广东省深圳市两校2023-2024学年高三上学期期末校际联考数学试卷（含解析）

深圳市两校2023-2024学年高三上学期期末校际联考数学试题
注意事项：
1.答卷前 考生务必将自己的姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5.数列是公差不为零的正项等差数列，为等比数列，若.则数列的公比为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.11
6.记抛物线的焦点为为抛物线上一点，，直线与抛物线另一交点为，则（ ）
A. B. C.2 D.3
7.是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形而积的报小值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2023年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，利用数据统计图估计，得到的结论正确的是（ ）
A.游客中，青年人是老年人的2倍多
B.老年人的满意人数是青年人的2倍
C.到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D.到该地旅游的游客满意人数超过一半
10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.的单调递增区间是
B.的单调递增区间是
C.在上有3个零点
D.将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数
11.正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（ ）
A.当在线段上运动时，与所成角的最大值是
B.当在棱上运动时，存在点使
C.当在面上运动时，四面体的体积为定值
D.若在上底面上运动，且正方体棱长为与所成角为，则点的轨迹长度是
12.已知函数和是定义域为的函数.若，，且.则下列结论正确的是（ ）
A.函数的图象关于直线对称
B.
C.函数的图像关于直线对称
D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴非负半轴，终边与单位圆交于点，若点沿着单位圆顺时针旋转到点，且.则__________.
14.等边三角形的边长是 分别是与的中点，则__________.
15.已知，则__________.（用数字作答）
16.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）杭州第19届亚运会，中国代表团共获得201金111银71铜，共383枚奖牌，金牌数超越2010年广州亚运会的199枚，标志着我国体育运动又有了新的突破.某大学从全校学生中随机抽取了130名学生，对其日常参加体育运动情况做了调查，其中是否经常参加体育运动的数据统计如下：
经常参加 不经常参加
男生 60 20
女生 40 10
（1）利用频率估计概率，现从全校女生中随机抽取5人，求其中恰有2人不经常参加体育运动的概率；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否经常参加体育运动与性别有关联.
参考公式：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（12分）正方体中分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
19.（12分）某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知三点在同直线上，.
（1）若，求的长度；
（2）求面积的最小值.
20.（12分）已知数列的前项和为，当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：.
21.（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：对任意的恒成立.
22.（12分）已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为的左顶点，过的直线交附圆于两点，直线分别交直线于两点，是线段的中点，在轴上求出一定点，使得.
深圳市两校2023-2024学年高三上学期期末校际联考 数学
参考答案及评分意见
1.C 【解析】易知.故选C.
2.A 【解析】.则的共轭复数为，其所对应的点在第一象限.故选A.
3.B
4.B 【解析】设，令得.所以函数在区间单调递增.因为，所以，即，不等式两边同乘2得，即.故选B.
5.A 【解析】设的公差为的公比.故选A.
6.C 【解析】，由拋物线定义可知到准线距离为-6，即，解得，不妨设，所以.与抛物线联立，消去整理得，解得，则.故选C.
7.B 【解析】由对称性可知，圆的圆心为，半径的最小值为圆心到直线的距离，即，故的最小值为，所以的最小值为，四边形面积的最小值为.故选B.
8.A 【解析】时，，当时，当时，，所以在单调递减，在单调递增.时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，.画出函数的图象，如下图所示，函数最小值为有四个不同的实数根，数形结合可知的取值范围是，故选A.
9.ACD 【解析】由扇形统计图可知青年人占比是老年人占比的2倍多.A正确.其中满意的青年人占总
人数的，满意的中年人占总人数的，满意的老年人占总人数的，故B错误C正确，总满意率为，D正确.故选.
10.AC 【解析】由图藂得，周期，得，所以.令，解得，故单调递增区间为.A正确，B错误；令，解得，令得，解得，可知C选项正确；函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故错误.故选.
11.BC 【解析】选项，与所成角等价于与所成的角，当为中点时，，此时所成角最大，为选项错误.选项，过作的垂线交于，若，则，显然存在，选项正确.选项，因为到平面的距离不变，三角形面积不变，故体积为定值.选项正确.选项，所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是选项错误.故选BC.
12.BC 【解析】由可知的图象关于直线对称，C正确，所以，则①，令为，则②.的图象关于点对称，，故B正挽；由①②可知，所以的图象关于直线对称.故错误.所以4是的周期.由，得，令，由①得是的周期.有2024项，故，故D错误.故选BC.
13. 【解析】由三角函数定义可知.
14. 【解析】.
15.405 【解析】两边求导得：，令，可得.
16. 【解析】令，可知单调递增，恒成立，则，即恒成立，令，当时，，单调递增，当时，单调递琙，所以的最大值为，则，故的取值范围是.
18.（1）证明：因为.
所以平面与平面是同一平面.
因为且，
所以是平行四边形，则.
又平面平面.
所以平而.
（2）解：设正方体的棱长是2，以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，
为.正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向是.则
令，则，
设与平面所成角为，则
，
所以与平面所成角的正弦值为.
19.解：（1）因为，
所以在中，由余弦定理可得，
所以，解得.
由正弦定理得，即，解得，
所以.
可得.
在中，由正弦定理得，则，
解得，所以.
（2）设，则.
由于，则.
在中.由正弦定理得，解得.
过点作的垂线，交于点，设的面积为.
则.
所以，
所以.
所以
，
即面积的最小值为
20.解：（1）当时，，
当时，，
是以2为首项，为公差的等差数列，，
，当时，.
当时，，符合数列的通项公式，
.
（2），
当时，.
当时，
.
21.（1）解：因为函数的定义域为，
所以.
①当时，因为，
所以.
函数在上单调递增.
②当时，令，得，
时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增
综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：要证明，只需证明，
只雾证明，
只需证明
令，
又，
则时，，函数在上单调递增；
时，，函数在上单调递煘.
所以时，取得极大值，同时也是最大值，最大值为.
由可得.
则时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增，
则时，取得极小值，同时也是最小值，且最小值为.
又，
所以，
即.
所以时，
22.解：（1）由椭圆过可知，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题知在以为直径的圆上.
设，直线，代入，船现得.
.
因为，
易知，令，得，同理，
则中点.
以为直径的園的方程为，
令得，
.
所以，即，又因为，
所以，即，解得，
所以点坐标为.