安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

固镇县毛钽厂实验中学2023~2024学年高一12月月考
数学
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第五章5.4．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若是锐角，则是（ ）
A．第一象限角 B．第三象限角 C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．利用二分法求的零点，第一次确定的区间是，第二次确定的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．下列不等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：h）的关系为（是初次污染物数量，是正常数）．若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知命题：“”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分．选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．与的终边相同
10．设正实数满足，则（ ）
A．有最小值4 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
11．已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递减
12．设常数，函数，若方程有三个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的取值范围为 D．不等式的解集为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．给出函数的两个性质：①是偶函数；②在上是减函数．写出一个同时满足性质①、性质②的函数解析式___________．
14．一个面积为1的扇形，其弧长也为1，则该扇形的圆心角是___________弧度．
15．已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为___________．
16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合，集合为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
19．（本小题满分12分）已知函数，且为奇函数．
（1）求，然后判断函数的单调性并用定义加以证明；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知函数的图象过点．
（1）求；
（2）求函数的些调增区间；
（3）总成立．求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）《中华人民共和国乡村振兴促进法》中指出：全面实施乡村振兴战略，开展促进乡村产业振兴、人才振兴、文化振兴、生态振兴、组织振兴，推进城乡融合发展．为深入践行习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的理念，围绕“产业发展生态化，生态建设产业化”思路．某乡镇为全力打造成“生态特色小镇”，调研发现：某种农作物的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：其他总成本为（单位：元），已知这种农作物的市场售价为每千克5元，且供不应求，记该单株农作物获得的利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株农作物获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．（本小题满分12分）已知函数，其反函数为．
（1）定义在的函数，求的最小值；
（2）设函数的定义域为，若有，且满足，我们称函数为“奇点函数”．已知函数为其定义域上的“奇点函数”，求实数的取值范围．
固镇县毛钽厂实验中学2023~2024学年高一12月月考·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C A B D D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 ABD AC BC ABD
1．B 因为，所以，且，所以．
2．C 当为奇数时，为第三象限角；当为偶数时，为第一象限角．故选C．
3．A 由得，此不等式与不等式同解，解得或．所以当时，一定成立，故充分性成立；当即或时，不一定成立，故必要性不成立．综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
4．C 令，所以，所以第二次求得的近似解所在的区间应该是．故选C．
5．A
6．B 依题意，经过过滤后还剩余的污染物，则，解得，设污染物减少用时小时，于是，即，则，即，两边取对数得，因此，所以污染物减少大约需要．
7．D ．
8．D 根据题意，若命题“”为假命题，则恒成立．当时，，符合题意；当时，，解得．综上，的取值范围为．故选D．
9．ABD
10．AC 因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值为，A正确；，B错误；，C正确；，D错误．故选AC．
11．BC 因为，所以函数的最小正周期，故A正确；
，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；
，所以的图象关于点对称，故C错误；
若，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确．故选BC．
12．ABD 由解析式可得的图象如图所示，
有三个不等实根等价于与有三个不同交点，
由图象可知，A正确；
由，得，即，B正确；
，则，C错误；
令，可得或3或18，由图知不等式的解集为，D正确．故选ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（答案不唯一）
14． 设扇形所在圆的半径为，圆心角为，因为扇形的面积为1，弧长也为1，
可得，即，解得．
15． 因为函数是幂函数，则，解得或．当时，是偶函数，其图象关于轴对称，与已知矛盾；当时，是奇函数，其图象关于原点对称，于是得，不等式化为，即，解得，所以实数的取值范围为．
16． 因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数，
所以，则，即，
所以方程有两个不等的实根，
令，则，所以方程变为：．则，解得，
所以实数的取值范围是．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．解：因为为非空集合，所以，解得．
若是的充分不必要条件，则，故，得．
故的取值范围为．
18．解：（1）因为，则．
又，
所以，则．
所以．
（2）原式．
19．解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即；经检验时，是定义在上的奇函数．
设，且，则．
因为，所以，
所以，所以，所以在上是增函数；
（2）依题意为奇函数，又由（1）知在上是增函数，由，得，所以，即，解得．所以实数的取值范围是．
20．解：（1）因为，
得，而，故．
（2）由（1）得，
由，得，
所以函数的单调增区间为．
（3）由恒成立，得，
因为，所以．
所以当时，取得最小值．
所以的取值范围是．
21．解：（1）由题意可得，
所以函数的函数关系式为
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
当时，，
当且仅当即时等号成立，此时，
综上，当投入的肥料费用为6元时，单株农作物获得的利润最大，为52元．
22．解：（1）由题意得，所以．
令，设，则为开口向上，对称轴为的抛物线，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，即的最小值为．
（2）①设在上存在满足“奇点函数”性质，则．
令，则，当且仅当时取等号，又，所以，即，所以，所以，所以；
②设在存在满足“奇点函数”性质，则，即
有解，因为在上单调递减，所以；
同理当在存在满足“奇点函数”性质时，解得；
所以实数的取值范围．