
【定向训练】
为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ,η,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,a,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
【解析】(1)依据题意知,0.5+3a+a+a=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)结合(1)中ξ,η的分布列,可得:
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
因为E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高,
又因为D(ξ)课堂素养达标
1.已知随机变量ξ满足P(ξ=1)=0.3,P(ξ=2)=0.7,则E(ξ)和D(ξ)的值分别为 ( )
A.0.6和0.7 B.1.7和0.09
C.0.3和0.7 D.1.7和0.21
【解析】选D.E(ξ)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(ξ)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.
2.已知离散型随机变量X的取值为0,1,2,且P(X=0)=,P(X=1)=a,P(X=2)=b;若E(X)=1,则D(X)= .
【解析】由已知,解得a=,b=,所以D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=+=.
答案:
3.假定某射手每次射击命中目标的概率为.现有3发子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击,否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X.
(1)求X的分布列;
(2)分别求均值E和方差D.
【解析】(1)由题意得X的所有可能取值为1,2,3,
P(X=1)=,P(X=2)=×=,
P(X=3)=×=,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
(2)由题意均值E(X)=1×+2×+3×=;方差D=×+×+
×=.(共35张PPT)
7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
第七章
新课程标准 素养风向标
1.理解n重伯努利试验模型及二项分布. 2.会求满足二项分布的随机变量的期望和方差. 1.会求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.(数学运算)
2.能用二项分布的概率模型解决实际问题.(数学建模)
3.会求服从二项分布的随机变量的期望和方差.
(数学运算)
基础预习初探
主题1 二项分布
连续掷一枚图钉3次,用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”,且每次针尖向上的概率为p,Bk(k=0,1,2,3)表示出现k次针尖向上,回答下列问题:
(1)事件A1,A2,A3是否是相互独立事件
提示:是相互独立事件.
(2)试写出事件B0,B1,B2,B3的概率.
提示:P(B0)=P( )=(1-p)3,
P(B1)=P(A1 )+P( A2 )+P( A3)
=3(1-p)2p,
P(B2)=P(A1A2 )+P(A1 A3)+P(A2A3)
=3(1-p)p2,P(B3)=P(A1A2A3)=p3.
(3)能否将上面四个概率写成一个通式
提示:能.P(Bk)=pk(1-p)3-k,k=0,1,2,3.
结论:
1.n重伯努利试验的特征
(1)同一个伯努利试验重复做n次;
(2)各次试验的结果相互独立.
2.二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)= _____________,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作
_____________.
pk(1-p)n-k
X~B(n,p)
【对点练】
1.若随机变量X~B,则P(X=3)等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由二项分布的概率公式得,
P(X=3)==.
2.已知某人每次投篮投中的概率均为,计划投中3次则结束投篮,则此人恰好在第5次结束投篮的概率是 .
【解析】依题意,恰好在第五次结束投篮,
则前四次有两次投中,且第五次投中,
所以概率为:p=×××=.
答案:
主题2 二项分布的期望与方差
若随机变量X~B(n,p),
(1)当n=1时,E(X)= ,D(X)= .
提示:当n=1时,X的分布列为:P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,所以E(X)=p,D(X)=p(1-p).
答案:p p(1-p)
(2)当n=2时,E(X)= ,D(X)= .
提示:当n=2时,X的分布列为P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)=2p(1-p),P(X=2)=p2,
所以均值和方差分别为E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2=2p,D(X)=02×(1-p)2 +12×2p(1-p)+22×p2-(2p)2=2p(1-p).
答案:2p 2p(1-p)
结论:
一般地,若X~B(n,p),那么E(X)=___,D(X)=_____________.
np(1-p)
np
【对点练】
1.若随机变量X~B,则数学期望E(X)= ( )
A. B. C.2 D.3
【解析】选C.因为X~B,由二项分布的期望公式可得E(X)=6×=2.
2.已知随机变量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.4),则E(η),D(η)分别是 ( )
A.4和2.4 B.2和2.4
C.6和2.4 D.4和5.6
【解析】选A.因为ξ~B(10,0.4),所以E(ξ)=10×0.4=4,D(ξ)=10×0.4×0.6=2.4,
因为η=8-ξ,所以E(η)=E(8-ξ)=4,D(η)=D(8-ξ)=2.4.
核心互动探究
探究点一 二项分布
【典例1】现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视频学习两类,且这两类学习互不影响,已知该APP积分规则如下:每阅读一篇文章积1分,每日上限积5分;观看视频累计3分钟积2分,每日上限积6分,经过抽样统计发现,文章学习积分的概率分布表如表1所示,视频学习积分的概率分布表如表2所示.
表1
文章学习积分 1 2 3 4 5
概率
表2
视频学习积分 2 4 6
概率
(1)现随机抽取1人了解学习情况,求每日学习积分不低于9分的概率;
(2)现随机抽取3人了解学习情况,设积分不低于9分的人数为ξ,求ξ的概率分布.
【思维导引】(1)根据表格,文章学习积分与视频学习积分之和不低于9,计算相应的概率,然后求和,可得结果.
(2)根据ξ服从二项分布,写出ξ的所有取值,并计算相应的概率,列出分布列.
【解析】(1)由题意,获得的积分不低于9分的情况有:
文章学习积分 3 4 5 5
视频学习积分 6 6 4 6
因为两类学习互不影响,所以概率P=×+×+×+×=,所以每日学习积分不低于9分的概率为.
(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
由(1)知每个人积分不低于9分的概率为,
P==,P===,P===,
P==.
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
P
【延伸探究】
本题条件不变,求随机变量ξ的均值和方差.
【解析】由随机变量ξ的概率分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)=1×+2×+3×=.
D(ξ)=×+×+×+×==.
【类题通法】二项分布的解题步骤
(1)判断随机变量X是否服从二项分布:
看两点:①是否为n重伯努利试验;②随机变量是否是这n重伯努利试验中某事件发生的次数;
(2)建立二项分布模型;
(3)确定X的取值并求出相应的概率;
(4)写出分布列.
【定向训练】
1.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X,其概率分布如下表,数学期望E(X)=2.
(1)求a和b的值;
(2)某同学连续玩三次该智力游戏,记积分X大于0的次数为Y,求Y的概率分布.
X 0 3 6
P a b
【解析】(1)因为E(X)=2,所以0×+3×a+6×b=2,即3a+6b=2.①
又+a+b=1,得a+b=.②
联立①,②解得a=,b=.
(2)P(X>0)=,由已知Y~B(3,),故P(Y=0)=()3=,
P(Y=1)=()×()2=,P(Y=2)=()2×=,P(Y=3)=()3=.
故Y的概率分布为
Y 0 1 2 3
P
2.我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注,受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为,女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众.
(1)若这4名观众2男2女,求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率;
(2)若这4名观众都是男性,设X表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数,求X的分布列.
【解析】(1)设Z表示2名女性观众中认为好看的人数,Y表示2名男性观众中认为好看的人数,
则Z~B,Y~B.
设事件A表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”,P(A)=P(Z=2,Y=1)+P(Z=2,Y=0)+P(Z=1,Y=0)=·+·+·=.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,
X服从二项分布,即X~B,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
探究点二 二项分布的均值与方差
【典例2】(1)已知随机变量X~B(9,),随机变量Y=2X+1,则随机变量Y的方差D(Y)= .
(2)某学校实行综合评价招生,参加综合评价招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试,已知某同学能答对每个试题的概率为,若答对一题得5分,答错或不答得0分,记答对题的个数为X,答题的得分为Y,求Y的分布列及数学期望和方差.
【思维导引】(1)利用二项分布的方差公式可得D(X)=9××(1-)=2,再利用D(Y)=4D(X)即可得解.
(2)答对题的个数X服从二项分布,利用二项分布的公式,计算概率,再利用Y=5X,即得解.
【解析】(1)因为D(X)=9××(1-)=2,所以D(Y)=4D(X)=8.
答案:8
(2)根据题意,答对题的个数X的可能取值为0,1,2,3,4.
因为X~B,P(X=k)=(k=0,1,2,3,4)且Y=5X,
所以Y的概率分布列为
Y 0 5 10 15 20
P
所以E(Y)=5np=5×4×=15,D(Y)=25np(1-p)=25×4××=.
【类题通法】
(1)二项分布的均值求解方法
首先根据二项分布的特点判断随机变量的分布属于哪一类分布,若属于二项分布,则代入二项分布的均值公式,计算出变量的均值.
(2)常见分布列方差的求法
①用定义:用方差的定义求解,适用于所有概率模型.
②用公式:若明确随机变量服从二项分布,可直接利用方差的计算公式求出.
【定向训练】
1.设随机变量X服从二项分布,且期望E(X)=3,p=,则方差D(X)等于 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选C.因为二项分布的数学期望E(X)=np=3,
所以二项分布的方差D(X)=np(1-p)=3(1-p)=.
2.若随机变量X~B,则E(2X+1)= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.因为X~B,所以E(X)=4×=2,所以E(2X+1)=2E(X)+1=5.
3.某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若A项技术指标达标的概率为,B项技术指标达标的概率为,按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品.
(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率;
(2)任意依次抽取该种零件4个,设ξ表示其中合格品的个数,求ξ的分布列及E(ξ).
【解析】(1)设M:一个零件经过检测至少一项技术指标达标,则:A,B都不达标;
故P(M)=1-P()=1-×=,
所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为.
(2)依题意两项技术指标都达标的概率为×=,所以ξ~B,P(ξ=0)==,
P==,P==,
P==,P==,
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)=+2×+3×+4×==.
课堂素养达标
1.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 ( )
A.0.648 B.0.432
C.0.360 D.0.310
【解析】选A.因为某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,所以投中的次数X~B(3,0.6),所以该同学通过测试的概率为0.62×0.4+0.63
=0.648.
2.已知X服从二项分布:X~B,则P(X=3)= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.X服从二项分布:X~B,
即试验4次,每次成功的概率为,
所以P(X=3)==.
3.已知随机变量X~B(10,0.3),则D(X)= .
【解析】随机变量X~B(10,0.3),
则D(X)=10×0.3×0.7=2.1.
答案:2.1
4.若X~B,则E(2X-1)= .
【解析】由二项分布的性质可知,E(X)=3×=,E(2X-1)=2E(X)-1=2×-1=.
答案:(共29张PPT)
7.4.2 超几何分布
第七章
新课程标准 素养风向标
理解超几何分布. 1.通过问题的探讨,理解超几何分布,能区分超几何分布与二项分布.(数学抽象)
2.能根据超几何分布解决简单问题.(数学运算)
基础预习初探
主题 超几何分布
袋中有形状、大小完全相同的10个球,其中有6个红球,4个白球,现从中不放回地随机摸4个球,记摸取的4个球中红球个数为X.
(1)红球个数X是否服从二项分布
提示:不符合,因为每次摸球不是同一个试验,而且每次摸取的结果也不独立,不符合n重伯努利试验的特征,因此X不服从二项分布.
(2)能否根据古典概型求出随机变量X的分布列
提示:可以,从10个球中摸取4个,样本空间包含个样本点,其中4个球中恰有k个红球的结果为,由古典概型的知识,得X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,4.
用表格表示X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
结论:
1.超几何分布的概念
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.
从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分
布列为P(X=k)=__________,k=m,m+1,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-
N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X
服从超几何分布.
2.服从超几何分布的随机变量的期望
设X服从超几何分布,则E(X)=_______,其中p=,n为随机抽取的产品件数.
np
【对点练】
(多选题)关于超几何分布下列说法正确的是( )
A.超几何分布的模型是不放回抽样
B.超几何分布的总体里可以只有一类物品
C.超几何分布中的参数是N,M,n
D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
【解析】选ACD.由超几何分布的定义知,超几何模型为不放回抽样,故A正确;超几何分布实质上就是有总数为N件的两类物品,其中一类有M(M≤N)件,从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量,它取值为k时的概率为P(X=k)=(k≤l,l是n和M中较小的一个),所以B错误;C.D正确.
【跟踪训练】
有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,有如下几种变量:①X表示取出的最大号码;②Y表示取出的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数.这四种变量中服从超几何分布的是 ( )
A.①② B.③④
C.①②④ D.①②③④
【解析】选B.超几何分布取出某个对象的结果数不定,也就是说超几何分布的随机变量为试验次数,即指某事件发生n次的试验次数,由此可知③④服从超几何分布.
核心互动探究
探究点一 超几何分布
【典例1】某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.
(1)随机选取1件产品,求能够通过检测的概率;
(2)随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X,求X的分布列.
【思维导引】(1)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为A,根据事件A包含的情况以及互斥事件的概率公式可得结果;
(2)由题意知X的可能取值是0,1,2,3,结合变量对应的事件和等可能事件的概率,写出变量的概率,写出分布列.
【解析】(1)设随机选取1件产品,能够通过检测的事件为A,则P(A)=+×=,
所以随机选取1件产品,通过检测的概率为.
(2)由题可知X可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)==,P==,P==,P==.
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【类题通法】求超几何分布的分布列的步骤
第一步:验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步:根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步:用表格的形式列出分布列.
【定向训练】
某数学兴趣小组有5名同学,其中3名男生2名女生,现从中选2人去参加一项活动.
(1)求选出的2人中,恰有1名男生、1名女生的概率;
(2)用X表示选出的2人中男生的个数,求X的分布列.
【解题指南】(1)根据组合的应用,结合古典概型计算即可;
(2)由题知X可能的取值为0,1,2,进而根据超几何分布求解即可.
【解析】(1)某数学兴趣小组有5名同学,其中3名男生2名女生,
从中选2人去参加一项活动,有=10种选法.
设“选出的两人中,恰有1名男生、1名女生”为事件A,则P(A)==.
(2)根据题意,X可能的取值为0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
故X的分布列为
X 0 1 2
P
探究点二 超几何分布的应用
【典例2】端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列.
【思维导引】(1)根据古典概型概率计算公式计算;
(2)根据随机变量X服从超几何分布求解.
【解析】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,
则P(A)==.
(2)豆沙粽的个数X服从参数为0,1,2的超几何分布,
因此P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
综上知,X的分布列为
X 0 1 2
P
【延伸探究】
若本例中的X表示取到的粽子的种类,求X的分布列.
【解析】由题意知X的所有可能值为1,2,3,且
P(X=1)===,P(X=3)===,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=1--=.
综上可知,X的分布列为
X 1 2 3
P
【类题通法】求解超几何分布问题的注意事项
(1)在产品抽样中,如果采用的是不放回抽样,那么抽到的次品数服从超几何分布.
(2)如果随机变量服从超几何分布,只要代入公式即可求得相应的概率,关键是明确随机变量的所有取值.
(3)当超几何分布的分布列用表格的形式繁杂时,可考虑用解析式表示.
【定向训练】
1.(2022·连云港高二检测)一个盒子中有10个小球,其中3个红球,7个白球.从这10个球中任取3个.
(1)若采用无放回抽取,求取出的3个球中红球的个数X的分布列及期望;
(2)若采用有放回抽取,求取出的3个球中红球的个数Y的分布列及方差.
(注:最终结果用分数形式表示)
【解析】(1)由题意知,X所有可能的取值为0,1,2,3,且X~H(3,3,10).
所以P(X=0)===,P(X=1)===,P(X=2)===,
P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(2)由题意知,Y所有可能的取值为0,1,2,3,且Y~B(3,),
所以P(Y=0)=(1-)3=,P(Y=1)=××(1-)2=,
P(Y=2)=×()2×(1-)=,P(Y=3)=()3=,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
则方差为D(Y)=3××(1-)=.
2.为发展业务,某调研组对A,B两个公司的产品需求量进行调研,准备从国内7个人口超过1 500万的超级大城市和8个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个城市进行统计.若一次抽取4个城市,每个城市被抽取的可能性均相等.
(1)假设抽取的小城市的个数为X,求X的分布列及数学期望E(X);
(2)若取出的4个城市是同一类城市,求全为超级大城市的概率.
【解析】(1)由题意知X可取0,1,2,3,4,
P==,P==,P==,
P==,P==,
所以X的分布列如下:
X 0 1 2 3 4
P
数学期望E=0×+1×+2×+3×+4×=;
(2)若4个城市全是超级大城市,共有=35种可能;
若4个城市全是小城市,共有=70种可能.
故若取出的4个城市是同一类城市,全为超级大城市的概率为=.
3.为庆祝建军节,某校举行“强国强军”知识竞赛,该校某班经过层层筛选,还有最后一个参赛名额要在A,B两名学生中间产生,该班委设计了一个测试方案:A,B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中,学生A能正确回答其中的4个问题,而学生B能正确回答每个问题的概率均为,A,B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
(1)求A恰好答对两个问题的概率;
(2)求B恰好答对两个问题的概率;
(3)设A答对题数为X,B答对题数为Y,若让你投票决定参赛选手,你会选择哪名学生 请说明理由.
【解析】(1)A恰好答对两个问题的概率为P1==.
(2)B恰好答对两个问题的概率为)2·=.
(3)X所有可能的取值为1,2,3.P(X=1)==;P(X=2)==;
P(X=3)==.所以E(X)=1×+2×+3×=2.
由已知,Y~B(3,),所以E(Y)=3×=2.
D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=.D(Y)=3××=.
因为E(X)=E(Y),D(X)所以选择投票给学生A.
课堂素养达标
1.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.因为从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数为X=4,即旧球增加一个,所以取出的三个球中必有一个新球,两个旧球,所以P(X=4)==.
2.有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从零件中任取3个,那么至少有1个是一等品的概率是 ( )
A. B.
C. D.1-
【解析】选D.全部都是二等品的概率为,故至少有1个是一等品的概率为1-.
3.某12人的兴趣小组中,有5名“三好学生”,现从中任意选6人参加竞赛,用X表示这6人中“三好学生”的人数,则X服从 分布,E(X)= .
【解析】由已知,X服从超几何分布,且参数为12,6,5,
所以E(X)==.
答案:(参数为12,6,5的)超几何
4.为了抗击新冠肺炎疫情,医护人员积极响应国家号召,现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援某市,已知男医生2名,女医生3人,则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是 .
【解析】由题意,选出的2名医生中至少有1名男医生分为恰有1名男医生和全部都是男医生两种情况,
则所求概率为P===.
答案:
(共35张PPT)
7.5 正态分布
第七章
新课程标准 素养风向标
通过实际问题,借助直观观察,认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义. 1.理解正态曲线和正态分布的概念.(数学抽象)
2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.(数学抽象)
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间内的概率.(数学运算)
基础预习初探
主题 正态分布
已知函数f(x)=,x∈R及图象如图.
1.函数f(x)=,x∈R中的参数μ和σ反映了随机变量的什么特征
提示:参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
2.正态密度曲线随x的变化如何变化
提示:当x<μ时,曲线上升(增函数);当x>μ时,曲线下降(减函数),并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
3.根据函数解析式及其图象,你能说出该函数曲线的对称性和最值吗
提示:由于e的幂指数t=-可看作一个关于x的二次函数,显然其开口向下,对称轴方程为x=μ,因此该函数曲线关于直线x=μ对称,在x=μ时达到最大值.
结论:
1.正态曲线
函数f(x)=,x∈R称为正态密度函数,其图象为正态密度曲线,简称正
态曲线.
2.正态分布
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为
X~ _______ .
特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
N(μ,σ2)
3.正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的,它关于直线____对称;
(2)曲线在x=μ处达到峰值;
(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.
4.3σ原则:
如果X~N(μ,σ2),那么
P(|X-μ|≤σ)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(|X-μ|≤2σ)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(|X-μ|≤3σ)=P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
x=μ
【对点练】
1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,25),若P(ξ>c)=P(ξA.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选A.随机变量ξ服从正态分布N(2,25),则此正态分布对应的正态密度曲线关于直线x=2对称,又P(ξ>c)=P(ξ2.已知某公司生产的一种产品的质量X(单位:千克)服从正态分布N(90,64).现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品,其中质量在区间(82,106)内的产品估计有 ( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
A.8 186件 B.6 826件
C.4 772件 D.2 718件
【解析】选A.依题意,产品的质量X(单位:千克)服从正态分布N(90,64),得μ=90,σ=8,
所以P(82所以质量在区间(82,106)内的产品估计有10 000×0.818 6=8 186(件).
核心互动探究
探究点一 正态曲线及性质的应用
【典例1】(1)已知两个正态密度函数φi(x)=·(x∈R,i=1,2)的图象如图所示,则 ( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1>μ2,σ1<σ2
C.μ1<μ2,σ1>σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2
(2)正态分布N1,N2,N3(其中σ1,σ2,σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.μ1最大,σ1最大 B.μ3最大,σ3最大
C.μ1最大,σ3最大 D.μ3最大,σ1最大
【思维导引】(1)正态曲线关于x=μ对称,且μ越大图象越靠近右边,第一个曲线的均值比第二个图象的均值小,又有σ越小图象越“瘦高”,得到正确的结果.
(2)根据正态分布的均值和方差对图形的影响判断即可.
【解析】(1)选A.正态曲线关于x=μ对称,且在x=μ处取得峰值,由题干图易得μ1<μ2,因为φ1(x)的图象更“瘦高”,φ2(x)的图象更“矮胖”,则σ1<σ2.
(2)选D.由正态分布N,可知μ是均值,是正态密度曲线的对称轴,可知μ3最大,σ2表示方差,越小越“瘦高”,越大越“矮胖”,所以σ1最大.
【类题通法】利用正态曲线的性质求参数μ,σ的方法
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合图象可求σ.
【定向训练】
1.正态分布有两个参数μ与σ, 相应的正态曲线的形状越扁平 ( )
A.μ越大 B.μ越小
C.σ越大 D.σ越小
【解析】选C.由正态曲线图象的特征知选C.
2.若随机变量X的概率分布密度函数f(x)=·(x∈R)是偶函数,且该函数的最大值为.求函数f(x)的解析式.
【解析】因为f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.由=,得σ=4.
故f(x)=(x∈R).
【跟踪训练】
如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,
那么σ1,σ2,σ3的大小关系是 ( )
A.σ1>σ3>σ2>0 B.0<σ1<σ3<σ2
C.σ1>σ2>σ3>0 D.0<σ1<σ2<σ3
【解析】选D.由图可知,三种正态曲线的μ都等于0,由μ一定时,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,则0<σ1<σ2<σ3.
探究点二 正态分布下的概率问题
【典例2】(1)已知随机变量X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),且P(μ-σ6)≈ ( )
A.0.341 3 B.0.317 4
C.0.158 7 D.0.158 6
【思维导引】建立已知P(μ-σ6)的关系,直接求解.
或者将所求P(X>6)用μ,σ表示出来,结合对称性,求X>6对应区域的面积,即为所求概率.
【解析】选C.方法一:由已知P(46)=[1-P(4方法二:因为μ=5,σ=1,所以6=μ+σ,P(X>6)=P(X>μ+σ)=[1-P(μ-σ0.682 6)≈0.158 7.
(2)设X~N(1,22),试求:
①P(-1≤X≤3);
②P(3≤X≤5);
③P(X>5).
【思维导引】将已知与所求用μ,σ表示出来,结合对称性,求对应区域的面积,即为所求概率.
【解析】①因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2,
P(-1≤X≤3)=P(1-2≤X≤1+2)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7.
②因为P(3≤X≤5)=P(-3≤X≤-1),
所以P(3≤X≤5)=[P(-3≤X≤5)-P(-1≤X≤3)]=[P(1-4≤X≤1+4)-P(1-2≤X≤1+2)]=[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
③P(X>5)=P(X<-3)=[1-P(-3≤X≤5)]=[1-P(1-4≤X≤1+4)]=[1-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)]≈(1-0.954 5)=0.022 75.
【类题通法】正态分布概率求解的注意事项
(1)注意对称:解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意数形结合思想的运用.
(2)注意面积:正态曲线与x轴所围成的面积值为1;X落在区间[a,b]上的概率与由正态曲线、过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线及x轴所围成的图形的面积相等.
(3)只需将所求随机变量取值范围的端点值转化为μ±σ,μ±2σ,μ±3σ之一,然后结合正态分布的对称性,数形结合(概率相当于面积),求解对应区域的面积即可.题目后面(或试卷前面)有参考数据,不需记忆P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的值.
【定向训练】
1.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X>1)=0.5,则实数a的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.随机变量X服从正态分布N(a,4),所以曲线关于x=a对称,由P(X>1)=0.5,可知μ=a=1.
2.抽样调查表明,某校高三学生成绩ξ(总分750分)近似服从正态分布,平均成绩为500分.已知P(400<ξ<450)=0.3,则P(550<ξ<600)= .
【解析】由图可以看出P(550<ξ<600)=P(400<ξ<450)=0.3.
答案:0.3
【跟踪训练】
已知随机变量X服从正态分布N(4,σ2),P(X<6)=0.78,则P(X≤2)= .
【解析】P(X≤2)=P(X≥6)=1-P(X<6)=0.22.
答案:0.22
探究点三 正态分布的实际应用
【典例3】某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律,据统计该地区蜻蜓有A,B两种,且这两种的个体数量大致相等,记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位:mm)分别为随机变量X,Y,其中X服从正态分布N(45,25),Y服从正态分布N(55,25).
(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只,求这只蜻蜓的翼长在区间[45,55]的概率;
(2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z,若用正态分布N(μ0,)来近似描述Z的分布,请你根据(1)中的结果,求参数μ0和σ0的值(精确到0.1);
(3)在(2)的条件下,从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只,记这3只中翼长在区间[42.2,57.8]的个数为W,求W的分布列及数学期望(分布列写出计算表达式即可).注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-0.64σ≤X≤μ+0.64σ)≈0.477,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.
【解析】(1)记这只蜻蜓的翼长为t.
因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等,所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的.所以P(45≤t≤55)=×P(45≤X≤55)+×P(45≤Y≤55)=×P(45≤X≤45+
2×5)+×P(55-2×5≤Y≤55)≈×+×=0.477 25.
(2)由于两种蜻蜓的个体数量相等,X,Y的方差也相等,根据正态曲线的对称性,可知μ0==50.0.由(1)可知45=μ0-0.64σ0,55=μ0+0.64σ0,得σ0=≈7.8.
(3)设蜻蜓的翼长为T,则P(42.2≤T≤57.8)=P(μ-σ≤T≤μ+σ)≈0.682 7.
由题可得W~B(3,0.682 7),
所以P(W=k)=×0.682 7k×0.317 33-k.
因此W的分布列为
E(W)=3×0.682 7=2.048 1.
W 0 1 2 3
P
【类题通法】
1.生活中常见的正态分布
(1)在生产中,各种产品的质量指标一般都服从正态分布.
(2)在测量中,测量结果、测量的随机误差都服从正态分布.
(3)在生物学中,同一群体的某种特征都服从正态分布.
(4)在气象中,某地每年某月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布.
2.利用3σ原则求某区间内取值概率的基本方法
(1)根据题目给出的条件确定μ与σ的值.
(2)将待求问题向[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]这三个区间转化.
(3)利用上述区间求出相应的概率.
【定向训练】
1.(2022·宁波高二检测)宁波某高中某次高二年级数学测试,经抽样分析,成绩X近似服从正态分布N(90,σ2),且P(84A.60 B.80 C.100 D.120
【解析】选C.由题意知,
P(X≤84)=P(X≤90)-P(842.某校高二学生在一次学业水平合格考试的数学模拟测试中的成绩服从正态分布N,若该校高二学生有1 000人参加这次测试,则估计其中成绩少于60分的人数为 ( )
参考数据:若随机变量Z服从正态分布N,则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.
A.23 B.28 C.68 D.95
【解析】选A.由P≈0.954 5,
得P=
P≈0.954 5,
所以P(Z<60)=P(Z>88)=[1-P(60≤Z≤88)]=0.022 75,
从而成绩少于60分的人数约为
1 000×0.022 75=22.75≈23.
课堂素养达标
1.若随机变量ξ服从正态分布N(2 022,σ2),则P(ξ<2 022)= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为ξ服从正态分布N,
所以μ=2 022,
根据正态分布图象的对称性知,图象关于x=2 022对称,所以P(ξ<2 022)=.
2.已知随机变量X服从正态分布N(4,9),且P(X≤2)=P(X≥a),则a= ( )
A.3 B.5 C.6 D.7
【解析】选C.因为μ=4,σ=3,所以P(X≤2)=P(X≤4-2)=P(X≥4+2)=P(X≥6)=P(X≥a),所以a=6.
3.若随机变量X~N(μ,σ2)(σ>0),则有如下结论:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3,X~N(120,100),高二(1)班有40名同学,一次数学考试的成绩,理论上说在130分~140分之间的人数约为 ( )
A.7 B.5 C.10 D.12
【解析】选B.因为X~N(120,100),
所以P(110≤X≤130)≈0.682 7,P(100≤X≤140)≈0.954 5,
所以P(130所以在130分~140分之间的人数约为40×0.135 9≈5.
4.已知随机变量X~N,若P=0.2,则P(X≥0)= .
【解析】因为随机变量X~N,P=0.2,
所以P=P=0.2,
因此P=1-P=1-0.2=0.8.
答案:0.8(共17张PPT)
第二课 随机变量及其分布
阶段复习课
网络体系构建
【答案速填】
①P(B|A)=
②P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
③E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi
④D(X)=(xi-E(X))2pi
⑤P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n
⑥P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r
易错案例警示
易错点1:忽视概率的性质
【案例1】下列表格可以作为ξ的分布列的是 ( )
A. B.
ξ 0 1 3
P a 1-a
ξ 1 2 3
P 1
C. D.
ξ 4 5
P 0 1
ξ -1 1 2
P 2a a2+2
【解析】选C.根据分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1,在A中,各概率之和为>1,故A错误;在B中,-<0,故B错误;在C中,满足分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1,故C正确;在D中,+2a+a2+2=(a+1)2+>1,故D错误.
【易错分析】忽视了Pi=1(i=1,2,3,…,n)这一性质.
【避错警示】利用分布列的性质求解概率问题时,概率的两条性质Pi≥0(i=1,2,3,…,n);Pi=1缺一不可.
易错点2:求解概率问题时忽略了逻辑联结词
【案例2】“蛟龙号”载人潜水器执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究,每次试验一个生物,甲小组能使生物成活的概率为,乙小组能使生物成活的概率为,假定试验后生物成活,则称该次试验成功,如果生物不成活,则称该次试验失败.
(1)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;
(2)如果乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率;
(3)若甲乙两小组各进行2次试验,记试验成功的总次数为随机变量X,求X的概率分布与数学期望E(X).
【解析】(1)记至少两次试验成功为事件A,
则P(A)=×+=;
(2)由题意知,乙小组第四次成功前共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,共有=12种情况.
记乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败为事件B,
则P=12×=;
(3)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P===,P=×××+×××==,
P=+××××+=,
P=×××+×××==,P==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
【易错分析】对题目中含有“至少”“恰有”理解有误,分析不透彻致误.
【避错警示】准确把握逻辑词“至少”“恰有”的含义,特别是“乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败”的理解,来确定事件发生的次数和事件发生的概率.
易错点3:求随机变量的均值和方差时用错公式
【案例3】某人有5把钥匙,其中只有一把能打开某一扇门,今任取一把试开,不能打开则除去,求打开此门所需试开的次数X的均值和方差.
【解析】X为打开此门所需的试开次数,则X的可能取值为1,2,3,4,5.
X=k表示前k-1次没打开此门,第k次才打开了此门.
P(X=1)=,P(X=2)=·=,P(X=3)=·=,P(X=4)=·=,P(X=5)=·1=,
故随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
E(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3,D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×+(5-3)2×=2.
【易错分析】易把试验类型当成二项分布致错.
【避错警示】从5把钥匙中取一把试开房门,若不能打开,则除去这把后,第二次试开就只有4把钥匙了.其次理解错了X=k的含义,X=k是前k-1次没有打开房门,而第k次打开了房门.
易错点4:忽视正态分布的特点
【案例4】已知随机变量X~N(2,σ2),P(X<4)=0.92,则P(0A.0.16 B.0.68
C.0.92 D.0.84
【解析】选D.因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以μ=2,因为P(X<4)=0.92,
所以P(X>4)=1-0.92=0.08,
所以P(X<0)=P(X>4)=1-P(X<4)=0.08,
所以P(04)=1-0.08-0.08=0.84.
【易错分析】理解正态曲线的对称性有助于解决随机变量在有关区间的概率问题,忽视这一点,解题时容易出错.同时正确理解正态分布中μ,σ的意义也有助于解题.
【避错警示】求正态分布中随机变量满足某区间的概率问题,要准确理解正态曲线的对称性,画出图形,将条件与所求问题在图形中建立联系是避免失误的关键.
易错点5:多种概率模型的综合应用
【案例5】为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66
个数 1 1 3 5 6 19 33 18
直径/mm 67 68 69 70 71 73 合计 个数 4 4 2 1 2 1 100 经计算,样本直径的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率):①P(μ-σ(2)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品.
①从设备M的生产流水线上随机抽取2件零件,计算其中次品件数Y的数学期望E(Y);
②从样本中随机抽取2件零件,计算其中次品件数Z的数学期望E(Z).
【解析】(1)P(μ-σ0.682 7,
P(μ-2σP(μ-3σ因为设备M的数据仅满足一个不等式,所以其性能等级为丙.
(2)已知样本中次品共6件,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.
①由已知Y~B(2,0.06),于是E(Y)=2×0.06=0.12.
②由已知得Z的分布列为
故E(Z)=0×+1×+2×=.
Z 0 1 2
P
【易错分析】不理解题意,不能建立恰当的概率模型,从而不能选择正确的公式.尤其是离散型与连续型随机变量,二项分布与超几何分布容易混淆.
【避错警示】连续型的随机变量,可经过适当地转化,变为离散型的随机变量,概率模型也可以进行转化.例如本题中,通过划定范围定义次品,将正态分布转化为二项分布,又通过研究抽取的有限个样本,建立了超几何分布模型.
n次独立重复试验,就用二项分布,试验可以重复无限次,例如生产线上(有无数件产品)随机取一件产品,检测是正品或次品,就应该建立二项分布模型.二项分布题型的关键词是“n次(n是任意的,不固定)”“独立重复”“一次取一件”“用频率接近概率”等.一批产品共有N件,数量是固定的有限件,就用超几何分布,例如在一箱饮料中随机取一件,检测是否过期,就应该建立超几何分布模型.超几何分布题型的关键词是“一箱(件数固定)”“一次取多件”“不独立,相互之间有影响”等.