第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）
【人教A版2019】
考试时间：90分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022秋·湖北·高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
2．（5分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2022春·广西南宁·高一阶段练习）等于（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知在等腰中，，点在线段上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022春·山东聊城·高一期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
8．（5分）（2022春·安徽合肥·高二期末）记的内角的对边分别是，已知，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量
B．若向量，则
C．在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形
D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算
10．（5分）如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）（2022·全国·高一假期作业）已知，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则
12．（5分）（2022秋·广东深圳·高三阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·高一课时练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
14．（5分）（2023·高一课时练习）计算： ．
15．（5分）在平行四边形中，是线段的中点，若，则 .
16．（5分）（2023·广西南宁·南宁一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.则的内切圆面积为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
18．（10分）（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
19．（12分）（2022春·广东江门·高一期中）已知平面向量，，，，且与的夹角为．
(1)求
(2)若与垂直，求k的值．
20．（12分）（2022秋·陕西咸阳·高三阶段练习）已知平面向量，满足，，其中.
(1)若，求实数m的值.
(2)若，若与夹角的余弦值.
21．（12分）（2022春·上海普陀·高一期末）如图，在中，为边上一点，且．
(1)设，求实数、的值；
(2)若，求的值；
(3)设点满足，求证：．
22．（12分）（2022·陕西西安·模拟预测）在中，角A，，所对的边分别是，，，且，
(1)若，求，
(2)若，且，求的面积.第六章 平面向量及其应用全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022秋·湖北·高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．长度相等的向量叫做相等向量 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【解题思路】根据零向量的方向是任意的；，则或 与 都垂直；长度相等的向量是相等向量或相反向量；即可解决.
【解答过程】零向量的方向是任意的，故A错；
若，则或 与 都垂直，故B错；
长度相等的向量是相等向量或相反向量，故C错；
故选：D.
2．（5分）（2022·全国·高三专题练习）如图，在正六边形ABCDEF中，与向量相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由相等向量的定义可知.
【解答过程】由图可知六边形ABCDEF是正六边形，所以ED=AB，与方向相同的只有；而,,与长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；
故选：B.
3．（5分）（2022春·广西南宁·高一阶段练习）等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量加减法运算，即可求解.
【解答过程】.
故选：B.
4．（5分）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据投影向量的概念直接求解即可.
【解答过程】解：因为满足，且，
所以，向量在向量上的投影向量为，
故选：D.
5．（5分）已知在等腰中，，点在线段上，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由，得，然后用表示出，再由数量积的运算律与定义计算．
【解答过程】如图，
因为，故，
可得，
则，
故选：B.
6．（5分）（2022春·山东聊城·高一期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
【解答过程】由题意 ,
即，
所以，
故选：A.
7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的范围为
C．当时，
D．当时，
【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答过程】解：如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确；
对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误；
对于选项C：当行李包处于平衡时，，若，
则有，变形得，
，即，正确；
对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确，
故选：B．
8．（5分）（2022春·安徽合肥·高二期末）记的内角的对边分别是，已知，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解题思路】由正弦定理及余弦定理得，然后利用余弦定理结合三角形的面积公式，即可求解.
【解答过程】∵，
∴，，可得，
∵，，，
∴，
所以三角形的面积为.
故选：D.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022·高一课时练习）下列说法中正确的是（ ）
A．力是既有大小，又有方向的量，所以是向量
B．若向量，则
C．在四边形中，若向量，则该四边形为平行四边形
D．速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算
【解题思路】根据向量的定义，共线向量的定义，逐项判定，即可求解.
【解答过程】对于A中，根据向量的定义，力是既有大小，又有方向的量，所以是向量，所以A正确；
对于B中，向量，则或与共线，所以B错误；
对于C中，在四边形中，若向量、则只有一组对边平行，不一定是平行四边形，所以C错误；
对于D中，根据向量的运算法则，可得速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，所以D正确.
故选：AD.
10．（5分）如图所示，在边长1为的正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积的几何表示即可判断.
【解答过程】由正六边形性质可知，正六边形ABCDEF对边平行且相等，对角线交于O将正六边形分成六个全等正三角形.
对A，，A错；
对B，，B对；
对C，，C对；
对D，，，，D错.
故选：BC.
11．（5分）（2022·全国·高一假期作业）已知，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．的最小值为5 D．若向量与向量的夹角为钝角，则
【解题思路】由向量平行和垂直的坐标表示可得AB正误；利用向量模长运算可知，由二次函数性质可求得，知C错误；利用向量夹角为钝角，则数量积必定小于0，可判断D.
【解答过程】对于A，若，则，解得：，A正确；
对于B，若，则，解得：，B错误；
对于C，因为，所以，则当时，，，C错误；
对于D，若向量与向量的夹角为钝角，则，解得，由上可知，此时两向量不共线，D正确.
故选：AD.
12．（5分）（2022秋·广东深圳·高三阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．的面积为
【解题思路】由题设得，应用正弦定理及边角关系确定不为钝角，进而确定，应用余弦定理求及，最后由面积公式求的面积，即可判断各项正误.
【解答过程】由题设，则，即，故，
所以不为钝角，否则、都为钝角，则，
又，即，
整理得，故，
，且为三角形内角，则，
综上，的面积，
故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·高一课时练习）下列各量中，向量有： ③⑤⑥⑧⑩ ．（填写序号）
①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．
【解题思路】根据向量的概念判断即可.
【解答过程】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，人造卫星的速度，向心力，加速度.
故答案为：③⑤⑥⑧⑩.
14．（5分）（2023·高一课时练习）计算： ．
【解题思路】根据向量的数乘运算法则即可得出结果.
【解答过程】易知，
故答案为：.
15．（5分）在平行四边形中，是线段的中点，若，则 .
【解题思路】根据平面向量线性运算直接求解即可.
【解答过程】
四边形为平行四边形，为中点，为中点，
，，，
.
故答案为：.
16．（5分）（2023·广西南宁·南宁一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.则的内切圆面积为 .
【解题思路】根据题意和正弦定理、三角恒等变换可得，结合余弦定理和三角形面积公式可得，利用计算即可求解.
【解答过程】由及正弦定理，
得，
即，
易知，则，即.由余弦定理，
得，解得，
所以.
设的内切圆半径为r，
则，得，
所以的内切圆的面积为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
【解题思路】（1）根据行走方向和单位长度即可确定各点在坐标系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由题意可知，四边形是平行四边形，则可求得的模.
【解答过程】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为.
18．（10分）（2022·全国·高一专题练习）如图，是正六边形的中心，且，，．在以这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
【解题思路】根据相等向量、相反向量、向量模长的概念，结合图形进行分析求解即可.
【解答过程】(1)
由相等向量定义知：与相等的向量有.
(2)
由相反向量定义知：的相反向量有.
(3)
由向量模长定义知：与的模相等的向量有 .
19．（12分）（2022春·广东江门·高一期中）已知平面向量，，，，且与的夹角为．
(1)求
(2)若与垂直，求k的值．
【解题思路】（1）利用向量的平方等于模长的平方和数量积公式求解即可；
（2）利用向量垂直数量积为0求解即可.
【解答过程】（1）由题意可得
，
所以.
（2）因为向量与垂直，
所以，
解得.
20．（12分）（2022秋·陕西咸阳·高三阶段练习）已知平面向量，满足，，其中.
(1)若，求实数m的值.
(2)若，若与夹角的余弦值.
【解题思路】（1）根据向量的坐标运算可得，，然后根据向量平行的坐标关系即得；
（2）根据向量垂直的坐标表示可得，然后利用向量夹角的坐标公式即得.
【解答过程】（1）因为，，
所以，
即，
所以，
又，
所以，
解得；
（2）因为，
所以，
解得，
所以，
所以，，
所以，，
所以.
21．（12分）（2022春·上海普陀·高一期末）如图，在中，为边上一点，且．
(1)设，求实数、的值；
(2)若，求的值；
(3)设点满足，求证：．
【解题思路】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解；(2)利用数量积的运算律求解；(2)用基底表示出向量，再用数量积运算律表示出模长，即可得证.
【解答过程】（1）因为，所以，
所以，所以；
（2）
；
（3）因为，所以，
因为，，
,,
所以,
,
所以,即，得证.
22．（12分）（2022·陕西西安·模拟预测）在中，角A，，所对的边分别是，，，且，
(1)若，求，
(2)若，且，求的面积.
【解题思路】（1）由正弦定理化简得，即可由余弦定理求值；
（2）由条件得，结合三角形面积公式即可求.
【解答过程】（1），
由正弦定理可得，故.
由余弦定理得.
（2），则，
故.
