2024年中考 数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）（含答案）

2024年中考 数学高频压轴题训练——
二次函数压轴题（特殊四边形）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，，三点．
(1)求该抛物线的表达式与顶点坐标；
(2)点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．
2．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点．
(1)求的值及顶点的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标；
(3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线的顶点为D点，且与x轴交于B，A两点（B在A的左侧），与y轴交于点C．点E为抛物线对称轴上的一个动点：
(1)当点E在x轴上方且时，求的值；
(2)若点P在抛物线上，是否存在以点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形？请求出点P的坐标；
(3)若抛物线对称轴上有点E，使得取得最小值，连接AE并延长交第二象限抛物线为点M，从请直接写出的长度．
5．如图，抛物线与轴交于、，与轴交于．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；
(3)已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求出落在抛物线上的点的坐标．
参考：若点、，则线段的中点坐标为．
6．如图1，在平面直角坐标系下，抛物线与轴交于点、两点，点在该抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交于点，在射线上取一点，连接，使得，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，过点作轴于点，将抛物线向左平移6个单位后得到新抛物线，是新抛物线的对称轴上一点，点是新抛物线与原抛物线的交点，将点向上平移个单位得到点，平面内是否存在点，使得四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标；
(3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点D，与x轴交于点A和点B，其中B的坐标为．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为．
(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)在（2）的条件下，设的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？
9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线经过A，C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在上方的抛物线上有一动点P．如图，当点Р运动到某位置时，以，为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标．
10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，过点的直线与轴交于点，交抛物线于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)如图1，点是直线上方第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(3)如图2，若点在抛物线上，点在轴上，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
11．如图，抛物线与直线交于点，．点D是抛物线上A，B两点间的一个动点（不与点A，B重合），直线与y轴平行，交直线于点C，连接．
(1)求抛物线的解忻式；
(2)设点D的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标；
(3)点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点．当以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出点Q的坐标．
12．如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为，连结．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值．
(3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由．
(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线与x轴交点为A、B，A在B的左侧，与y轴交点为点C，且抛物线与直线交于A、C．

(1)求直线的表达式；
(2)是D第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形面积的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标：若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)，顶点坐标为
(2)或或
2．(1)，
(2)点P的横坐标为或或．
3．(1)
(2)
(3)或或
4．(1)
(2)存在 或或使得点B，E，C，P为顶点的四边形是平行四边形
(3)
5．(1)
(2)，，
(3)或
6．(1)
(2)周长的最大值为，此时点的坐标为
(3)或
7．(1)
(2)
(3)存在，
8．(1)；
(2)
(3)，
9．(1)
(2)
10．(1)，，，
(2)；
(3)，，，
11．(1)
(2)，
(3)或或或
12．(1)
(2)
(3)M的坐标为或或或
13．(1)；
(2)存在，或或
14．(1)
(2)是直角三角形
(3)点的坐标为或
15．(1)
(2)，
(3)存在，，
答案第1页，共2页