第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春·山西大同·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，则与方向相同或相反
2．（5分）（2022·高一课时练习）已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ， 满足（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2023·全国·模拟预测）在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，，则解此三角形的结果有（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．一解或两解
5．（5分）（2022秋·江苏·高三阶段练习）已知向量，且，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
6．（5分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知三个单位向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022春·福建福州·高一阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越费力，越大越省力
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
8．（5分）（2022·全国·高三专题练习）在中，内角所对的边分别为，且，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当，时，的面积为
C．若是的角平分线，且，则
D．当时，为直角三角形
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·湖北襄阳·高一阶段练习）有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若分别表示的面积，则
10．（5分）（2023秋·重庆·高三学业考试）如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）（2022春·云南昆明·高一期中）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则
B．的取值范围为
C．若点P在BD上时，
D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1
12．（5分）（2022春·江苏镇江·高一期末）已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．的面积为
C．
D．在的外接圆上，则的最大值为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春·高一课时练习）已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有
．
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．
14．（5分）（2022秋·新疆省·高三阶段练习）在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是 ．
15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则 ．
16．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知中角，，所对的边为，，，，，点在上，，记的面积为，的面积为，，则 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为 的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？
18．（10分）（2022秋·吉林四平·高三阶段练习）如图，在中，为线段上的一个动点（不含端点），且满足.
(1)若，用向量表示；
(2)若，且，求的取值范围.
19．（12分）（2022·高二课时练习）已知
(1)求;
(2)设的夹角为，求的值;
(3)若向量与互相垂直，求的值.
20．（12分）（2022春·福建福州·高一期末）在如图所示的平面图形中，，，求：
(1)设，求的值；
(2)若且，求的最小值.
21．（12分）（2022秋·江苏徐州·高三期中）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
22．（12分）（2022秋·上海嘉定·高二阶段练习）在中，角、、所对的边分别是、、．且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春·山西大同·高一期中）下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若，则与方向相同或相反
【解题思路】对ABC选项找出反例，证明其错误，选项B根据传递性很明显正确，即可求解.
【解答过程】对于A选项： 平行于任何向量，若，满足，，但不一定满足，故A错；
对于B选项：根据向量传递性，正确；
对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错；
对于D选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果中有一个是零向量,那么方向相同或相反,或者不同，故D错.
故选：B.
2．（5分）（2022·高一课时练习）已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ， 满足（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量的线性运算方法，分别求得，；
再由，得到，即可求解.
【解答过程】由，，，
可得，；
若三点共线，则，可得，化简得.
故选：B.
3．（5分）（2023·全国·模拟预测）在中，点在边上，且，点在边上，且，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求，，进而可求．
【解答过程】解：如图，连接
则，
∴，，则.
故选：A.
4．（5分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，，则解此三角形的结果有（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．一解或两解
【解题思路】根据题意作出图形，推得，从而得到圆与射线有两个交点，进而得到满足题意的三角形有两个，由此得解.
【解答过程】依题意，作出，，落在射线上，过作于，如图，
则在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
故以为圆心，半径为的圆与射线相交，即有两个交点，
显然，这个两交点都可以作为点，与构造，且，
所以满足题意的三角形有两个，即解此三角形的结果有两解.
故选：C.
.
5．（5分）（2022秋·江苏·高三阶段练习）已知向量，且，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【解题思路】根据向量平行得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【解答过程】，，，故，即，
当，或，时，；
当且时，，，当，即，时等号成立；
综上所述：的最大值为.
故选：B.
6．（5分）（2022秋·云南·高三阶段练习）已知三个单位向量满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意可得，设与所成的角为，则有，根据求解即可.
【解答过程】解：由题意可得，
又因为，
所以，
设与所成的角为，
则，
又因为，
所以，
所以，
即 ，
所以的最小值为.
故选：B.
7．（5分）（2022春·福建福州·高一阶段练习）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越费力，越大越省力
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
【解题思路】根据为定值，求出，再对选项进行分析、判断即可.
【解答过程】解：对A，为定值，
，
解得：；
由题意知：时，单调递减，
单调递增，
即越大越费力，越小越省力，故A错误；
对B，当时，不满足题意，故B错误；
对C，当时，，
，故C错误；
对D，当时，，
，故D正确.
故选：D.
8．（5分）（2022·全国·高三专题练习）在中，内角所对的边分别为，且，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当，时，的面积为
C．若是的角平分线，且，则
D．当时，为直角三角形
【解题思路】选项A：先用正弦定理得，再利用三角恒等变换，求出，即可；选项B：直接解三角，发现无解即可；选项C：利用等面积法，的到的关系即可；选项D：利用正弦定理得，然后利用三角形角的关系，计算出各个角的大小即可.
【解答过程】选项A:因为，
由正弦定理可得，
又因为，
所以，
化简可得，因为，所以
可得，，故，选项A错误；
选项B：当，时，由选项A，得，因为，
可得，无解，故此时三角形不存在，选项B错误；
选项C：因为若是的角平分线，且，由选项A，得
故，而
得，
得，所以，选项C错误；
选项D：因为，由正弦定理可得，
又，，得，
所以，化简可得，因为，
解得或，由条件可知，故舍去，
故，所以，所以为直角三角形，选项D正确．
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春·湖北襄阳·高一阶段练习）有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若分别表示的面积，则
【解题思路】利用向量的传递性和向量的线性运算及向量共线的充要条件可判断A、B、C项，运用三角形重心向量的表示和性质，结合三角形面积的求法可判断D项.
【解答过程】对于A项，若，且，则，故A项错误；
对于B项，若，且，则存在唯一实数使得，故B项错误；
对于C项，两个非零向量，若，则与共线且反向，C项正确；
对于D项，因为，整理得
如图所示：
故,所以三点共线；故，,
所以，故，故D项正确.
故选：CD.
10．（5分）（2023秋·重庆·高三学业考试）如图，是所在平面内任意一点，是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，由题意可知，、、分别为、、的中点，
所以，，
同理可得，，
所以，，A错；
对于B选项，由重心的性质可知，，，
由A选项可知，，
所以，，B对；
对于C选项，由重心的性质可知，，，
所以，
，C对；
对于D选项，，
同理可得，，
因此，，D对.
故选：BCD.
11．（5分）（2022春·云南昆明·高一期中）在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则
B．的取值范围为
C．若点P在BD上时，
D．若P，Q在线段BD上，且，则的最小值为1
【解题思路】利用向量共线定理推论可判断A，利用向量的线性运算几何表示可判断B，利用向量的数量积的定义及运算律可判断C，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D.
【解答过程】当点P在BD上时，因为，所以，故A正确；
因为P在在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且，
所以，则，故B错误；
当点P在BD上时，，
所以，故C正确；
若P，Q在线段BD上，且，如图建立平面直角坐标系，
设，则，，
∴
∴当时，有最小值为1，故D正确.
故选：ACD.
12．（5分）（2022春·江苏镇江·高一期末）已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．的面积为
C．
D．在的外接圆上，则的最大值为
【解题思路】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，判断A；根据面积公式计算三角形的面积，判断B；利用正弦定理计算，判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值，判断D.
【解答过程】在三角形中，由余弦定理，
，故，故正确；
在中，由余弦定理得：，
，故正确；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，
故，故不正确；
，，，，
，
为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，
显然当取得最大值时，在优弧上．
故，设，则，，
，
，，
，其中，，
当时，取得最大值，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春·高一课时练习）已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有
① ．
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．
【解题思路】直接利用平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义逐一判断即可.
【解答过程】化简，①合题意；
由正六边形的性质，结合图可得向量、、与向量方向不同，
根据向量相等的定义可得向量、、与向量不相等，
②③④不合题意；
因为＋+ ，⑤不合题意；
－，⑥不合题意；
，⑦不合题意，
故答案为①.
14．（5分）（2022秋·新疆省·高三阶段练习）在中，，，且，设为平面上的一点，则的最小值是 ．
【解题思路】根据数量积的运算律求出，则，再根据数量积的定义及二次函数的性质计算可得.
【解答过程】解：由题意得：，
则，
，
则
，（当且仅当时取等）．
故答案为：．
15．（5分）（2022·全国·高三专题练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则 ．
【解题思路】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.
【解答过程】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，
即，即，化简得
故答案为：.
16．（5分）（2022·全国·高三专题练习）已知中角，，所对的边为，，，，，点在上，，记的面积为，的面积为，，则 6 ．
【解题思路】解法一：利用面积公式和已知面积比可以求得，从而得到，在和中同时应用正弦定理并结合得到．设，则，，在和中同时应用余弦定理并结合，消角求值；
解法二：把沿翻折到，使，，三点共线，则平分．利用角平分线定理和面积公式可得，求得，并设，则，在中和中同时余弦定理，消角求值即可.
【解答过程】解：法一：设，则，
则，．
因为，所以．
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
两式相比得．
设，则，，
在中，由余弦定理得，
所以①．
在中，由余弦定理得，
所以②，
联立①②得，所以．
法二：因为，把沿翻折到，使，，三点共线，则平分．
因为，所以．
因为，
所以，设，则，
设，则．
在中，由余弦定理得，
所以①，
在中，由余弦定理得，
所以②，
联立①②得，所以．
故答案为：6．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为 的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？
【解题思路】(1)根据相等向量的概念，即可得到向量相等的向量个数，得到答案；
(2)根据向量的模的概念，即可得与向量平行且模为 的向量的个数；
(3)根据向量的模概念，即可得到与向量方向相同且模为3的向量共的个数．
【解答过程】(1)根据相等向量的概念，可得与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2) 根据向量的模的概念，可得与向量平行且模为 的向量共有24个．
(3) 根据向量的模概念，可得与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
18．（10分）（2022秋·吉林四平·高三阶段练习）如图，在中，为线段上的一个动点（不含端点），且满足.
(1)若，用向量表示；
(2)若，且，求的取值范围.
【解题思路】（1）利用向量的线性运算即可求解；
（2）利用数量积的运算律求解即可.
【解答过程】（1）因为，所以，
所以，
当时，.
（2）由（1）可知，
所以
，
因为，，
所以，
因为，所以，所以，
即的取值范围为.
19．（12分）（2022·高二课时练习）已知
(1)求;
(2)设的夹角为，求的值;
(3)若向量与互相垂直，求的值.
【解题思路】（1）根据向量的减法的坐标运算，即可求得答案；
（2）求出向量的数量积和模，根据向量的夹角公式即可求得答案;
（3）根据向量垂直时数量积为0，列方程即可求得答案.
【解答过程】（1）因为，
所以；
（2）由题意得，
，
故；
（3）因为向量与互相垂直，故，
即.
20．（12分）（2022春·福建福州·高一期末）在如图所示的平面图形中，，，求：
(1)设，求的值；
(2)若且，求的最小值.
【解题思路】（1）由向量减法得，再根据向量共线可得，进而得答案；
（2）由题知，设设，进而得，再结合二次函数与三角函数求范围即可得答案.
【解答过程】（1）
解：因为，
所以，
所以，即
（2）
解：因为，所以记
因为，所以，
设，
则
所以，，
所以
所以，当时，取得最小值，最小值为，
又因为，所以，
所以，即的最小值为.
21．（12分）（2022秋·江苏徐州·高三期中）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击
(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
【解题思路】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得.
（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.
【解答过程】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，
由题意知，
在中，，
由余弦定理得，
，
所以，
在中， 由正弦定理得，即 ，
所以（舍去），
所在，
又，
在中， ，
由余弦定理得
，
，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.
（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，
则，
在中，由正弦定理得：，
则，
所以，，
在中，由正弦定理得：，
则，故 （舍），
，
故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
22．（12分）（2022秋·上海嘉定·高二阶段练习）在中，角、、所对的边分别是、、．且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)若，，为中点，为线段上一点，且满足．求的值，并求此时的面积．
【解题思路】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；
（2）根据（1）可得，得到，再根据正弦的和差角公式与辅助角公式，根据角度的范围求解即可；
（3）先根据直角三角形中的关系求解得，再设，推导可得，再根据求解即可
【解答过程】（1）由正弦定理及，得，
即，化简得，故．
又，故．
（2）由（1）知，，
故
.
又，则，，
故．
（3）
∵，∴，∵，为中点，∴，
∵，∴，，∴，，
设，则，
∴，，
∴，
在直角中，，
∴当时，的面积为．
