专题6.13 平面向量的综合运用大题专项训练（30道）
【人教A版2019必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022秋·广东江门·高二期中）已知点，向量．
(1)若，求实数k的值；
(2)求向量与向量所成角的余弦值．
2．（2023·高一单元测试）已知向量，，．
(1)当k为何值时，与平行；
(2)若向量满足，且，求．
3．（2022春·广西贺州·高一阶段练习）（1）若向量，求与的夹角；
（2）已知，求与夹角的余弦值.
4．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一期末）已知，，，，且.
(1)求的值；
(2)求向量与向量夹角的余弦.
5．（2023·高一课时练习）已知，，，．求：
(1)；
(2)；
(3)的单位向量的坐标．
6．（2022秋·内蒙古·高二阶段练习）已知向量若
(1)求的夹角；
(2)求.
7．（2023·高一课时练习）四边形ABCD中，，，，试判断四边形ABCD的形状（其中，为不平行的非零向量）．
8．（2023·高一课时练习）已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，且，求边c的长．
9．（2022春·山东聊城·高一期中）已知平面向量．
(1)若，求满足的和的值；
(2)若，求m的值．
10．（2023·高一课时练习）已知，，．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值；
(2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值．
11．（2023秋·北京昌平·高一期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
12．（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，若，，，点分别在线段上，且满足.
(1)求；
(2)求.
13．（2022春·广西柳州·高一阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求与的夹角；
14．（2023·高一课时练习）已知，．
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)若与垂直，求当k为何值时，？
15．（2022春·广西柳州·高一阶段练习）在中，，，，为边中点．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值；
16．（2023秋·北京丰台·高一期末）如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．
17．（2023·高一单元测试）已知，，与的夹角为．求：
(1)；
(2)；
(3)．
18．（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知，，且与夹角为120°，求：
(1)；
(2)与的夹角；
(3)若向量与平行，求实数的值．
19．（2023秋·北京房山·高一期末）已知向量，不共线，且，，．
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：A，B，C三点共线．
20．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为．满足下列条件时，分别求与的数量积．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为30°时.
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且△ABC的面积为9．
(1)求；
(2)若，求b．
22．（2022秋·广东深圳·高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，，记，求向量在方向上的投影向量.（用表示）
23．（2023·北京·高三阶段练习）已知非零平面向量，的夹角为，.
(1)证明：；
(2)设，求的最小值.
24．（2022秋·内蒙古兴安盟·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点.
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数满足，求的值.
25．（2022秋·辽宁大连·高一期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用，表示；
(2)若，，求的值．
26．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量，定义函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.
27．（2022·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为,已知,
(1)若为边上一点,,且,求;
(2)若为平面上一点,,其中,求的最小值.
28．（2022秋·浙江·高二期中）如图，在中，，M，N分别为的中点．
(1)若，求．
(2)若，求的大小．
29．（2022春·山东·高一阶段练面内向量（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．
(1)若，求的坐标．
(2)已知BC中点为D，当取最小值时，若AD与CP相交于点M，求与的夹角的余弦值．
30．（2023·高一单元测试）在平面直角坐标系中，令，，动点P从出发，沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度大小为；另一动点Q从出发，沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度大小为．设P、Q在时刻时分别在、处．
(1)动点P和Q的运动速度大小分别是多少？
(2)当t的值为多少时，？专题6.13 平面向量的综合运用大题专项训练（30道）
【人教A版2019必修第二册】
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2022秋·广东江门·高二期中）已知点，向量．
(1)若，求实数k的值；
(2)求向量与向量所成角的余弦值．
【解题思路】（1）根据题意得到的坐标，结合两向量垂直坐标满足的公式，代入计算，即可得到结果.
（2）根据题意，结合向量坐标公式，代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）因为，则，且，
由，可得，解得；
（2）因为，则，，
则，
所以.
2．（2023·高一单元测试）已知向量，，．
(1)当k为何值时，与平行；
(2)若向量满足，且，求．
【解题思路】（1）直接利用向量平行的坐标公式求解；
（2）直接利用向量垂直的坐标公式和求模公式求解.
【解答过程】（1）由题中的条件可得
，
，
若与平行，则有，
解得；
（2）设，所以，
又，
由，可得，
由，可得.
解得或，
所以或.
3．（2022春·广西贺州·高一阶段练习）（1）若向量，求与的夹角；
（2）已知，求与夹角的余弦值.
【解题思路】(1)根据平面向量的数量积的坐标表示和几何意义求出和、，结合数量积的定义计算即可求解；
(2)由求出，结合数量积的定义计算即可求解.
【解答过程】（1），，
，
，，
设与的夹角为θ(0≤θ≤π)，则，
.
（2）由题意知，
，
所以，设的夹角为，
则.
4．（2022春·黑龙江哈尔滨·高一期末）已知，，，，且.
(1)求的值；
(2)求向量与向量夹角的余弦.
【解题思路】（1）根据题意求出的坐标，由向量平行的判断方法可得关于的方程，即可得到结果；
（2）设与的夹角为，由向量夹角公式计算即可得到结果.
【解答过程】（1）根据题意，，，，，
则，
因为，则有，解得
（2）由（1）可知，
设与的夹角为，
则.
5．（2023·高一课时练习）已知，，，．求：
(1)；
(2)；
(3)的单位向量的坐标．
【解题思路】（1）由平面向量的坐标运算即可求解.
（2）由平面向量的模长的坐标运算即可求解
（3）由单位向量的定义和坐标运算即可求解.
【解答过程】（1）因为，，，
所以.
（2）由（1）知，，所以.
（3）.
6．（2022秋·内蒙古·高二阶段练习）已知向量若
(1)求的夹角；
(2)求.
【解题思路】（1）由可计算得答案；
（2）首先计算出，然后可得答案.
【解答过程】（1）因为，
所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以.
7．（2023·高一课时练习）四边形ABCD中，，，，试判断四边形ABCD的形状（其中，为不平行的非零向量）．
【解题思路】求出与，根据两向量的关系确定四边形ABCD的形状.
【解答过程】，，
∴，
，
所以四边形ABCD为梯形．
8．（2023·高一课时练习）已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且．
(1)求角C的大小；
(2)若，且，求边c的长．
【解题思路】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；
（2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长.
【解答过程】（1）由已知得．
因为，所以，
所以．
又，所以，
，则
所以．又，
所以；
（2）由已知及正弦定理得．
因为，所以，所以．
由余弦定理得，
所以，所以，
所以．
9．（2022春·山东聊城·高一期中）已知平面向量．
(1)若，求满足的和的值；
(2)若，求m的值．
【解题思路】（1）利用向量相等列出关于和的方程组，解之即可求得和的值；
（2）利用向量垂直充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值．
【解答过程】（1）当时，，
∴，
∴，解之得；
（2）由，可得，
又，则，
解得：或.
10．（2023·高一课时练习）已知，，．
(1)若点A、B、C不能构成三角形，求m的值；
(2)若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，求m的值．
【解题思路】（1）点A、B、C不能构成三角形说明三点共线，
利用共线性质列出方程解出参数即可；
（2）分类讨论直角的情况，转化为向量数量积为0，
列出方程解出即可.
【解答过程】（1）因为点A、B、C不能构成三角形，
所以点A、B、C三点共线，
所以 ，
因为，
，
所以，
即，
所以若点A、B、C不能构成三角形，则.
（2）若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，
则：
①若为直角，此时，
即，
所以，
②若为直角，此时，
即，由
所以
所以，
③若为直角，此时，
即，
解得，
所以若点A、B、C构成的三角形为直角三角形，
则或或.
11．（2023秋·北京昌平·高一期末）如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
【解题思路】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果；
（2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论.
【解答过程】（1）由题图，，
.
（2）由，
又，所以，故三点共线.
12．（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）如图，若，，，点分别在线段上，且满足.
(1)求；
(2)求.
【解题思路】（1）根据定比分点坐标可求得的坐标，根据向量模长的坐标表示即可求得结果；（2）同理可求得点的坐标，利用向量夹角的坐标公式即可求得余弦值.
【解答过程】（1）设的坐标为；
由可得分点可得
即，得
所以，
则
（2）设点的坐标为，
由得
所以，即
，
.
13．（2022春·广西柳州·高一阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求与的夹角；
【解题思路】（1）利用向量数量积的运算律可求得，根据可求得结果；
（2）利用向量夹角公式可求得，进而确定夹角.
【解答过程】（1），，
.
（2）由（1）知：，，
，.
14．（2023·高一课时练习）已知，．
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)若与垂直，求当k为何值时，？
【解题思路】（1）由平行向量的定义可知，若，则它们的夹角为或，即可计算；（2）根据平面向量的应用可知将平方即可求得结果；（3）根据与垂直可得，再由可计算出.
【解答过程】（1）由可知，两向量的夹角为或，
当夹角为时，；
当夹角为时，；
所以，.
（2）由题意可知，
若，则
，
所以.
（3）由与垂直可得，即；
若，则，
即，得，
所以.
当时，.
15．（2022春·广西柳州·高一阶段练习）在中，，，，为边中点．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值；
【解题思路】（1）以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；
（2）根据点在上，设，求出、的坐标，则，利用二次函数配方求最值可得答案.
【解答过程】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，，，
为边中点，所以，，，
则；
（2）若点满足，则点在上，
由（1），设，则，，
则，
所以当时的最小值为.
16．（2023秋·北京丰台·高一期末）如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．
【解题思路】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得，由结合已知可得；
（2）根据可推出，即.再根据有公共点，可证得三点共线.
【解答过程】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得.
.
（2）证明：由（1）知，，所以，
所以 ，
所以，，共线.
又直线，直线有公共点，
所以，，，三点共线.
17．（2023·高一单元测试）已知，，与的夹角为．求：
(1)；
(2)；
(3)．
【解题思路】（1）根据平面向量数量积的定义即可得到答案；
（2）将式子展开化简，结合向量的模和数量积即可得到答案；
（3）先将化为，进而展开化简可得答案.
【解答过程】（1）因为，，与的夹角为，
所以；
（2）由（1），
所以；
（3）由（1），
所以.
18．（2022春·天津宁河·高一阶段练习）已知，，且与夹角为120°，求：
(1)；
(2)与的夹角；
(3)若向量与平行，求实数的值．
【解题思路】（1）利用平面向量的模的运算求解；
（2）利用平面向量的夹角公式求解；
（3）根据向量与平行，利用共线向量定理求解.
【解答过程】（1）解：因为，
所以；
（2）因为，
所以，又，
所以，
所以与的夹角为．
（3）因为向量与平行，
所以，
因为向量与不共线，
所以，解得．
19．（2023秋·北京房山·高一期末）已知向量，不共线，且，，．
(1)将用，表示；
(2)若，求的值；
(3)若，求证：A，B，C三点共线．
【解题思路】（1）根据向量的减法运算即得；
（2）根据向量共线定理可得，进而可得，即得；
（3）由题可得，然后根据向量共线定理结合条件即得.
【解答过程】（1）因为，，
所以 ；
（2）因为，，，
所以，即，又向量，不共线，
所以，解得，
即的值为；
（3）当时， ，， ，
所以，
所以，又有公共点，
所以A，B，C三点共线．
20．（2023·高一课时练习）已知，，与的夹角为．满足下列条件时，分别求与的数量积．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为30°时.
【解题思路】（1）分两种情况分析讨论得解；
（2）（3）直接利用数量积公式计算得解；直接利用数量积公式计算得解.
【解答过程】（1）解：当 时，若与同向，则，．
若与反向，则，．
（2）解：时，，．
（3）解：当与的夹角为30°时，．
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，且△ABC的面积为9．
(1)求；
(2)若，求b．
【解题思路】（1）已知，正弦定理角化边求得求，得到 ，再由的面积求得，可计算；
（2）由（1）中和，可解出，再由余弦定理求b．
【解答过程】（1）因为，由正弦定理角化边得 ，解得，由，∴ .
因为的面积为9.所以 ,即，
所以.
（2）由(1)知，又 ，所以 解得， ，
由余弦定理，解得.
22．（2022秋·广东深圳·高三阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，，记，求向量在方向上的投影向量.（用表示）
【解题思路】（1）由题设条件进行三角恒等变换即可得出的值；
（2）先由正弦定理求出，再由余弦定理建立关于的方程，求出，然后由投影向量的概念即可求得结果．
【解答过程】（1）由
得
即
则
即.
（2）由，得，
由正弦定理，有，所以
由题知，则，故.
根据余弦定理，有，即，
整理得，解得或（舍去）.
故向量在方向上的投影向量为.
23．（2023·北京·高三阶段练习）已知非零平面向量，的夹角为，.
(1)证明：；
(2)设，求的最小值.
【解题思路】（1）首先将条件等式两边同时平方，根据向量的数量积运算求得.再将平方即可证明结论成立；
（2）将平方可得，然后根据二次函数的性质求解最值即可.
【解答过程】（1）由可得，所以.
又因为，的夹角为，故.
联立两式可得，结合是非零向量可得.
所以，则.
（2），
所以当时，取最小值，即取最小值.
24．（2022秋·内蒙古兴安盟·高二阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点.
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数满足，求的值.
【解题思路】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模；
（2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可.
【解答过程】（1）由已知，设以线段AB、AC为邻边的平行四边形为，
所以，，
对角线，因此；
另一条对角线，
因此；
（2）因为，所以，，
由，即，
解得．
25．（2022秋·辽宁大连·高一期末）如图所示，在中，D为BC边上一点，且．过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）．
(1)用，表示；
(2)若，，求的值．
【解题思路】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可；
（2）根据（1）的结论，转化用，表示，
根据三点共线找出等量关系；
【解答过程】（1）在中，由,
又，
所以，
所以
.
（2）因为，
又，
所以，，
所以，
又三点共线，且在线外，
所以有：，
即.
26．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量，定义函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.
【解题思路】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换将函数化为正弦型函数，即可求函数的最小正周期；
（2）根据函数，结合三角形解方程得角的大小，根据的面积公式结合余弦定理与基本不等式即可求长度的最大值.
【解答过程】（1）解：=
；
的最小正周期为
（2）解：
，，.
又AB，
.
由余弦定理得，当且仅当时，“=”成立，
=.
27．（2022·浙江杭州·模拟预测）的内角的对边分别为,已知,
(1)若为边上一点,,且,求;
(2)若为平面上一点,,其中,求的最小值.
【解题思路】(1)先根据正弦定理求出角的值,再利用求出的值,由正弦定理可得即可求解;
(2)根据已知条件可以求出的值,,再把用表示,从而表示为关于的二次函数求解最小值即可.
【解答过程】（1）由可得,
即,
, ,
, .
,
即,
则,
, ,
在中,由正弦定理可得,
即,
解得.
（2） ,
即,
则,
,
(*),
根据已知条件,
,
代入(*)式得:,
当时,取得最小值为.
28．（2022秋·浙江·高二期中）如图，在中，，M，N分别为的中点．
(1)若，求．
(2)若，求的大小．
【解题思路】(1)通过几何分析得到 再根据数量积公式求得再用余弦定理即可求解； (2)根据向量的数量积公式求出即可求解.
【解答过程】（1）由得，为直角三角形，
又因为M，N分别为的中点，
所以
所以
所以
因为，
所以
所以，
所以.
（2）由(1)知，,所以,
同理, ,
所以,
所以,所以,
所以.
29．（2022春·山东·高一阶段练面内向量（其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．
(1)若，求的坐标．
(2)已知BC中点为D，当取最小值时，若AD与CP相交于点M，求与的夹角的余弦值．
【解题思路】（1）根据向量共线，设出坐标以及建立方程，可得答案；
（2）根据中点坐标公式，利用向量数量积坐标公式，求得点的坐标，利用夹角的向量公式，可得答案.
【解答过程】（1）由题意，可设，其中，从而
因为，所以，
解得．所以.
（2）由题意，
因为，
所以当时，有最小值，此时，从而．
因为与的夹角就是与的夹角，而
，
所以，
所以与的夹角的余弦值为.
30．（2023·高一单元测试）在平面直角坐标系中，令，，动点P从出发，沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度大小为；另一动点Q从出发，沿着与向量相同的方向作匀速直线运动，速度大小为．设P、Q在时刻时分别在、处．
(1)动点P和Q的运动速度大小分别是多少？
(2)当t的值为多少时，？
【解题思路】（1）分别求出、可得答案；
（2）求出、的坐标，由可得答案．
【解答过程】（1）由题意，，，则，，
∴P、Q的速度大小分别为和；
（2）在t时刻P、Q的坐标为：，，
∴，
∵，∴，，
解得，
即当时，.
