寒假预习-鸽巢问题 人教版数学 六年级下册（含解析）

寒假预习-鸽巢问题
人教版数学 六年级下册
一、填空题
1．把13本书放进4个抽屉，总有一个抽屉里至少有( )本书。
2．六年级49个学生中，至少有( )个学生在同一个月出生的，他们分成5个小组，其中一个小组至少有( )个学生。
3．盒子里有同样大小的红球和蓝球各5个，要想摸出的球一定有2个不同色的，至少要摸出( )个球，如果要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出( )个球。
4．将红绿蓝三种颜色的袜子各6只放入盒子中，要保证取出一双同色的袜子，至少要取( )只；要保证取出两只不同色的袜子，至少要取( )只；要保证取出三只不同色的袜子至少要取( )只。
5．贤鲁岛是以“生态花岛＋水乡人家”为主题的生态旅游度假区，学校组织50名同学参观贤鲁岛上的“万顷园艺世界”、“鲁岗村”、“贤僚村”三个景点。行程安排每人至少参观一个景点，那么至少有( )人游玩的景点相同。
6．一副扑克牌（去掉大、小王）共52张，至少摸出( )张牌，才能保证有两张牌的花色相同；至少摸出( )张牌，才能保证至少有两种不同花色。
7．六年级有100名同学订阅A、B、C三种杂志。如果他们都只订阅了其中一种，至少有( )名同学订阅的杂志种类相同；如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有( )名同学订阅的杂志种类相同。
8．箱子里有3个红球，2个黄球和5个白球。从袋子里任意摸出一个球，摸出球的颜色有( )种可能；摸出( )球的可能性最大；要想摸出2个颜色相同的球，至少要摸( )个球。
9．小明把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里。他至少要取( )个球，才可以保证取到两个颜色相同的球。
10．现有211名同学和四种不同的巧克力。每种巧克力的数量都超过633颗。规定每名同学最多拿三颗巧克力，也可以不拿。若按照巧克力的种类和数量都是否相同分组，则人数最多的一组至少有( )名同学。
二、判断题
11．随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相是相同的。( )
12．两个小朋友独立操作，共编了七个中国结，有一个小朋友至少编了4个。( )
13．在一条1米长的线段上任取4个点，这4个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。( )
14．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( )
15．从1开始的连续10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20． ( )
三、选择题
16．六年级甲班59名同学中至少有（ ）名同学是同一个月份出生的。
A．4 B．5 C．6 D．7
17．箱子中有质地、型号完全相同的红、黄、白三种颜色的袜子各8只。至少拿出（ ）只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。
A．5 B．8 C．10 D．11
18．暗箱中混放着白、红、黄、蓝四种颜色的球各8个（除颜色外其余都相同），至少要摸出（ ）个球，才能保证从中摸出5个颜色相同的球。
A．5 B．13 C．17 D．26
19．教室里有10名学生正在做作业，今天有语文、数学和英语三科作业，总有一科作业至少有（ ）名学生在做。
A．3 B．4 C．5 D．6
20．希望小学的学生中年龄最小的是6岁，最大的是13岁，任选（ ）位同学就能保证其中一定有两位同学的年龄相同。
A．6 B．7 C．8 D．9
四、解答题
21．把红、黄、蓝、黑、白五种颜色的筷子各9根放在一个盒子里。至少取多少根才能保证一定有2根颜色相同的筷子？
22．学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
23．不透明的袋子中，有外形完全一样的红黄蓝，三种颜色的球各10个，每个小朋友从中摸出一个球，至少有多少个小朋友摸球才能保证一定有5个小朋友摸的球颜色一样？
24．某班学生去买有关语文、数学、英语三种类型的课外书，根据自己的喜好有买一本的，两本的，也有买三本的。至少要去几名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书？
25．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？
参考答案：
1．4
【分析】把13本书放进4个抽屉，13÷4＝3（本）……1（本），即平均每个抽屉放入3本后，还余一本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进3＋1＝4本书。
【详解】13÷4＝3（本）……1（本）
3＋1＝4（本）
【点睛】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商＋1（有余数的情况下）。
2． 5 10
【分析】一年有12个月，那么可以看作是12个抽屉，49个同学看做49个元素，考虑最差情况：把49个同学平均分配在12个抽屉中：49÷12＝4（个） 1（个），那么每个抽屉都有4人，那么剩下的1人，无论放到哪个抽屉都会出现5个人在同一个抽屉里。
同理，把5个小组看作是5个抽屉，49个同学看做49个元素，考虑最差情况：把49个同学平均分配在5个抽屉中：49÷5＝9（个） 4（个），那么每个抽屉都有9人，那么剩下的4人，无论放到哪个抽屉都会出现10个人在同一个抽屉里。
【详解】49÷12＝4（个） 1（个）
4＋1＝5（个）
49÷5＝9（个） 4（个）
9＋1＝10（个）
【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。
3． 6 3
【分析】盒子里有同样大小的红球和蓝球各5个，要摸2个不同色的，最坏的情况是，摸出5个球的颜色是同一种（红色或蓝色），此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个不同色的，即至少要摸出5＋1＝6个；
盒子里有同样大小的红、蓝两种颜色的球，要摸2个同色的，最坏的情况是，当摸出2个球的时候，红、蓝两种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出2＋1＝3个。
【详解】根据分析得，5＋1＝6（个）
2＋1＝3（个）
【点睛】此题主要运用抽屉原理的解答思路，从最不利情况考虑，解决问题。
4． 4 7 13
【分析】考虑最倒霉的情况，第一个空，假如取出的前3只颜色都不相同，再取一只，无论什么颜色都能组成一双同色的袜子；
第二个空，假如取出的前6只，全是同一种颜色，再取一只，无论什么颜色，都有两只不同色的袜子；
第三个空，假如前边将两种颜色的袜子全部取出，再取一只，一定有三只不同色的袜子。
【详解】3＋1＝4（只）
6＋1＝7（只）
6×2＋1
＝12＋1
＝13（只）
【点睛】解决抽屉问题的关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
5．17
【分析】根据抽屉原理，用人数除以景点数，有余数时用商加1，就是至少有多少人游玩的景点相同。
【详解】50÷3＝16（人）……2（人）
16＋1＝17（人）
至少有17人游玩的景点相同。
【点睛】本题主要考查抽屉原理的应用。
6． 5 14
【分析】52张扑克牌，共有4种花色，要保证有两张牌的花色相同，考虑最差的情况：前面摸出的花色各不一样，即红桃、放块、黑桃、梅花各一张，此时再任意摸出一张不管是哪种花色都能和之前的四种花色中的任一种相同；
扑克牌每一种花色的牌有13张，考虑最差的情况：前面摸出的13张牌都是同一种花色，此时再任意摸出一张牌，无论是哪种花色，这时只需再摸出一张牌，就能保证至少有两种花色；据此解答。
【详解】根据分析可知：
4＋1＝5（张）
52÷4＝13（张）
13＋1＝14（张）
【点睛】本题考查鸽巢原理的应用，关键要认真分析题意，熟练运用鸽巢原理。
7． 34 17
【分析】（1）如果他们都只订阅了其中一种，则有A、B、C三种订阅方式；用除法求出100里有多少个3，商是33，还余1名同学，那么这1名同学无论订阅哪种杂志，都会出现有一种杂志至少有（33＋1）名同学订阅；
（2）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，则会出现A、B、C、AB、AC、BC，一共6种不同的订阅方式；用除法求出100里有多少个6，商是16，还余4名同学，那么这4名同学无论选取哪种订阅方式，都会出现有一种杂志种类至少有（16＋1）名同学订阅。
【详解】（1）100÷3＝33（名）……1（名）
33＋1＝34（名）
如果他们都只订阅了其中一种，至少有34名同学订阅的杂志种类相同；
（2）如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，共有6种不同的订阅方式；
100÷6＝16（名）……4（名）
16＋1＝17（名）
如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有17名同学订阅的杂志种类相同。
【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则来解题。
8． 三/3 白 4/四
【分析】箱子里红球、黄球和白球，任意摸出一个球，可能是红球，可能是黄球，可能是白球；
哪种颜色的球的数量最多，摸出哪种颜色的球的可能性最大；
利用抽屉原理，考虑最差情况：如果前3次摸出的都是不同颜色的球，那么第4次摸到的球一定是3个颜色中的1个，据此解答。
【详解】从袋子里任意摸出一个球，摸出球的颜色有3种可能；摸出白球的可能性最大。
3＋1＝4（个）
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
9．5
【分析】题目中已知鸽巢数量（4种颜色即4个鸽巢）和分的结果（保证一个鸽巢里至少有2个同色的），求要分放物体的数量，用鸽巢数加1来计算。
【详解】4种颜色即4个鸽巢，保证一个鸽巢里至少有2个同色的，至少要取的球的个数是：4＋1＝5（个）。
【点睛】已知鸽巢数量和分的结果，求要分放物体的数量，可以用“鸽巢数＋1＝分放物体的数量”来计算。解答本题要注意，各种颜色小球的数量并不参与运算。
10．7
【分析】每一名学生可以拿：括号内为该情况发生有几种情况。1，一个不拿（1种情况）；2，拿四种糖果中任意一个 （4种情况）；3.拿两个，都是同种糖果（4种情况）；4.拿两个且不同的糖果，随机的（6种情况）；5.拿三个，都相同（4种情况）； 6.拿三个，两个相同（12种情况）；7.拿三个都不同的糖果（4种情况）；所以一个同学所取的不同种类共有1＋4＋4＋6＋4＋12＋4＝35种情况；因为每一种糖都超过633颗，所以第五种情况能够出现，3×211＝633，足够分。所以其他六种情况也能够发生。所以，要让最多的那组人数最少就是：211÷35＝6…1（余数1）；即最多的一组最少为6＋1＝7人。
【详解】一个同学所取的不同种类共有1＋4＋4＋6＋4＋12＋4＝35；这35种情况可以看做35个抽屉。
211÷35＝6……1；
所以6＋1＝7（人），
答：人数最多的一组至少有7人。
故答案为7。
【点睛】此题考查利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是构建此题。
11．√
【分析】共有12个属相，假设其中12个人的属相都不同，则第13个人无论属相是什么，都有2个人的属相相同。据此解答即可。
【详解】由分析可知：
随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相是相同的。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题考查鸽巢问题，明确共有12个属相是解题的关键。
12．√
【分析】将两个小朋友的所有工作量搭配一一列举，据此判断正误即可。
【详解】两个小朋友独立操作一共编了七个中国结的情况下，工作量搭配如下：0个和7个，1个和6个，2个和5个，3个和4个，4个和3个，5个和2个，6个和1个，7个和0个。所以，有一个小朋友至少编了4个。
所以判断正确。
【点睛】本题考查了抽屉问题，做这类题目时，常利用列举法来帮助解决问题。
13．×
【分析】一条1米长的线段上有4个点，如果这4个点将1米长的线段平均分成5段，每段长20厘米；根据抽屉原理，把5个线段看作5个抽屉，需要6个点放入5个抽屉中，必然有两个点的距离小于20厘米；据此判断。
【详解】1米＝100厘米
4＋1＝5（段）
100÷5＝20（厘米）
5×1＋1
＝5＋1
＝6（个）
故答案为：×
【点睛】关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答。
14．√
【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。
【详解】5×（3－1）＋1
＝5×2＋1
＝10＋1
＝11（本）
所以这些书至少需要11本。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。
15．√
【详解】从1开始的连续10个奇数分别为：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，这10个数按两个数的和为20可以分为5组：（1，19）、（3，17）、（5，15）、（7，13）、（9，11），现在取5个数：1、3、5、7、9，再任意取一个数，无论是剩余中的哪一个，必定有两个数的和为20，据此解答.
16．B
【分析】把59名同学看作被分放物体，一年中的12个月份看作抽屉数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。
【详解】一年一共有12个月。
59÷12＝4……11
4＋1＝5（名）
所以，至少有5名同学是同一个月份出生的。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查利用抽屉原理解决实际问题，找出被分放物体数和抽屉数是解答题目的关键。
17．D
【分析】从最不利的情况考虑，如果取出的头8只袜子是同一种颜色，再取2只是剩下的两种颜色的各一只，然后再取1只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子，据此解答即可。
【详解】8＋2＋1＝11（只）
至少拿出11只，可以保证凑成两双颜色不相同的袜子。
故答案为：D
【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。
18．C
【分析】根据题意，暗箱中混放着白、红、黄、蓝四种颜色的球各8个，运气最差的情况为先摸出每种颜色的球各4个，此时再任意摸出一个球，一定会出现有5个颜色相同的球。
【详解】4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
至少要摸出17个球，才能保证从中摸出5个颜色相同的球。
故答案为：C
【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。
19．B
【分析】根据题意，把10名学生看作被分配的物体数，三科作业看作3个抽屉，平均每个抽屉先放3名学生，还剩下1名学生，无论放在哪个抽屉，总有一个抽屉至少有（3＋1）名学生在做。
【详解】10÷3＝3（名）……1（名）
3＋1＝4（名）
故答案为：B
【点睛】本题是鸽巢问题，采用最不利原则来解题。
20．D
【分析】最小的是6岁，最大的是13岁，年龄可能是6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11岁、12岁、13岁，共8种可能，即抽屉数是8。
【详解】年龄可能是6岁、7岁、8岁、9岁、10岁、11岁、12岁、13岁，共8种可能；
每个年龄先取1名学生，取出8名学生，此时没有两位同学的年龄相同；
再取1名学生，一定有两位同学的年龄相同；
（名）
故答案选：D。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，这里的抽屉数是学生的年龄情况，总共8种可能，所以抽屉数是8。
21．6根
【分析】把5种不同颜色看作5个抽屉，把不同颜色的筷子看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要先放1根筷子，共需要5根，再取出1根不论是什么颜色，总有一个抽屉里的筷子和它同色，所以至少要取出：5＋1＝6（根），据此解答。
【详解】5＋1＝6（根）
答：至少取6根才能保证一定有2根颜色相同的筷子。
【点睛】本题考查了抽屉原理问题之一，它的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝抽屉的个数＋1”解答。
22．5人
【分析】本题同学参加情况共11种，不参加、书法、舞蹈、棋类、乐器、书法和舞蹈、书法和棋类、书法和乐器、舞蹈和棋类、舞蹈和乐器、棋类和乐器；这里可以把这11个情况看做11个抽屉，考虑最差情况，每个抽屉的人数尽量平均，52÷11＝4（人）……8（人），每个抽屉都有4人，还剩下8人，由此即可利用抽屉原理解决问题。
【详解】52÷11＝4（人）……8（人）
4＋1＝5（人）
答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。
【点睛】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用；根据题干，找出学生参加学习班的所有可能情况，是解决本题的关键。
23．13个
【分析】抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有：
（1）当n不能被m整除时，k＝[]＋1个物体。
（2）当n能被m整除时，k＝个物体。
小朋友数量相当于n，三种颜色相当于m，根据（k－1）×m＋1＝n，列式解答即可。
【详解】3×（5－1）＋1
＝3×4＋1
＝12＋1
＝13（个）
答：至少有13个小朋友摸球才能保证一定有5个小朋友摸的球颜色一样。
【点睛】抽屉问题的关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。
24．20名
【分析】如果买一本的有3种买法，如果买两本的有6种买法，如果买三本的有10种买法，共有3＋6＋10＝19（种）买法，看作19个抽屉，每个抽屉里有1个人，共需要19人，那么再有1个人，就能满足一定有两名同学买到相同的书。
【详解】3＋6＋10＝19（种）
19＋1＝20（名）
答：至少要去20名学生才能保证一定有两名同学买到相同的书。
【点睛】此题考查了利用排列组合和抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是确定抽屉数，再从最差情况考虑即可。
25．5个
【分析】分清楚这个袋子里面总共有多少种颜色的球，要保证一定有两个颜色相同的，每个颜色的球都取一个以后，下一次取出的球的颜色一定与之前取出的球的颜色相同。
【详解】此题中求至少取多少个球，即为“最不利原则”问题。
解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是摸出的前4个球的颜色都不一样，那么摸出的第5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色相同。
答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。
【点睛】本题考查了抽屉原理。