2024年中考数学高频考点突破：圆与二次函数结合型压轴题（含答案）

2024年中考数学高频考点突破：
圆与二次函数结合型压轴题
1．如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由；
(3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式．
2．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作圆，交轴于，两点，点在上．

(1)求出，两点的坐标；
(2)试确定经过、两点且以点为顶点的抛物线解析式；
(3)在该抛物线上是否存在一点，使线段与互相平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．

(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：圆C与x轴相切；
(3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值．
4．
已知抛物线过点．顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以为直径作圆，记作．
(1)求抛物线解析式及点D的坐标；
(2)猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段绕点P顺时针旋转，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)直接写出的重心点M的坐标；
(3)坐标系中存在点，且，请你推导计算出n的值；
(4)如图2．若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出的最小值．
6．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，已知两点的坐标为．点是抛物线上第一象限内一个动点，
(1)求抛物线的解析式，并求出的坐标；
(2)如图1，轴上有一点，连接DP交于点，若恰好平分， 求点的坐标；
(3)如图2，连接交于点，以为直径作圆交于点，若 关于直线轴对称，求点的坐标．
7．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求经过点的“蛋圆”切线的解析式．
(3)如果直线在线段上移动，交x轴于点，交抛物线于点，交于点．连接和后，是否存在这样的点，使点到的距离最大？若存在，请求出的值以及点的坐标，若不存在请说明理由．
8．如图，二次函数的图像如图所示，点F的坐标为，直线的表达式为，且经以坐标原点O为圆心且过点F的单位圆与直线相切．过点F的动直线在第一、二象限交二次函数的图像于点A，B，点C线段AB的中点．过点A，B，C向直线作垂线，垂足为，，，连接，交于点M，连接，交于点N，
(1)求二次函数的表达式．
(2)判断四边形的形状，并做出证明．
(3)在图中，是否存在圆心在线段AB上且与线段AB有两个交点的圆，满足其与图中已有的水平直线（不包括考生自行添加的辅助线）相切？写出你的结论并给出证明．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．
(3)以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．
10．如图1，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．
（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）．
（2）若以AD为直径的圆经过点C．
①求a的值．
②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段BF=2MF，求点M、N的坐标．
③如图3，点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，求点Q的坐标．
11．如图，圆心M（3，0），半径为5的⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C点，抛物线经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求圆M上一动点P到该抛物线的顶点Q的距离的最小值？并求出此时P点的坐标．
（3）若OC的中点为F，请问抛物线上是否存在一点G，使得∠FBG＝45°，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
12．定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
（1）已知点，以为圆心，为半径作圆．请判断⊙是不是二次函数的坐标圆，并说明理由；
（2）已知二次函数图象的顶点为，坐标圆的圆心为，如图1，求周长的最小值；
（3）已知二次函数图象交轴于点，，交轴于点，与坐标圆的第四个交点为，连结，，如图2．若，求的值．
13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是与轴相切于点，与轴相交于两点．
（1）分别求三点的坐标．
（2）如图1，设经过两点的抛物线解析式为，它的顶点为，求证：直线与相切．
（3）如图2，过点作直线轴，与圆分别交于两点，点为上任意一点（不与重合），连接的延长线于点．请问是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．
14．如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，已知、两点的坐标为，．点是抛物线上第一象限内一个动点，
（1）求抛物线的解析式，并求出的坐标；
（2）如图1，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求点的坐标；
（3）如图2，轴上有一点，连结交于点，若恰好平分，求点的坐标；
（4）如图3，连结交于点，以为直径作圆交、于点、，若，关于直线轴对称，求点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线顶点为，抛物线与轴交于点，交轴于两点（在的左边），

（1）求出该抛物线的解析式；
（2）已知点为线段上的一点且不与重合，作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，．当是以为底边的等腰三角形时，为线段上一点，连接，求出的最小值；
（3）若直线与抛物线的对称轴交于点，以为圆心1为半径作圆，为圆上一动点，求的最小值；
（4）如图，直线，点为直线上一动点，点在抛物线的对称轴上，作直线于点，交拋物线于，连接，，，当为等边时，直接写出点的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)在圆上，
(3)
2．(1)
(2)或
(3)
3．(1)；
(3)．
4．
(1)；
(2)相切；
(3)存在，或，
5．(1)，，
(2)
(3)的值为或
(4)
6．(1)，
(2)或
(3)
7．(1)
(2)
(3)存在，，点的坐标为
8．(1)
(2)矩形，
(3)以AB为直径的圆与直线相切，以AF为直径的圆与x轴相切，以BF为直径的圆与x轴相切，证
9．(1)抛物线的解析式为yx2x﹣2
(2)PH最大
(3)存在，满足条件的点M的坐标为（，）或（1，﹣2）或（，2）或（，2）
10．（1）；（2）①；②，、，；③或
11．（1）；（2）当时，的值取最小为；（3）存在，，
12．（1）是，（2）6；（3）
13．（1）；（2）是定值，2
14．（1），；（2）存在，；（3）或；（4）
15．（1）；（2）；（3）；（4）（3），
答案第1页，共2页