河南省周口市西华县上学期期末统考适应性考试（2024.1.22）
高三数学试题卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，且，则（ ）
A. B. C. 8 D. 6
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A. 60 B. 80 C. D.
4. 不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
5. 《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，则“方亭”的上 下底面边长之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，为锐角，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A. 甲种的样本极差小于乙种的样本极差 B. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差 D. 甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
第10题图 第11题图
A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
11. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（ ）
A. 函数的极大值点有个 B. 函数在上是减函数
C. 若时，的最大值是，则的最大值为4 D. 当时，函数有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.
13. 设，，分别为的内角，，的对边，已知，则的值为______.
14. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
（1）若，求的大小； （2）求的最小值.
16. （15分）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
（1）求；
（2）在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
17.（15分） 某市37家A级旅游景区，在2024年元旦节日期间，接待人数和门票收入大幅增长．该市某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅游 不喜欢旅游 总计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
（1）利用以上数据，判断能否依据小概率值5 的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关？
（2）将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望．
附： ,其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
18.（17分）如图，在四棱锥中，，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
19.（17分）已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的s，，有.河南省周口市西华县三高上学期期末统考适应性考试（2024.1.22）
高三数学试题卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，且，则（ ）
A. B. C. 8 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.
【详解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故选：C
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘方运算及除法运算化简可得，再根据共轭复数的定义求解即可.
【详解】因为，
由，所以，
即，
则.
故选：D.
3. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A. 60 B. 80 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可.
【详解】当时，，解得，
则的展开式第项，
令，解得，所以，
故选：B
4. 不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值.
【详解】由直线，
得：，即恒过点，
因为直线过此定点，其中m，n是正实数
所以，
则，
，当且仅当时取等号；
故选：B
7. 《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的灿筑物称为“方亭”，沿“方亭”上底面的一对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，则“方亭”的上 下底面边长之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设“方亭”的上底面边长为，下底面边长为，高为，通过，转化求解体积的比值即可．
【详解】解：设“方亭”的上底面边长为，下底面边长为，高为，
则，
，
，
．即
解得或（舍去）
故选：．
5. 设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项.
【详解】由，得，，，
，，，则，
根据可知，.
故选：C
6. 若，为锐角，且，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式进行转化，结合基本不等式求得，从而求得的最小值.
【详解】因为，
所以
，
所以，
即，得，
由于，为锐角，所以，所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选：A
7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B
8. 已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.8，10.0，10.0，10.0，10.2，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：t/hm2）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A. 甲种的样本极差小于乙种的样本极差
B. 甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
C. 甲种的样本方差大于乙种的样本方差
D. 甲种的样本60百分位数小于乙种的样本60百分位数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据极差判断A，计算平均数判断B，计算方差判断C，分别计算甲乙的样本60百分位数判断D.
【详解】对A，，故A对；
对B，，，故B对；
对C，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故C错误；
对D，为整数，故甲的60百分位数，
乙的60百分位数为，故D对.
故选：ABD
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（ ）
A. 函数的极大值点有个
B. 函数在上是减函数
C. 若时，的最大值是，则的最大值为4
D. 当时，函数有个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导函数的图象可判断A、B选项的正误；取，结合函数的最值与单调性的关系可判断C选项的正误；作出函数的草图，数形结合可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；
函数有个极大值点，A选项正确；
当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；
作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查导数和原函数之间的关系，由图象判断零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】如下图所示：
不妨设点在第一象限，联立可得，即点
易知轴，则轴，则，
所以，直线的倾斜角为，易知点，
所以，，整理可得，且有，故，
等式两边平方可得，即，
解得（6舍去）
故答案为：.
13. 设，，分别为的内角，，的对边，已知，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】题设条件中用正弦定理“边化角”即可求得，而要求值的式子可化为，代倍角公式即可求解
【详解】因，所以
则
故答案为：
14. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．
【答案】 ①. 42 ②.
【解析】
【分析】根据为n的所有正因数之和，直接计算，分析的正因数的特点，利用等比数列求和求解.
【详解】根据新定义可得，，
因为正因数，
所以
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
（1）若，求的大小；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出的大小.
(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解的最小值.
【小问1详解】
在中， ，
进而，
，
，
又不为直角，则，，
，.
【小问2详解】
由(1)知，
转化为，又，，.
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为.
16. （15分）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
（1）求；
（2）在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
【答案】（1），
（2）186
【解析】
【分析】（1）根据的关系，即可求解，
（2）根据的形成规律，分组即可求解.
【小问1详解】
因为，当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合上式，
所以，.
【小问2详解】
（方法1）因为，，
所以当时，．
所以
所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设，则，
因为，所以.
所以的前100项是由14个1与86个2组成．
所以.
（方法2）设，则，
因，所以.
根据数列的定义，知
.
17.（15分） 绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长．绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅游 不喜欢旅游 总计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
（1）利用以上数据，判断能否依据小概率值5 的独立性检验认为喜欢旅游与性别有关？
（2）将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取2人进行访谈，记这2人中喜欢旅游的人数为，求的分布列与数学期望．
附： ,其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）有的把握认为喜欢旅游与性别有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）将表中数据代入的计算公式并将计算结果与比较大小，由此可知结果；
（2）根据条件判断出，然后计算出在不同取值下的概率，由此可求分布列，根据分布列可求.
【小问1详解】
因为，
所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关.
【小问2详解】
由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为，
由题意可知：，的可能取值为0,1,2.
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以（或者）.
18. （17分）如图，在四棱锥中，，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；
（2）由题意计算可得点所处位置，根据线面角的定义找到线面所成角后计算即可得.
【小问1详解】
，，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面；
【小问2详解】
取的中点．连接、，
由（1）知平面，
平面，，
如图，过点作，
，，，，，
，，，
，由勾股定理可知，
，平面，平面，
，为的中点，
，又，，
平面，为直线与平面所成角，
由（1）知，又，，
，，，
则，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.（17分）已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，讨论函数在上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的s，，有.
19.答案：（Ⅰ）
（Ⅱ）在上单调递增
（Ⅲ）见解析
解析：（Ⅰ）由题，，
故，，
因此，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）解法一：，
则，
设，，
则，
故在上单调递增，
故，
因此对任意的恒成立，
故在上单调递增.
解法二：，
则，
又，当时，，
故对任意的恒成立，
故在上单调递增.
（Ⅲ）设，
则，
由（Ⅱ）知在上单调递增，
故当，时，，
因此，在上单调递增，
故，
因此，对任意的，有.
