2024年九年级中考数学二次函数压轴题专题---平行四边形存在性（含答案）

2024年九年级中考数学二次函数压轴题专题----
平行四边形存在性
1．抛物线与轴交于点、两点，点在点的左侧，顶点为，点在抛物线上，且点的横坐标为．
(1)求、两点的坐标；
(2)求
(3)当点不与、重合时，连结接、，直接写出的面积随增大而增大时的取值范围．
(4)若平面直角坐标系中存在一点，且以、、P、四点为顶点的四边形为平行四边形，则点坐标是什么．（直接写结果）
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线对应的函数表达式．
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标．
3．如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点．点是该抛物线上位于第二象限的动点，连接，．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当时，求点的横坐标；
(3)点到直线的距离的最大值为________，此时点的坐标为________；
(4)在抛物线的对称轴上找一点，抛物线上找一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．
4．如图1，抛物线C：与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线．
(1)求抛物线C的解析式；
(2)已知点，点E，F均在抛物线上（点E在点F右侧），若以C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；
(3)如图2，将抛物线C平移得到抛物线，使的顶点在原点，过点的两条直线，它们与y轴不平行，都与抛物线只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线必过定点．
5．已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点，点关于该抛物线对称轴的对称点为点．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)是否存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点是直线上方的抛物线上一动点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？请求出此时的最大值和点的坐标．
6．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，且的面积为6，

(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)如图1，若，为抛物线上两点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，设点横坐标为，求的值；
(3)如图2，过定点的直线交抛物线于，两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点．
7．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，，以A为顶点的抛物线经过点，交y轴于点，动点P在对称轴上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若点P从A点出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作交于点D，过点D且平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接，当t为何值时，的面积最大？最大值是多少？
(3)抛物线上是否存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线经过点，，点是抛物线的对称轴上一点，点在抛物线上，且点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)若，求点到直线的距离的最大值；
(3)若、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线（）与轴交于两点，与轴交于点，连接．
(1)求该抛物线的解析式，
(2)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．

(1)求抛物线解析式；
(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．在平面直角坐标系中中，已知抛物线L：和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点．
(1)求直线的解析式；
(2)点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，求证：为等腰直角三角形；
(3)在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由；
(4)若抛物线L与线段只有一个交点．请结合函数图象，直接写出m的取值范围________．
12．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接AC，BC，点P是线段OB上一动点，过点P作直线，交y轴于点D，交线段BC于点E，交x轴上方二次函数的图象于点F．
(1)求二次函数的表达式．
(2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标．
(3)在线段上是否存在点P，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的垂线交线段于M，过点P作x轴的垂线交线段于N，求的周长的最大值．
(3)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．抛物线（）与x轴交于点，两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P在线段上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作，垂足为D，交于点E．作，垂足为F，若点P的横坐标为t，请用t的式子表示，并求的面积的最大值；
(3)如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写下来．
15．抛物线与x轴交于，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接，求的最小值及此时M点的坐标；
(3)如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点，P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)，；
(2)1；
(3)或；
(4)，，．
2．(1)
(2)，
(3)或或或
3．(1)
(2)点的横坐标为或
(3)点到直线的距离的最大值，此时点的坐标为
(4)点N的坐标为或，
4．(1)
(2)点的坐标为或
5．(1)
(2)存在，或或
(3)最大值为，
6．(1)，
(2)或或或
(3)直线必过定点，
7．(1)
(2)当时，的面积最大，最大值为1；
(3)存在点M，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或．
8．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或
9．(1)；
(2)M点坐标为或或．
10．(1)；
(2)P点的坐标为或
(3)的坐标为或或
11．(1)
(3)能构成平行四边形，
(4)或
12．(1)
(2)点P的坐标为或；
(3)不存在，
13．(1)；
(2)
(3)点的坐标为或或．
14．(1)；
(2)，；
(3)，，；
15．(1)
(2)，
(3)，，
答案第1页，共2页