青海省西宁市大通县2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（含解析）

2023~2024学年度第一学期大通县期末联考
高一数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.以上都不正确
2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则的值为（ ）
A.-3 B.3 C. D.
4.若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.若幂函数在区间上单调递减，则（ ）
A.3 B.1 C.-1或3 D.1或-3
6.已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ）
A. B.1 C. D.
7.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C.，或 D.
8.已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知命题，则（ ）
A.是真命题 B.
C.是真命题 D.
10.下列结论正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，
C.的最小值为2
D.的最小值为2
11.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.的最小正周期为
B.
C.
D.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
12.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A.的图象关于点对称
B.
C.当时，
D.在上单调递减
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.计算：__________.
14.若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是__________.
15.若，则__________.
16.记表示不超过的最大整数，例如，已知函数则__________；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18.（本小题满分12分）
已知.
（1）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，且至少有一个成立，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知是二次函数，且.
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最大值.
20.（本小题满分12分）
已知函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值；
（2）当时，求的最小值以及相应的集合.
21.（本小题满分12分）
某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）之间的关系式为，其中是正的常数.已知后消除了的污染物，试求：
（1）后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少所需的时间.（参考数据：）
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
2023~2024学年度第一学期大通县期末联考·高一数学
参考答案 提示及评分细则
1.C 由集合间的包含关系可知.故选.
2.B 由题意可知解得且，故的取值范围是.故选B.
3.B 由分子分母同时除以，可得.故选B.
4.C .故选C.
5.A 因为函数为幂函数，且在区间上单调递减，所以且，由，得或，当时，满足，舍去；当时，满足.综上.故选A.
6.D 因为，所以，函数的周期为1，所以.故选D.
7.A 当时，显然成立；当时，要使问题成立则解得，所以实数的取值范围为.故选A.
8.C ，则的图象关于轴对称，，当时，取得最小值.故选C.
9.AD 命题，则，所以错误，正确；又因为当时，；当0时，，所以命题假，是真命题，故A正确，C错误.故选AD.
10.AB 当时，，当且仅当时，即时等号成立，故A正确；
当时，，当且仅当时，即时等号成立，故B正确；
当时，显然不成立，故C错误；
因为，当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误.故选AB.
11.BD 由函数的图象可知，最小正周期，则正确，错误；，函数的图象过点，则有错误；函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，正确.故选BD.
12.AC 对于，由题设，可知的图象关于点对称，正确；
对于，在中，令，得错误；
对于，当时，，所以，又，所以，即当时，，而为偶函数，所以当时，，综上可知，当时，，C正确；
对于，由的解析可知，故错误.故选.
13.0 因为，所以.
14. 由函数在上是减函数，，得，解得，所以实数的取值范围是.
15. 因为，所以，两边平方得，即.
16.0（2分）（3分） 有3个零点方程有3个不同的实数根，即的图象与函数的图象有3个交点，分析可知当，显然不成立，所以.做出与的图象如图.
两函数图象在轴的左侧只有1个交点，故轴右边有2个交点，则解得.
17.解：（1）因为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
所以.
18.解：（1）设，
因为是的必要非充分条件，所以是的真子集，
则，
所以实数的取值范围为.
（2）当时，，
考虑“至少有一个成立”的对立面：均不成立，
此时解得或.
故至少有一个成立时，的取值范围为.
19.解：（1）设，
，
故，
，即，
即
又.
故.
（2）由（1）知的图象的对称轴方程为，
且在上单调递减，在上单调递增.
当时，；
当时，.
故在区间上的最大值
20.解：（1），
当时，，
，
解得.
（2）由（1）知，
当，即时，的最小值为2，
对应的的集合为.
21.解：（1）由，可知时，.
当时，，
所以，
当时，，
所以10个小时后还剩的污染物.
（2）当时，有，
解得，
所以污染物减少所需要的时间为35个小时.
22.解：（1）由题意可知，即.
令，则有，解得，所以，即.
所以不等式的解集为.
（2）由题意可知，即，
即.
又
令，
易知在上单调递减，
所以，所以，
因为，所以.
故实数的取值范围为.