2024年中考数学高频压轴题训练：二次函数压轴题（特殊四边形）（含答案）

2024年中考数学高频压轴题训练
二次函数压轴题（特殊四边形）
1．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图像与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）求直线AC的函数解析式；
（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
2．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；
（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；
（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．
3．如图①，直线y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过点B，点P是抛物线上一点，连接OP，AP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△AOP的面积是3，求P点坐标；
（3）如图②，动点M，N同时从点O出发，点M以1个单位长度/秒的速度沿x轴正半轴方向匀速运动，点N以个单位长度/秒的速度沿y轴正半轴方向匀速运动，当其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NE∥x轴交直线AB于点E．若设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使四边形AMNE是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：y＝x2+6x+2的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2，直线l：y＝kx+b经过M，N两点．
（1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式x2+6x+2＜kx+b的解集；
（2）若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；
（3）若抛物线C1与x轴的交点为E、F，试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说明其理由．
6．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c(c＞0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧)，点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
(1)如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是(﹣2，1)，求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
(2)如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC及抛物线的解析式，并求出D点的坐标；
（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线1∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）x轴上是否存在点P，使PC+PB最小？若存在，请求出点P的坐标及PC+PB的最小值；若不存在，请说明理由；
（3）连接BC，设E为线段BC中点．若M是抛物线上一动点，将点M绕点E旋转180°得到点N，当以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．

（1）该抛物线的解析式为　 　；
（2）直线y＝kx+l（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．
10．如图，抛物线L1：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(﹣1，0)，OB=OC=3OA．若抛物线L2与抛物线L1关于直线x=2对称．
（1）求抛物线L1与抛物线L2的解析式；
（2）在抛物线L1上是否存在一点P，在抛物线L2上是否存在一点Q，使得以BC为边，且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
11．如图1，抛物线与两条坐标轴分别交于，，三点．其中，且．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点是轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以点，，，为顶点，以为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点，分别是线段，上的动点，连接，，当时，求点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中的三点A(1，0)，B(－1，0)，P(0，－1)，将线段AB沿y轴向上平移m(m＞0)个单位长度，得到线段CD，二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象经过点P，C，D．

(1)当m＝1时，a＝______；当m＝2时，a＝______；
(2)猜想a与m的关系，并证明你的猜想；
(3)将线段AB沿y轴向上平移n(n＞0)个单位长度，得到线段C1D1，点C1，D1分别与点A，B对应，二次函数y＝2a(x－h)2＋k的图象经过点P，C1，D1．
①求n与m之间的关系；
②当△COD1是直角三角形时，直接写出a的值．
13．如图，曲线是抛物线的一部分，与轴交于两点，与轴交于点，且表达式，曲线与曲线关于直线对称．

（1）求三点的坐标和曲线的表达式；
（2）过点作轴交曲线于点，连结，在曲线．上有一点，使得四边形为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点的横坐标．
14．综合与探究
如图，抛物线，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作轴于点E，交直线BC于点F，当时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）；（3）存在，()
2．（1）；（2）9个 ；（3）或；（4）
3．（1）抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x+2；（2）点P的坐标为：（2+，3）或（2﹣，3）；（3）存在t＝
4．（1）y＝x2；（3）P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．
5．（1）（-2，-4）；﹣2＜x＜0 （2）4；y＝﹣x2+6x﹣2 （3）四边形EMBD是平行四边形
6．(1)①y＝﹣x2﹣2x+1；(2)存在这样的点A，A(﹣，)
7．（1）y=3x+3，y=﹣x2+2x+3，顶点D的坐标为(1，4)；（2）四边形PMAC的面积的最大值为，此时点P的坐标为(，)；（3）点Q的坐标为(2，3)或(1，﹣3)或(1，﹣3)．
8．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（，0）；PC+PB的最小值；（3）N（，）或（，）．
9．（1）y＝﹣x2+x+4；（2）当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；（3）满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．
10．（1）抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+3，抛物线L2的解析式为y=-(x-3)2+4；（2）存在P(2，3)，Q(5，0)或P(，)，Q(，)，使得以BC为边且以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
11．（1）；（2）存在，，，；（3）
12．（1）2，3；（2）a＝m＋1．（3）①；②当△COD1是直角三角形时，a的值是或2．
13．（1）A(－1， 0)、B(3， 0)、C(0， )；（x≥3）；（2）．
14．（1）A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－2)；（2）；（3）存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标分别为(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．
15．（1）A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)；（2）或；（3）存在，，
答案第1页，共2页