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人教A版数学 必修二
7.2.2 复数的乘、除运算
复习引入
复数的加法法则
复数的加法满足交换律、结合律 =
复平面内的两点之间的距离
复数的乘法法则
我们规定,复数的乘法法则如下:
设是任意两个复数,那么它们的积
注:1)两个复数的积是一个确定的复数.
2)当都是实数时,把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.
3)两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.
思考1:复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗?
对任意,
=
交换律
对任意,
=]
=]
结合律
思考1:复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗?
对任意,
=
=]
加法分配律
思考1:复数的乘法是否满足交换律、结合律?乘法对加法满足分配律吗?
例3 计算
例4 计算
分析:本例可以用复数的乘法法则计算,也可以用乘法公式计算.
解:
练习1:计算
解:
练习2.计算
解:
思考2:若是共轭复数,则是一个怎样的数?
对任意,
若是共轭复数,则是一个实数
探究1:类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则.
复数的除法法则
复数除法的法则是:
注:1)两个复数相除 (除数不为0),所得的商是一个确定的复数.
2)在进行复数除法运算时,通常
先把写成的形式,
再把分子与分母都乘分母的共轭复数
化简后就可得到上面的结果.
分子分母都乘分母的 “实数化因式”(共轭复数),从而使分母 “实数化”
例5 计算
解:
练习3.计算
解:
例6 在复数范围内解下列方程:
分析:利用复数的乘法容易得到(1)中方程的根.
解:
(1)因为
所以方程的根为
.
例6 在复数范围内解下列方程:
分析:对于(2),当时, 一元二次方程无实数根.利用求解一元二次方程的 “根本大法”——配方法,类似于(1)就能在复数范围内求得(2)中方程的根.
(2)将方程的二次项系数化为1,得
配方,得即由Δ<0,
知类似 (1),可得
所以原方程的根为
在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式为:
(1)当Δ≥0时,
(2)当Δ<0时,
练习4.在复数范围内解下列方程
解:(1)将方程的二次项系数化为1,
得
得即
所以原方程的根为
练习4.在复数范围内解下列方程
解:(2)方程的二次项系数为1,
配方,得 由Δ<0,
知 可得
所以原方程的根为i
课堂小结
复数的乘法法则:
复数除法的法则是:
在复数范围内,实系数一元二次方程的
求根公式为:(1)当Δ≥0时,
(2)当Δ<0时,
作业
习题7.2 第3,4题