专题10.3 事件的相互独立性（重难点题型精讲）
1．事件的相互独立性
(1)定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质
若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.
(3)应用
因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它
们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.
(4)推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P().
2．互斥事件与相互独立事件的辨析
(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=.
概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.
(2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立）
A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB)
A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P()
A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B)
A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B)
【题型1 独立性的判断】
【方法点拨】
(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独
立事件.
【例1】（2022·全国·高三专题练习）下列事件中，是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
D．“人能活到20岁”，“人能活到50岁”
【解题思路】利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.
【解答过程】解：对于A中，把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故是独立事件；
对于B：两个事件是不放回地摸球，显然事件与事件不相互独立；
对于C，事件A，B应为互斥事件，不相互独立；
对于D是条件概率，事件受事件的影响．
故选：A．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
【解题思路】根据相互独立事件的含义即可判断.
【解答过程】由题意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影响,故事件与是相互独立事件，
由于与可能同时发生，故不是互斥事件也不是对立事件.
故选：A.
【变式1-2】（2022秋·广东梅州·高二阶段练习）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下股子朝上面的点数.用表示红色股子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“为奇数”，事件“”，事件“”，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．A与互斥
C．与独立 D．A与独立
【解题思路】A选项，利用古典概型求概率公式得到，从而得到；由得到B正确；求出，判断出与独立，由得到D错误.
【解答过程】由题意得：当一奇一偶时，为奇数，
若为奇数，为偶数，有种情况，同理若为偶数，为奇数，有种情况，则共有种情况
则，
，故，A选项正确；
因为当一奇一偶时，为奇数，故，同理当时，一定是偶数，
故，互斥，B选项正确；
“”包含或6，而可能取值为6种，故共有种情况，故，
而事件包含两种情况，即，故，
由，得与独立，C正确；
因为，故A与B不独立，D错误.
故选：D.
【变式1-3】（2023秋·浙江绍兴·高三期末）数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的的六位数，A表示事件“1和2相邻”，B表示事件“偶数不相邻”，C表示事件“任何连续两个位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇数按从小到大的顺序排列”．则（ ）
A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立
C．事件A与事件D相互独立 D．事件B与事件C相互独立
【解题思路】根据排列组合分别计算概率，进而根据相互独立事件满足的概率公式即可求解.
【解答过程】，
对于A，，故A错误，
对于B，,故B错误，
对于C，，故C正确，
对于D，,故D错误.
故选：C.
【题型2 相互独立事件的概率】
【方法点拨】
利用相互独立事件的概率乘法公式，进行求解即可.
【例2】（2023秋·山东济宁·高二期末）假设，且与相互独立，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据独立事件的并事件的概率公式计算.
【解答过程】由与相互独立，
则.
故选：B．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，给出下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P( )＝0.42.其中正确的有( )
A．4个 B．2个
C．3个 D．1个
【解题思路】根据独立事件的概率公式，进行求解即可.
【解答过程】根据事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，知在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；在④中P()＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正确，
故选A.
【变式2-2】（2022春·安徽安庆·高一期末）设事件A，B相互独立，，，则（ ）
A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9
【解题思路】根据独立事件的概率计算公式，结合题意，带值求解即可.
【解答过程】根据题意，互斥，相互独立，，相互独立，，相互独立，
故
.
故选：C.
【变式2-3】（2022春·山西太原·高一期末）设，，是一个随机试验中的三个事件，且，，，给出下列结论：
①若与互斥，则；
②若与独立，则；
③若，，两两独立，则；
④若，则，，两两独立．
则其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据互斥事件、对立事件以及相互独立事件的性质逐个判定即可
【解答过程】对A，若与互斥，则根据互斥事件不能同时发生可得，又，，故A正确；
对B，若与独立，则，故B错误；
对C，若，，两两独立，且，则，但事件不一定与相互独立，故C错误；
对D，若，则事件与相互独立，但推导不出，，两两独立，故D错误；
故选：B.
【题型3 事件相互独立的应用】
【方法点拨】
实际问题中，计算相互独立事件同时发生的概率，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件.对于计算
问题：将题中所求事件转化为若干个独立事件的交事件，利用独立事件的性质和推广求解.
【例3】（2022·高一单元测试）甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是，，，则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设此三人至少有一个人把此问题解决为事件，计算出三人都没有把此问题解决的概率，再由间接法可得答案.
【解答过程】设此三人至少有一个人把此问题解决为事件，
三人都没有把此问题解决的概率是，
则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是.
故选：D.
【变式3-1】（2022·高二单元测试）一个袋子中有4个红球，n个绿球，采用不放回的方式从中依次随机地取出2个球，若取出第二个球是红球的概率为0.4，那么n的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【解题思路】结合已知条件，分类讨论第一个球的颜色，按照独立事件的乘法公式即可求解.
【解答过程】若取出的第一个球为红色，
则第二个球也是红色的概率；
若取出的第一个球为绿色，
则第二个球是红色的概率.
所以取出第二个球是红色的概率，
解得，.
故选：C.
【变式3-2】（2022春·黑龙江绥化·高二期中）某学校餐厅就餐刷卡器是由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则刷卡器能正常工作.如果各个元件能否正常工作相互独立，元件1、元件2正常工作的概率都是，元件3正常工作的概率是，那么该刷卡器能正常工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用对立事件的概率求出元器件1和2至少一个正常工作的概率，再由相互独立事件同时发生的概率公式求刷卡器正常工作的概率即可.
【解答过程】该刷卡器能正常工作需要元器件1和2至少有一个正常工作，同时元器件3正常工作，
所以刷卡器能正常工作的概率.
故选：B.
【变式3-3】（2022·高一单元测试）高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为，，，该同学进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程组，求解即可．
【解答过程】解：由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为，
则①，
又三个社团都进不了的概率为，
所以②，
由①②可得，．
故选：A．
【题型4 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】
【方法点拨】
阅读题目，分析事件之间的关系，一般将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加
法公式和相互独立事件的概率乘法公式求解.
【例4】（2022秋·陕西榆林·高二阶段练习）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意，分为乙分别在第一二场胜两种情况，结合概率的乘法公式以及加法公式，可得答案.
【解答过程】由题意，此局分两种情况：
（1）后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：；
（2）后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为：；
所以，所求事件概率为.
故选：C.
【变式4-1】（2022·高一单元测试）甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解.
【解答过程】解：根据题意知只需考虑剩下两局的情况，
（1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得最终胜利的概率为；
（2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为．
故甲获得最终胜利的概率为.
故选：B.
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式计算作答.
【解答过程】试验任务成功的事件是甲成功的事件，甲不成功乙成功的事件，甲乙都不成功丙成立的事件的和，
事件，，互斥，，，，
所以试验任务成功的概率.
故选：D.
【变式4-3】（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【解题思路】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【解答过程】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为，
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则，
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为，
则，
则，
，
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D.专题10.3 事件的相互独立性（重难点题型精讲）
1．事件的相互独立性
(1)定义
对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
(2)性质
若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.
(3)应用
因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它
们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.
(4)推广
两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P().
2．互斥事件与相互独立事件的辨析
(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：
相互独立事件 互斥事件
判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=.
概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立.
(2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：
事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立）
A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1P()P()或 P(A)+P(B)P(AB)
A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B)
A，B都不发生 P() 1[P(A)+P(B)] P()P()
A，B恰有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) P(A) P()+ P()P(B)
A，B中至多有一个发生 P(∪A∪B) 1 1P(A)P(B)
【题型1 独立性的判断】
【方法点拨】
(1)定量法：利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立.
(2)定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件的发生的概率是否有影响，若没有影响就是相互独
立事件.
【例1】（2022·全国·高三专题练习）下列事件中，是相互独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数”
D．“人能活到20岁”，“人能活到50岁”
【变式1-1】（2023·高一课时练习）袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则与是（ ）
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
【变式1-2】（2022秋·广东梅州·高二阶段练习）抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下股子朝上面的点数.用表示红色股子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“为奇数”，事件“”，事件“”，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．A与互斥
C．与独立 D．A与独立
【变式1-3】（2023秋·浙江绍兴·高三期末）数字1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的的六位数，A表示事件“1和2相邻”，B表示事件“偶数不相邻”，C表示事件“任何连续两个位置奇偶性都不相同”，D表示事件“奇数按从小到大的顺序排列”．则（ ）
A．事件A与事件B相互独立 B．事件A与事件C相互独立
C．事件A与事件D相互独立 D．事件B与事件C相互独立
【题型2 相互独立事件的概率】
【方法点拨】
利用相互独立事件的概率乘法公式，进行求解即可.
【例2】（2023秋·山东济宁·高二期末）假设，且与相互独立，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2022·高一课时练习）已知事件A，B相互独立，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，给出下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P( )＝0.42.其中正确的有( )
A．4个 B．2个
C．3个 D．1个
【变式2-2】（2022春·安徽安庆·高一期末）设事件A，B相互独立，，，则（ ）
A．0.36 B．0.504 C．0.54 D．0.9
【变式2-3】（2022春·山西太原·高一期末）设，，是一个随机试验中的三个事件，且，，，给出下列结论：
①若与互斥，则；
②若与独立，则；
③若，，两两独立，则；
④若，则，，两两独立．
则其中正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型3 事件相互独立的应用】
【方法点拨】
实际问题中，计算相互独立事件同时发生的概率，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件.对于计算
问题：将题中所求事件转化为若干个独立事件的交事件，利用独立事件的性质和推广求解.
【例3】（2022·高一单元测试）甲、乙、丙三人能独立解决某一问题的概率分别是，，，则此三人至少有一个人把此问题解决的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·高二单元测试）一个袋子中有4个红球，n个绿球，采用不放回的方式从中依次随机地取出2个球，若取出第二个球是红球的概率为0.4，那么n的值是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式3-2】（2022春·黑龙江绥化·高二期中）某学校餐厅就餐刷卡器是由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则刷卡器能正常工作.如果各个元件能否正常工作相互独立，元件1、元件2正常工作的概率都是，元件3正常工作的概率是，那么该刷卡器能正常工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·高一单元测试）高一年级某同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立的．假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的概率分别为，，，该同学进入两个社团的概率为，且三个社团都进不了的概率为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型4 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】
【方法点拨】
阅读题目，分析事件之间的关系，一般将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加
法公式和相互独立事件的概率乘法公式求解.
【例4】（2022秋·陕西榆林·高二阶段练习）甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2022·高一单元测试）甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
