专题6.12 解三角形（重难点题型检测）
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
2．（3分）（2022秋·吉林四平·高三阶段练习）的内角的对边分别是，已知，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（3分）（2022·陕西安康·统考三模）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．1或7 D．2或14
4．（3分）（2022·云南·模拟预测）在中，角的对边分别为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）在中，若，且，则是（ ）.
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
6．（3分）（2023·全国·高三对口高考）已知在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2022春·福建莆田·高一期中）为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得塔顶处的仰角为，从A处向正东方向走140米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为( )
A．米 B．米
C．米 D．米
8．（3分）（2022秋·江西上饶·高三阶段练习）三角形的三边所对的角为，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·河北张家口·高三期中）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022秋·广东广州·高二阶段练习）的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则
C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则
11．（4分）（2022秋·福建福州·高二期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
12．（4分）（2022·全国·高一专题练习）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于毫州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB的高度，选取与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB的高度的是（ ）
A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD
C．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·高一课时练习）在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是 ．
14．（4分）（2021秋·陕西咸阳·高二期中）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔 的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这只船的航行速度为 .（结果精确到整数，参考数据：）
15．（4分）（2022秋·甘肃兰州·高三阶段练习）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，，点D在线段BC上，，过点D作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是 .
16．（4分）（2022秋·山东青岛·高三阶段练习）已知在锐角中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·高一课时练习）在中， ，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围．
(1)有一解；
(2)有两解；
(3)无解．
18．（6分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，点在边上，且，.
(1)若，求；
(2)若，求.
19．（8分）（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝l，求的取值范围．
20．（8分）（2022春·河北唐山·高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足，．
(1)求cosC的值；
(2)若，D是AB的中点，求CD的长．
21．（8分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积.
22．（8分）（2022春·福建三明·高一阶段练习）三明如意湖湿地公园是以水为主题的公园，分生态净化区、生态保育区、生态科普区三个区域，具有生态观光、休闲娱乐多种功能．欲在该公园内搭建一个平面凸四边形ABCD的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中百米，百米，△ABC为正三角形，建成后△BCD将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，△ABD将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域．
(1)当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积；
(2)求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积的最大值．专题6.12 解三角形（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
【解题思路】根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答.
【解答过程】在中，，由正弦定理得，
而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．
故选：A.
2．（3分）（2022秋·吉林四平·高三阶段练习）的内角的对边分别是，已知，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】直接由余弦定理求边长即可.
【解答过程】解：因为
又余弦定理得：，所以.
故选：B.
3．（3分）（2022·陕西安康·统考三模）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．1或7 D．2或14
【解题思路】利用正弦定理求出，两角和的正弦展开式求出，再利用面积公式计算可得答案.
【解答过程】由可得，
因为，所以或，
∴或，
∴,
或．
故选：C.
4．（3分）（2022·云南·模拟预测）在中，角的对边分别为，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决.
【解答过程】由题知，的面积为，
所以，即
所以由正弦定理得，即，
所以，
因为，
所以．
故选：D.
5．（3分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）在中，若，且，则是（ ）.
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【解题思路】将化简并结合余弦定理可得的值，再对
结合正余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【解答过程】由，得，
整理得，则，
因为，所以，
又由，得
化简得，所以为等边三角形，
故选：B.
6．（3分）（2023·全国·高三对口高考）已知在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用余弦定理、正弦定理求解即可.
【解答过程】由正弦定理及，得，
根据余弦定理，
得，
令，所以，
因此，即，
由题意可知A是锐角，所以，
因此，所以．
故选:A.
7．（3分）（2022春·福建莆田·高一期中）为了测量铁塔的高度，小刘同学在地面A处测得塔顶处的仰角为，从A处向正东方向走140米到地面处，测得塔顶处的仰角为，若，则铁塔的高度为( )
A．米 B．米
C．米 D．米
【解题思路】设TO=h，用h表示出AO和BO，在△AOB中利用余弦定理即可求出h．
【解答过程】设铁塔的高度为，在中，，，
在中，，，
在中，，
由余弦定理得，；
即，
化简得，解得．
故选：A．
8．（3分）（2022秋·江西上饶·高三阶段练习）三角形的三边所对的角为，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
【解题思路】对于A，根据正弦定理和余弦定理可求出；对于B，由面积为，求出，由余弦定理得到 ，再根据基本不等式可求出周长的最小值；对于C，由余弦定理可求出结果；对于D，由正弦定理求出，再根据三角形的面积公式可求出结果.
【解答过程】对于A，由，得，
得，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，故A说法正确；
对于B，因为面积为，所以，所以，
所以，
由余弦定理得 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当时，等号成立，
故的周长的最小值为.故B说法正确；
对于C，当，时，由余弦定理得，
所以，得，
解得或（舍），故C说法不正确；
对于D，若，，由正弦定理得，
得 ，
所以面积为 ，
因为 ，
所以面积为 .故D说法正确.
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022秋·河北张家口·高三期中）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】对于A，直接判断即可；对于B，，结合即可判断；对于C，，结合即可判断；对于D，，结合即可判断.
【解答过程】对于A，因为，所以，所以只有一解；故A错误；
对于B，因为，
所以由正弦定理得，
因为，即，所以，所以有两解（，或），故B正确；
对于C，因为，
所以由正弦定理得，即，
因为，所以有两解（，或，），故C正确；
对于D，因为，
所以由正弦定理得，
由于，故，所以只有一解，故D错误；
故选：BC.
10．（4分）（2022秋·广东广州·高二阶段练习）的内角，，的对边分别为，，.下面四个结论正确的是（ ）
A．，，则的外接圆半径是2 B．若，则
C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则
【解题思路】根据正余弦定理及其应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解答过程】对：由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故正确；
对：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；
对：因为，所以为锐角，但不确定，故C错误；
对：若，，所以由正弦定理得，故D正确.、
故选：ABD.
11．（4分）（2022秋·福建福州·高二期中）三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时， D．若，，则面积为
【解题思路】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.
【解答过程】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选：ABD.
12．（4分）（2022·全国·高一专题练习）花戏楼是我市著名的旅游景点，位于毫州城北关，涡水南岸，是国家级点文物保护单位.花戏楼始于清顺治十三年(公元1656年)，是一座演戏的舞台，因戏楼遍布戏文，彩绘鲜丽，俗称花戏楼.它的正门前有两根铁旗杆，每根重12000斤，旗杆高16米多，直插碧空白云间，是花戏楼景点的一绝.我校数学兴趣小组为了测量旗杆AB的高度，选取与旗杆底部(点B)在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，如图，兴趣小组可以测量的数据有：CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出旗杆AB的高度的是（ ）
A．CD，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．CD，∠ACB，∠ACD，∠BCD
C．CD，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．CD，∠ACB，∠BCD，∠ADC
【解题思路】根据正弦定理和余弦定理分析与相关的三角形是否可解，从而可得正确的选项．
【解答过程】对于A，在，因为已知，故由正弦定理可解三角形，
从而求出，而在中，因为已知，故可求的高度，故A正确．
对于B，知道，则可沿变化，故不可求的高度，
故B错误．
对于C，在，因为已知，故由正弦定理可解三角形，
从而求出，而在中，因为已知，故可求的高度，故C正确．
对于D，如图所示，设，，，，
在中，，
在中，，
在中，①，
在中，，
即②，由①②可构建关于的方程，
故可求的高度，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·高一课时练习）在中，，若该三角形有两解，则x的取值范围是 ．
【解题思路】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，根据的度数确定出的范围，要使三角形有两解确定出的具体范围，利用正弦函数的值域求出的范围即可
【解答过程】解：由可得
因为，所以
要使三角形有两解，所以且
所以，即，解得，
故答案为：.
14．（4分）（2021秋·陕西咸阳·高二期中）如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔 的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这只船的航行速度为 21 .（结果精确到整数，参考数据：）
【解题思路】由图可知，利用正弦定理可求出的长，根据航行时长为4小时，即可求得这只船的航行速度.
【解答过程】如下图所示：
根据题意可知，，且，；
则在中，有正弦定理可知.
所以，即上午10时到下午2时这只船在4小时内航行了；
所以，航行速度为；
又结果精确到整数，即航行速度为.
故答案为：21.
15．（4分）（2022秋·甘肃兰州·高三阶段练习）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，，点D在线段BC上，，过点D作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是 .
【解题思路】先由结合正弦定理求得，，再由余弦定理可得，结合不等式证得，又由得，从而求得，，由此得面积的关于的表达式，进而求得其最大值．
【解答过程】因为，所以由正弦定理得，
则，
因为，所以，
所以，则，
由余弦定理可得，即，
因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，
连结，因为，所以，
所以，则，，
则．
故答案为：.
.
16．（4分）（2022秋·山东青岛·高三阶段练习）已知在锐角中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ．
【解题思路】根据余弦定理及正弦定理的边换角得到，再将问题的分式利用正弦定理进行边换角，转化求的范围，再求出的范围，则得到的范围.
【解答过程】因为,
则,
即,
则,
即
即,
即,
又为锐角三角形,
则,即,即,
，
又，即，
即,
即的取值范围是,
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·高一课时练习）在中， ，．分别根据下列条件，求边长a的取值范围．
(1)有一解；
(2)有两解；
(3)无解．
【解题思路】（1）根据正弦定理，得到.分、、讨论，即可得出；
（2）由已知可得，求解不等式即可得出结果；
（3）由已知可得，求解不等式即可得出结果.
【解答过程】（1）由正弦定理可得，.
（ⅰ）当，即时，.
①若，即，则不存在，无解，此时；
②若，即， ，有一解，此时；
③若，即，因为，此时可能是锐角或钝角，即此时有两解，此时，即.
综上所述，当时，有一解；
（ⅱ）当，即时，，有一解；
（ⅲ）当，即时，，此时只能是锐角，有一解.
综上所述，有一解时，边长a的取值范围是或.
（2）由（1）知，有两解，应满足，由，即，解得.
（3）由（1）知，无解，应满足，即，解得.
18．（6分）（2022秋·江苏南通·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，点在边上，且，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【解题思路】（1）在中，由余弦定理可求出结果；
（2）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求出即可得解.
【解答过程】（1）在中，由余弦定理得，
所以，即，
解得或（舍）.
（2）在中，由余弦定理得，
所以，所以.
在中， .
所以.
19．（8分）（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若点D在CB的延长线上，CB＝BD，AD＝l，求的取值范围．
【解题思路】（1）由正弦定理得到，结合，求出；
（2）设，则，由正弦定理得到，从而表达出.
【解答过程】（1），由正弦定理得：，
因为，所以，
故，即，
因为，所以，
故，
因为，所以，故
（2）在中，，设，则，
由正弦定理得：，
即，
解得：，
故，
因为，所以，
的取值范围是.
20．（8分）（2022春·河北唐山·高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且满足，．
(1)求cosC的值；
(2)若，D是AB的中点，求CD的长．
【解题思路】(1)讨论，结合同角三角函数基本关系求，再由两角和差余弦公式求的值；
(2)讨论，利用正弦定理解可求，再由余弦定理解即可求得CD的长.
【解答过程】（1）在中，，，
当时，，；
当时，，
；
（2）由(1) 当时，，因为，所以，
在中，由正弦定理可得，
又，，，所以，
在中，由余弦定理可得，
又，，，
所以，所以，
由(1) 当时，，因为，所以，
在中，由正弦定理可得，
又，，，所以，
在中，由余弦定理可得，
又，，，所以.
21．（8分）（2022秋·陕西渭南·高二期末）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积.
【解题思路】（1）由正弦定理化弦为边，再由余弦定理即可得解；
（2）根据正弦定理统一为边，再由余弦定理求出，再由面积公式求解即可.
【解答过程】（1）由正弦定理得，，
整理得，
由余弦定理得，
则，
又，
∴.
（2）由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
则，
解得.
∴.
22．（8分）（2022春·福建三明·高一阶段练习）三明如意湖湿地公园是以水为主题的公园，分生态净化区、生态保育区、生态科普区三个区域，具有生态观光、休闲娱乐多种功能．欲在该公园内搭建一个平面凸四边形ABCD的休闲、观光及科普宣教的平台，如图所示，其中百米，百米，△ABC为正三角形，建成后△BCD将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，△ABD将作为科普宣教湿地功能利用、弘扬湿地文化的区域．
(1)当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积；
(2)求旅游观光、休闲娱乐的区域△BCD的面积的最大值．
【解题思路】（1）由余弦定理求得，由正弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案；
（2）设，，由余弦定理表示出，再由正弦定理表示出，从而表示出三角形面积公式，结合三角恒等变换和三角函数性质，求得答案.
【解答过程】（1）
在△ACD中，由余弦定理知，
，
∴，
由正弦定理知，，
即，∴，
∵，
∴，∴，
而 ,∴，
∴，
∴△BCD的面积为（百米） ;
（2）
不妨设，，
在△ADC中，由余弦定理知，，
，
∴，
由正弦定理知，，即，
∴，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立，
故△BCD的面积的是大值为(百米) ．
