《一元一次不等式和一元一次不等式组》复习(重庆市渝北区)

《一元一次不等式和一元一次不等式组》复习
一、知识梳理：
1．概念：不等式：用不等号连接起来的式子，叫做不等式。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集。
解不等式：求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式。
解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式.
一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式.
一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集.
2．不等式基本性质：
（1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（用字母表示：若，则；若，则）
（2）基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（用字母表示：若，则，或；若，则，或）
（3）基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（用字母表示：若，则，或；若，则，或）
3．一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似。一般步骤如下：
（1）去分母（注意每一项都要乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘;如分子是多项式的，去掉分母要加括号）
（2）去括号（括号前是负号，去掉括号时里面的每一项都要变号）
（3）移项（移项要变号）
（4）合并同类项
（5）未知数的系数化为1（当两边同时乘以（或除以）一个负数时，要改变不等号的方向）
4．一元一次不等式组的解法：
（1）分别求出每个不等式的解集。
（2）确定各个解集的公共部分。（在同一条数轴上表示出各个解集，再由图形直观得出不等式组的解集）
5．如果，则的解集为；的解集为 无解（或空集）；的解集为； 的解集为。
（同大取大；同小取小；
大小，小大中间找；
大大，小小为空集）
二、基本应用：
1．不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个 ，不等号的方向 。
2．不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向 ；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 。
3．用不等式表示：（1）a的绝对值是非负数： ；（2）x的5倍与2的差不大于1： ；（3）x与13的差比它的8倍小： 。
4．用不等号连接：（1），则x ；（2）若则 ；（3）若>则 。
5．满足不等式的负整数解是 。
6． 用不等式表示：x的一半比－5大，且比3小：
7．如果，则（1）的解集为 ； （2）的解集为 ； （3）的解集为 ； （4）的解集为 。
8．不等式组的解集是 ；
9． x取值为 时，一次函数的值大于的值。
10．一个两位数，十位上的数比个位上的数小2，如果这个两位数大于37且小于58，则这个两位数为 。
三、典型例题
例1.已知是有理数，且，那么下列式子一定正确的是（ A ）
A. B. C. D.
分析：可用不等式性质来一衡量判别，也可以用特殊值法求解，如取.来筛选答案.
解：题中给出的条件为有理数，满足，当为负数时，C和D是错误的，对于B， 与没有确定的大小关系，因此选择A.它符合不等式的性质：不等式两边加上同一个整式，不等号的方向不变.故选A.
例2.实数、、在数轴上对应点的位置如图3-5-1所示，下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
分析：根据不等式性质及有理数在数轴上表示的大小关系.
解：A.、异号，且||<||,利用有理数加法法则，结果应取符号，所以.
B.由图可知，两边同加后，根据性质（1），仍应.
C.由图可知，根据性质（3），应得.
D.由图可知，，根据性质（2），应得. 故应选D.
例3.解下列不等式（组）
（1）， （2）
解：（1）去分母，得
去括号，得
移项并合并同类项，得 .
化系数为1，得.
例4.已知关于的方程组的解是正值，且为负整数，求的值.
分析：根据题意可先求出方程的解，它必定与有关，再由且，转化为不等式组来解决.
解： ①+②，得，即,
②-①×2，得，即，
∵原方程组的解是正值.
∴，得.即.
∵为负整数，∴.
例5.若不等式组的正整数解只有2，求的整数值.
分析：要求的值，可先求出不等式组中的各不等式的解集，再根据不等式组的正整数解只有2，列出关于的不等式组，进而求出的值.
解：，解得.
又∵原不等式组只有正整数解2.
由图3-5-2，应有. ∴∴
点评：本题是一个内涵较深的问题，它不仅考查了学生不等式组的知识，同时要求学生有一定的洞察力和分析问题的能力，并能够灵活运用所学知识解决问题的能力.
四、同步习题
（一）基础题
1. >2的解集是. 2.当时， .
3.若不等式只有两个正整数解，则的取值范围是 .
4.若，则 0. 5.不等式组的解集是 .
6.如果不等式组有解，那么的取值范围是 .
7.不等式组的整数解的和是 .
8.用不等式表示下图中的解.
(1) ;
(2) ;
(3) .
9.若不等式组的解集为.那么的值等于 .
10.下列图形中表示不等式的解集是（ ）
11．解下列不等式（组）
（1） （2）
（3） (4)
（5） （6）
（二）综合能力题
1.如果，下列不等式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
2.若不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.满足不等组的整数的值有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.不等式组的最小整数解为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.4
5.解下列不等式（组）
（1）； （2）；
（3）. （4）
（5） （6）
6.已知关于 的方程组的解满足，求的取值范围.
7．求关于x的不等式的解集 8. 已知方程组 的解与的两倍之差为负数，求的值
9．若不等式组的解集是，求的取值。 10．若关于x的不等式组
的解集为，试求的取值范围
五、自我检测
1. 不等式的解集为，那么m
1. 如果关于x的方程的解是3，则不等式的解是
1. 方程的解有 个，不等式的解有 个，其中非负整数有 个
1. 已知，，那么、、之间的大小关系为
1. 满足不等式的整数解是
1. 直线与坐标轴的两个交点分别为A、B，则不等式的解为
1. 若不等式组无解，则的取值范围是
1. 函数中的自变量的取值范围是
1. 已知直线经过第一、二、三象限，且与x轴交于点（－4，0），则当时，的取值范围是
1. 已知⊿ABC中，三边分别为a、b、c，且a=2c，则⊿ABC中的最短边是
1. （1）求不等式的非正整数解 （2）解不等式组
1. 水果店进了某种水果2000千克，进价每千克7元，出售价格为每千克11元。销售一半后，为尽快销售完，准备打折销售。如果要使总利润不低于6900元，那么余下的水果可按原定价打几折出售？
1. 初二年级夏令营，若租用45座客车若干辆，则刚好坐满，若租用54座客车，则能少租2辆，且有一辆没有坐满，但超过三分之二，你能知道初二年级有多少学生参加夏令营吗？若租用45座客车每辆250元，租用54座客车每辆300元，你知道怎样租车比较合算吗？
（2）解不等式①得：、
解不等式②得：
所以原不等式组的解集是.