专题10.1 随机事件与概率（重难点题型精讲）
1．有限样本空间
(1)随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具
有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)有限样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，，，，
则称样本空间={，，，}为有限样本空间.
2．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件
A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
3．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致B发生
并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或
交事件 （积事件） A与B同时发生 或
互斥 （互不相容） A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生.
4．样本空间中样本点的求法
(1)列举法
列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，
即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.
(2)列表法
对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以
便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.
(3)树状图法
树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
5．用集合观点看事件间的关系
符号 概率角度 集合角度
必然事件 全集
不可能事件 空集
试验的可能结果 中的元素
事件 的子集
的对立事件 的补集
事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集
事件A等于事件B 集合A等于集合B
或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集
或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集
事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集
，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集
6．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
7．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
8．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B).
性质5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）.
【题型1 事件的分类】
【方法点拨】
根据随机事件、必然事件与不可能事件的定义，进行求解即可.
【例1】（2022·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
【解题思路】根据随机事件的概念判断即可
【解答过程】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为的矩形，其面积为是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】（2023·高一课时练习）下列四个事件：
①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】判断选项中每个事件为随机事件还是必然事件还是不可能事件，可得答案.
【解答过程】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；
②东边日出西边日落为必然事件；
③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；
④守株待兔为随机事件，
故必然事件有1个，
故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）下列事件中，是随机事件的是（ ）
①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
【解题思路】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断即可.
【解答过程】解：由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
对于②，骰子最大的点数为6，2颗骰子的点数之和不可能为14，故②是不可能事件；
对于④，每年有12个月，13个人中至少有2个人的生日在同一个月，故④是必然事件.
故选：A.
【变式1-3】（2023·广东·高三学业考试）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【解题思路】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义判断.
【解答过程】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
【题型2 事件与样本空间】
【方法点拨】
求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点.对于样本点个数的计算，要保证
列举出的试验结果不重不漏.写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验
结果是否与顺序有关.
【例2】（2022·高一课前预习）一个家庭有两个小孩，则样本空间为（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【解题思路】列举出所有可能结果，由此可得样本空间.
【解答过程】两个小孩的所有结果是：男男，男女，女男，女女，
则所有样本空间为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．
故选：C.
【变式2-1】（2022秋·广东佛山·高二阶段练习）体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件，则事件包含的样本点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解题思路】根据样本空间及样本点的定义即可求解.
【解答过程】由题意可知，事件,共个样本点.
故选：C.
【变式2-2】（2022·高一课时练习）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（ ）
A．正面，反面
B．｛正面，反面｝
C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝
D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝
【解题思路】利用列举法可得答案
【解答过程】解：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为
｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝
故选：D.
【变式2-3】（2022·高二课时练习）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是
A．样本空间中共有10个样本点
B．事件A中有6个样本点
C．样本点6在事件A内
D．事件A中包含样本点11
【解题思路】连续射击一个目标10次，可能全部脱靶，最好的情况是全部命中，故有11个样本点；事件A={6,7,8,9,10}，由此判断选项。
【解答过程】样本空间中有11个样本点，故A错；
事件A中有5个样本点，故B错；
样本点中没有11，故D错.
故选：C.
【题型3 事件的关系及运算】
【方法点拨】
根据事件之间的关系，结合具体问题，进行转化求解.
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必
要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件.
【例3】（2022秋·上海徐汇·高二期末）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件
【解题思路】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解.
【解答过程】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示
（第一种情况）
（第二种情况）
无论哪种情况，均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故B不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况，与一定为互斥事件，故D不正确.
故选：A.
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ）
A． B．
C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3
【解题思路】由题意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判断即可．
【解答过程】解：由题意可知，，，，，
所以，，2，，
则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确．
故选：C．
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生
C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
【解题思路】根据对立事件和互斥事件的概念对选项逐一分析，由此选出正确选项．
【解答过程】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有：
两男、两女、一男一女．
恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A正确；
至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B错误；
至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C错误；
至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
【变式3-3】（2022·高一单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，则，，可判断A,C; 事件B与D是互斥事件,判断B; 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示至少有一名男生，由此判断D.
【解答过程】至少有1名男生包含2名全是男生 1名男生1名女生，故，，
故A，C正确；
事件B与D是互斥事件，故，故B正确，
表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，
故，D错误，
故选：D.
【题型4 古典概型的判断及其概率的求解】
【方法点拨】
第一步，阅读题目，判断试验是否是古典概型；
第二步，计算样本空间中的样本点个数n；
第三步，计算所求事件A包含的样本点个数k；
第四步，计算所求事件A的概率，.
【例4】（2023·福建福州·统考二模）为培养学生“爱读书 读好书 普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类 文学类 自然科学类三个读书社团．甲 乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据古典概型公式即可求解.
【解答过程】记人文社科类 文学类 自然科学类三个读书社团分别为，
则甲 乙两位同学各自参加其中一个社团的基本事件有共9种，
而这两位同学恰好参加同一个社团包含的基本事件有共3种，
故这两位同学恰好参加同一个社团的概率.
故选：A.
【变式4-1】（2023·吉林通化·模拟预测）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为”，“向上的点数之和为奇数”的概率记为，“向上的点数之积为偶数”的概率记为”，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】用列举法结合古典概型的公式求出，，即可求解．
【解答过程】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：
共有36种等可能的结果，
其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况，
“向上的点数之和为奇数”的有18种情况，
“向上的点数之积为偶数”的有27种情况，
所以“向上的点数之和不超过5”的概率，
“向上的点数之和为奇数”的概率，
“向上的点数之积为偶数”的概率，
因为，
所以，
故选：A．
【变式4-2】（2023·内蒙古·模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据古典概型概率的计算公式即可求解.
【解答过程】将四块三角形区域编号如下，
由题意可得总的涂色方法有种，
若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种，
故所求概率.
故选：A.
【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）现有6个大小相同 质地均匀的小球，球上标有数字1，3，3，4，5，6.从这6个小球中随机取出两个球，如果已经知道取出的球中有数字3.则所取出的两个小球上数字都是3的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】列出事件所含基本事件，根据古典概型求解即可.
【解答过程】任取两个小球，则出的球中有数字3的事件有
，共9个基本事件，
其中所取出的两个小球上数字都是3的基本事件共1个，
所以所取出的两个小球上数字都是3的概率.
故选：C.
【题型5 概率的基本性质的应用】
【方法点拨】
根据具体问题，准确表示事件，分析事件之间的关系，结合概率的基本性质，计算概率.
【例5】（2023春·安徽·高一开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【解题思路】根据互斥事件的含义可判断①；根据题意可知，从而判断②；根据概率的性质可判断③④．
【解答过程】事件为两个互斥事件，，，故①正确；
事件为两个互斥事件，则，，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，
综上，①③④正确，
故选：A．
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【解题思路】由对立事件概率关系得到发生的概率，再由互斥事件的概率计算公式求P(A + B).
【解答过程】因为，事件与对立，所以，又，与互斥，
所以.
故选：C.
【变式5-2】（2022·高一课时练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用互斥事件的加法公式及概率的基本性质列式即可作答.
【解答过程】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用古典概型概率公式求出，即可判断A、C；利用公式求出，即可判断B、D.
【解答过程】，则，故C正确；
，则，故A错误；
，则，故B错误；
，故D错误，
故选：C.
【题型6 古典概型与其他知识的综合】
【方法点拨】
对于古典概型与其他知识的综合问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.找出满足条件的情
况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.
【例6】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二阶段练习）今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花．某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入（单位：千元）将摊主分成六个组，，，，，，得到下面收入频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名地摊摊主收入的众数和中位数（单位：千元）；
(2)已知从收入在的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自的概率．
【解题思路】（1）由频率分布直方图中所有长方形的面积和为1，列方程可求出t的值，利用中位数两边的频率相同可求出中位数，平均数等于各组中点值乘以对应的频率，再把所有的积加起来可得平均数；
（2）利用分层抽样的比例求出和的人数，然后利用列举法把所有情况列出来，再利用古典概型的概率公式求解即可.
【解答过程】（1）每月每名地摊摊主收入的众数为：(千元)
由，则，
由，由，
则中位数为(千元)，
（2）由分层抽样可知应抽取2人记为1，2，
应抽取3人记为a，b，c，
则从这5人中抽取2人的所有情况有：
，共10种情况，
记其中2人收入都来自为事件A，情况有3种，
则.
【变式6-1】（2022秋·上海松江·高二期末）全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
空气质量指数
空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染
天数 20 40 m 10 5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.
【解题思路】(1)根据频率的定义可求得，从而求得，进一步计算每组的频率，从而完成频率分布直方图；
(2)根据分层抽样的定义可以确定空气质量指数为和的监测天数中分别抽取4天和1天，再根据古典概率模型计算公式即可求解.
【解答过程】（1）因为，解得，
因为，解得，
，，，．
完成频率分布直方图如图：
（2）空气质量指数为和的监测天数中分别抽取4天和1天，
在所抽取的5天中，将空气质量指数为的4天分别记为，将空气质量指数为的1天记为．
从中任取2天的基本事件分别为，，，，，，，，，，共10天，
其中事件“两天空气都为良”包含的基本事件为，，，，，，共6天，
所以事件“两天空气都为良”发生的概率．
【变式6-2】（2023秋·辽宁铁岭·高一期末）公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示.
(1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表示)
(2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取件，求至少有件产品的质量指标在的概率.
【解题思路】（1）根据频率和为1计算得到，根据公式计算平均值和方差即可.
（2）根据分层抽样的比例关系得到各层的个数，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.
【解答过程】（1），解得；
；
.
（2）由分层抽样可知，质量指标在的产品中抽个，记为；
在的产品中抽个，记为，则任取个，
所有的情况为，共种，
其中满足条件的为，共种，
故所求概率.
【变式6-3】（2022秋·四川成都·高二阶段练习）某电视台为宣传本省，随机对本省内15~65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 0.5
第2组 18
第3组 0.9
第4组 9 0.36
第5组 3
(1)分别求出、、、的值；
(2)从第2 3 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
(3)求出直方图中，前三组（第1 2 3组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？
【解题思路】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值；
（2）先利用分层抽样求得第2、3、4组抽取的人数，再利用列举法及古典概型概率的求法即可得解；
（3）利用频率分布直方图平均数的求法即可求得所求.
【解答过程】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知，
所以，
，
，
.
（2）由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为；
第3组抽取（人），记为；第4组抽取（人），记为；
所以从6人随机抽取2人的基本事件有，共15件，
其中所抽取的人中恰好没有第3组的人（记为事件）的基本事件有，共3件，
所以，即所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为.
（3）根据题意，得
前三组（第1 2 3组）的频率为，
所以前三组（第1 2 3组）的平均年龄数.专题10.1 随机事件与概率（重难点题型精讲）
1．有限样本空间
(1)随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具
有以下特点的随机试验：
①试验可以在相同条件下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
(2)有限样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间.
一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果，，，，
则称样本空间={，，，}为有限样本空间.
2．事件
(1)随机事件
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们
将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
(2)必然事件
A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.
(3)不可能事件
空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.
3．事件的关系和运算
(1)两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含 A发生导致B发生
并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或
交事件 （积事件） A与B同时发生 或
互斥 （互不相容） A与B不能同时发生
互为对立 A与B有且仅有一个发生 ，
(2)多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪ (或
A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩ (或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生.
4．样本空间中样本点的求法
(1)列举法
列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，
即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏.
(2)列表法
对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以
便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法.
(3)树状图法
树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法.
5．用集合观点看事件间的关系
符号 概率角度 集合角度
必然事件 全集
不可能事件 空集
试验的可能结果 中的元素
事件 的子集
的对立事件 的补集
事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集
事件A等于事件B 集合A等于集合B
或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集
或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集
事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集
，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集
6．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能;
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
7．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义
事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数.
8．概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0.
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B).
性质5 如果，那么P（A）≤P（B）.
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）.
【题型1 事件的分类】
【方法点拨】
根据随机事件、必然事件与不可能事件的定义，进行求解即可.
【例1】（2022·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根
【变式1-1】（2023·高一课时练习）下列四个事件：
①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）下列事件中，是随机事件的是（ ）
①经过有交通信号灯的路口，刚好是红灯；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.
A．①③ B．③④ C．①④ D．②③
【变式1-3】（2023·广东·高三学业考试）已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（ ）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【题型2 事件与样本空间】
【方法点拨】
求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点.对于样本点个数的计算，要保证
列举出的试验结果不重不漏.写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验
结果是否与顺序有关.
【例2】（2022·高一课前预习）一个家庭有两个小孩，则样本空间为（ ）
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
【变式2-1】（2022秋·广东佛山·高二阶段练习）体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件，则事件包含的样本点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-2】（2022·高一课时练习）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（ ）
A．正面，反面
B．｛正面，反面｝
C．｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝
D．｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝
【变式2-3】（2022·高二课时练习）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件A=“至少命中6次”，则下列说法正确的是
A．样本空间中共有10个样本点
B．事件A中有6个样本点
C．样本点6在事件A内
D．事件A中包含样本点11
【题型3 事件的关系及运算】
【方法点拨】
根据事件之间的关系，结合具体问题，进行转化求解.
进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必
要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件.
【例3】（2022秋·上海徐汇·高二期末）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件 B．是必然事件
C．与一定为互斥事件 D．与一定不为互斥事件
【变式3-1】（2022·全国·高一专题练习）抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ）
A． B．
C．表示向上的面的点数是1或2或3 D．表示向上的面的点数是1或2或3
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（ ）
A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生
C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生
【变式3-3】（2022·高一单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 古典概型的判断及其概率的求解】
【方法点拨】
第一步，阅读题目，判断试验是否是古典概型；
第二步，计算样本空间中的样本点个数n；
第三步，计算所求事件A包含的样本点个数k；
第四步，计算所求事件A的概率，.
【例4】（2023·福建福州·统考二模）为培养学生“爱读书 读好书 普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类 文学类 自然科学类三个读书社团．甲 乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·吉林通化·模拟预测）随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为”，“向上的点数之和为奇数”的概率记为，“向上的点数之积为偶数”的概率记为”，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·内蒙古·模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2023·山西·校联考模拟预测）现有6个大小相同 质地均匀的小球，球上标有数字1，3，3，4，5，6.从这6个小球中随机取出两个球，如果已经知道取出的球中有数字3.则所取出的两个小球上数字都是3的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 概率的基本性质的应用】
【方法点拨】
根据具体问题，准确表示事件，分析事件之间的关系，结合概率的基本性质，计算概率.
【例5】（2023春·安徽·高一开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【变式5-2】（2022·高一课时练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 古典概型与其他知识的综合】
【方法点拨】
对于古典概型与其他知识的综合问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.找出满足条件的情
况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可.
【例6】（2023春·黑龙江哈尔滨·高二阶段练习）今年5月底，中央开始鼓励“地摊经济”，地摊在全国遍地开花．某地政府组织调研本地地摊经济，随机选取100名地摊摊主了解他们每月的收入情况，并按收入（单位：千元）将摊主分成六个组，，，，，，得到下面收入频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中t的值，并估计每月每名地摊摊主收入的众数和中位数（单位：千元）；
(2)已知从收入在的地摊摊主中用分层抽样抽取5人，现从这5人中随机抽取2人，求抽取的2人收入都来自的概率．
【变式6-1】（2022秋·上海松江·高二期末）全世界人们越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：
空气质量指数
空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染
天数 20 40 m 10 5
(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；
(2)在空气质量指数分别属于和监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率.
【变式6-2】（2023秋·辽宁铁岭·高一期末）公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示.
(1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表示)
(2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取件，求至少有件产品的质量指标在的概率.
【变式6-3】（2022秋·四川成都·高二阶段练习）某电视台为宣传本省，随机对本省内15~65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 0.5
第2组 18
第3组 0.9
第4组 9 0.36
第5组 3
(1)分别求出、、、的值；
(2)从第2 3 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
(3)求出直方图中，前三组（第1 2 3组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？
