冀教版八年级数学上册第十七章特殊三角形单元复习题（含解析）

冀教版八年级数学上册第十七章特殊三角形单元复习题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（　　）
A．60° B．70° C．75° D．80°
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（　　）
A．D是BC中点 B．AD平分∠BAC C．AB＝2BD D．∠B＝∠C
3．下列四组线段中，可以组成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．3，4，5 C．5，6，7 D．1， ，3
4．直角三角形的两条直角边长分别为3，4，则斜边长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．下列各组数是勾股数的是（　　）
A．8，15，17 B．1.5，2，2.5 C．5，8，10 D．3，4，6
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝9，则CE的长为（　　）
A．3 B．35 C．4 D．4.5
7．如图是一副直角三角板放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，AC＝1，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB=5，BC=12，若点A在数轴上表示的数是-1，则对角线AC、BD的交点在数轴上表示的数为（　　）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
9．已知等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长为（　　）
A．11 B．7 C．15 D．15或7
10．有下列四种说法：①两个三角形全等，则它们成轴对称；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③若点A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN；④到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，3）到原点的距离是　 　
12．如图，在四边形 中， .设 ，则 　 　（用含 的代数式表示）.
13．△ABC中，AB=AC=17，BC=16，则△ABC的面积　 　．
14．如图 中，点D为 的中点， ， ， ，则 的面积是　 　.
三、解答题
15．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝13cm，BC＝12cm，求四边形ABCD的面积.
16．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
17．如图，在 中， ，垂足为D，E为 上一点， 交 于点F，且 ， ， ，求 的长．
18．如图，线段、相交于点，连接、，已知，求证：．
四、综合题
19．如图，小明的家D距离大树底部A是9米，一次台风过后，大树在离地面3米的点B处折断，顶端着地处点C在AD上，又知BC恰好等于CD．
（1）请用直尺和圆规作出点C的位置（保留作图痕迹，不必写作法）；
（2）求大树折断前高度．
20．如图，△ABC中， ，点P在边 上，且满足 .
（1）画出点P的位置（尺规作图，保留痕迹）；
（2）①若 ， ，则 的周长为　 　；
②若 ，则 　 　°.
21．在 中， ， ， 为 延长线上的一点，点 在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）猜想 的位置关系，说明理由．
22．如图，点 是 的边 上的动点， ，连接 ，并将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 .
（1）如图1，作 ，垂足 在线段 上，当 时，判断点 是否在直线 上，并说明理由；
（2）如图2，若 ， ，求以 、 为邻边的正方形的面积 .
23．如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．
（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；
（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．
（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，
而BD为∠ABC的平分线，
∴∠DBC= ×70°=35°，
∴∠BDC=180°﹣70°﹣35°=75°．
故选C．
【分析】由AB=AC，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，再根据三角形内角和定理得到∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°，然后利用角平分线的定义求出∠DBC，最后根据三角形内角和定理可求出∠BDC．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：AD、∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC ，
∴D是BC中点，∠B=∠C，故A、D不符合题意；
B、∠BAD=∠CAD；故B不符合题意；
C、无法得到AB=2BD，故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质两底角相等，三线合一进行判断
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；
C、52+62≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+（ ）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选B．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形的两条直角边长分别为3，4，
∴斜边长为：.
故答案为：D.
【分析】直接利用勾股定理计算可得答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】A、因为82+152=172，故是勾股数；故此选项符合题意；
B、因为勾股数必须是正整数，故不是勾股数．故此选项不符合题意；
C、因为52+82≠102，故不是勾股数．故此选项不符合题意；
D、因为32+42≠62，故不是勾股数．故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用勾股数定义进行分析即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC =30°，
∴∠B=∠BAD=30°，
∴AD=BD，
∵BD=9，
∴AD=BD=9，
∵E是AD中点，且∠ACB=90°，
∴CE= AD=4.5.
故答案为：D.
【分析】利用三角形内角和求出∠BAC=60°，利用角平分线的定义可得∠BAD=∠BAC =30°，即得∠B=∠BAD=30°，利用等角对等边可得AD=BD=9，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即得CE= AD=4.5.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥CF，则△BDH是等腰直角三角形，
∵∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，BC=AC=，
∵AB∥CF，
∴∠BCH=∠ABC=30°，
∴BH=BC=，
CH=BH=，
∴DH=BH=，
∴CD=CH-DH=-=.
故答案为：B.
【分析】过点B作BH⊥CF，则△BDH是等腰直角三角形，可得BD=DH，利用直角三角形的性质及勾股定理求出BC=AC=，继而求出BH、CH、DH的长，利用CD=CH-DH即可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】做出辅助线，连接BD交AC于E点
∵四边形ABCD为矩形
∴可根据勾股定理得出AC==13，
∴AE=6.5.
又∵A点为-1，
∴E点为5.5.
故答案为：A.
【分析】根据题意，利用勾股定理求出AC，再根据A点的数，得出交点表示的数。
9．【答案】B
【解析】【解答】当腰长为7时，底边长为29-2×7=15，三角形的三边长为7，7，15，7+7=14，不大于15，不能构成三角形，舍去；
当底边长为7时，腰长为（29-7）÷2=11，三角形的三边长为11，11，7，7+11＞11，能构成三角形，
所以等腰三角形的底边为7．
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：当腰长为7时；当底边长为7时，利用三角形三边关系定理，就可判断得出等腰三角形的底边长。
10．【答案】A
【解析】【解答】①两个三角形全等，但它们不一定成轴对称，错误；
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，错误；
③若点A、B关于直线MN对称，则MN垂直平分AB，而MN是直线，故错误；
④到角两边距离相等的点应该在角的平分线所在的直线上，错误；
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等，等腰三角形的性质、对称的性质，角平分线的性质判断即可.
11．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，
∵ A（2，3） ，
∴OB=2，AB=3，
∴OA=，
∴点A到原点的距离是.
【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，根据点A的坐标求出OB，AB的长，再根据勾股定理即可求出OA的长.
12．【答案】
【解析】【解答】解：在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为： .
【分析】在△ABD中，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠ADB，在△BCD中，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可表示出∠BDC；再根据∠ADC=∠ADB+∠CBD，将其代入可表示出∠ADC.
13．【答案】120
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，
∵△ABC中，AB=AC=17，BC=16，
∴BD= BC=8，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD= =15，
∴S△ABC= ×15×16=120，
故答案为：120．
【分析】利用等腰三角形的性质求得BD= BC=8cm．然后在直角△ABD中，利用勾股定理来求AD的长度，进而可求出三角形的面积．
14．【答案】30
【解析】【解答】解：如图，延长 至E，使 ，连接CE，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
.
故答案为：30
【分析】延长AD至E使DE=AD，利用SAS可证得△ABD≌△ECD，利用全等三角形的性质可求出EC的长；利用勾股定理的逆定理证明∠CAE=90°，然后证明△ABC的面积等于△ACE的面积，利用三角形的面积公式可求出结果.
15．【答案】连接BD，
AB⊥AD，
，
在 中，
在 中， ，
是直角三角形，
【解析】【分析】连接BD，由已知条件及勾股定理解得BD的长，再用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，进而用两个直角三角形的面积差解题即可.
16．【答案】解：在Rt△CDA中， ∵AC=AB=5，CD=3，
∴AD=
∴BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△CBD中，BC=
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用线段和差求出BD的长，最后利用勾股定理求出BC的值即可。
17．【答案】解： ， ．
， ，
．
．
在 中，根据勾股定理，得
．
【解析】【分析】先证明，得到AD=BD=3，由勾股定理求出AB的长即可。
18．【答案】证明：连接BC，如图所示：
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】【分析】先利用HL证Rt△ABC≌Rt△DCB，得∠ACB=∠DBC，再由等角对等边即可得解.
19．【答案】（1）解：如图所示，点C即为所求；
（2）解：依题意有：
BC2=AC2+AB2，即BC2=（9﹣BC）2+32，
解得BC=5，
故大树的高=BC+AB=5+3=8米
【解析】【分析】（1）连结BD，作出BD的垂直平分线交AD于C，点C即为所求；（2）根据垂直平分线的性质得到BC=CD，根据勾股定理求出BC的长，再由大树的高=BC+AB即可得出结论．
20．【答案】（1）解：如图：
点P就是所求作的点.
（2）12；40
【解析】【解答】解：2：①如下图，
∵PA=PB，且AC=8，BC=4 ，∴ΔPBC的周长=PB+PC+CB=PA+PC+CB=AC+CB=12.
故答案是12.
②∵ PA=PB，∴ ∠A=∠ABP，∴∠CPB=∠A+∠ABP=2∠A，
又∵ ∠ PBC ∠A= 15 o ，∴∠ PBC = ∠A+15 o ，
∴∠CPB+∠ PBC=90o ，即：2∠A+ ∠A+15 o=90o ，解得：∠A=25o ，
∴∠ PBC = ∠A+15 o =40o .
故答案是40o .
【分析】此题首先考查基本作图——作线段的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的性质得出等腰三角形，进一步利用线段的和差与角的和差求解第2小题即可.
21．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ；
（2）解： ．
理由如下：延长 交 于点 ，
由（1）知 ，
∴
又∵ ，
∴ ，
即 ．
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明全等即可；（2） 延长 交 于点 ， 利用三角形全等的性质得到角相等，最后证出，即可得到。
22．【答案】（1）解：结论：点 在直线 上；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 .
∴线段 逆时针旋转 落在直线 上，即点 在直线 上.
（2）解：作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即以 、 为邻边的正方形面积 .
【解析】【分析】（1）根据∠CMH=∠B，∠CMH+∠C=90°可得∠B+∠C=90°，推出CM⊥AB，据此判断；
（2）作CD⊥AB于点D，易得∠MCN=45°，由平行线的性质可得∠BMC=45°，求出CD、MC的值，然后根据正方形的面积公式进行计算.
23．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，
证明：延长BD交AC于点E．
∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠COA=∠BOD=90°，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠ADE=∠BDO，
∴∠AED=∠BOD=90°，
∴AC⊥BD；
（2）存在，
证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．
∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠DOC=BOA=90°，
∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AGF=∠BGO，
∴∠AFG=∠BOG=90°，
∴AC⊥BD；
（3）AC=BD，AC⊥BD．
证明：BD交AC于点H，AO于M，
∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，
∠DOC=BOA=90°，
∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠AMH=∠BMO，
∴∠AHM=∠BOH=90°，
∴AC⊥BD．
【解析】【分析】（1）AC=BD，AC⊥BD，理由：延长BD交AC于点E．根据SAS证明△AOC≌△BOD，可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO可求出∠AED=∠BOD=90°，据此即得结论；
（2）延长BD交AC于点F，交AO于点G，根据SAS可证△AOC≌△BOD，可得到AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO可求出∠AFG=∠BOG=90°，据此即得结论；
（3）BD交AC于点H，AO于M，根据SAS可证△AOC≌△BOD，可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，
由∠AMH=∠BMO可求出∠AHM=∠BOH=90°，据此即得结论.