2024年中考数学高频考点常见题型突破——实际问题与二次函数（含答案）

2024年中考数学高频考点常见题型突破——
实际问题与二次函数
一、解答题
1．某果园有棵橙子树，平均每棵树结个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子．假设果园增种棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量．
2．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，
销售单价x（元/千克） 56 65 75
销售量y（千克） 128 110 90
解答下列问题：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值；
（3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围．
3．如图，某幢建筑物从米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离是多少米？
4．如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，桥的跨径为，此时水位在处，在水面以上的桥墩都为，桥拱最高点P离水面．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求此桥拱所在抛物线的表达式．
(2)当水位上涨时，若有一艘船在水面以上部分高，宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
5．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为．
(1)填空： ， （用含的代数式表示）；
(2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？
6．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为．

(1)若已知，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时a、b的值；
(2)若，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？
(3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求a的取值范围．
7．鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
0 9 12 15 18 21 …
0 5 …
(1)根据表中数据可得，当__________时，达到最大值__________；
(2)求关于的函数解析式；
(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
8．某种蔬菜每千克售价y1（元）与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本y2（元）与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在对称轴平行于y轴的同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为(6，1)．
（1）求出y1与x函数关系式；
（2）求出y2与x函数关系式；
（3）设这种蔬菜每千克收益为w元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出此最大值．（收益＝售价﹣成本）

9．某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块（如图所示），花园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆 120 米.
(1)设垂直墙的一边为x米，则平行墙的一边为__________米.
(2)要使花园面积最大，求此时x的值并求出其最大面积S.
10．图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面宽．以O为原点(如图)．已知点P的坐标为．
(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；
(2)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？
11．某商店购进了一种消毒用品,进价为每件元,在销售过程中发现,每天的销售量件与每件售价(元)之间存在一次函数关系(其中,且为整数).当每件消毒用品售价为元时,每天的销售量为件;当每件消毒用品售价为元时,每天的销售量为件．
(1)求与之间的函数关系式;
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得元的利润,则每件消毒用品的售价为多少元
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利(元),当每件消毒用品的售价为多少元时每天的销售利润最大 最大利润是多少元
12．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．
在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)通过计算说明石块能否飞越城墙；
(3)求出石块与斜坡在竖直方向上的最大距离．
13．如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为，当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小洛在下图中建立了平面直角坐标系，求得该抛物线的表达式为．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请在图中画出小洛建立的平而直角坐标系；
(2)判断排球能否过球网，并说明理由；
(3)判断排球是否会出界，并说明理由．
14．一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为米时，桥洞顶部离水面米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：

(1)【问题1】建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式．
(2)【问题2】由于暴雨导致水位上涨了米，求此时水面的宽度．
(3)【问题3】已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？
15．如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点处有一个喷水头，距离 水头的处有一棵高度是的树．距离这棵树的处有一面高的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．

(1)某次喷水浇灌时，测得与的几组数据如下：
0 2 6 10 12
0
①根据上述数据，求满足的函数关系；
②求喷水头喷出的水柱的最大高度；
(2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头写出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，直接写出同时满足这两个要求的常数的范围．
16．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长．设长为，矩形的面积为．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)当花圃的面积为时，长为多少米？
(3)当长为多少米时，所围成的花團面积最大？最大值是多少？
17．某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？有两位学生对此产生了争议．请根据信息，解决问题：
(1)设米，试用含x的代数式表示的长；
(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
参考答案：
1．当果园增种棵橙子树时，橙子的总产量最多，此时的总产量为个
2．（1）；（2）2450元；（3）
3．3米
4．(1)抛物线解析式为
(2)此船不能通过桥洞
5．(1)，
(2)；
(3)的最大面积是．
6．(1)，
(2)9米
(3)
7．(1)，
(2)
(3)守门员不能成功防守
8．（1）y1＝﹣x+7；（2）y2＝（x﹣6）2+1；（3）5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，最大值
9．(1)
(2)当时，最大面积S为1200平方米
10．(1)
(2)
11．(1)
(2)元
(3)15元，525元
12．(1)
(2)石块不能飞越防御墙
(3)石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为米
13．排球能过球网
排球会出界
14．(1)
(2)米
(3)米
15．(1)①；②喷水头喷出的水柱的最大高度为
(2)
16．(1)
(2)当长为时，面积为
(3)当长为时，花圃面积最大，最大面积为
17．(1)
(2)小英说法正确