专题5.2 任意角和弧度制-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据任意角的概念计算可得.
【解答过程】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢分钟，转过的角为．
故选：C.
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将化为的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】直接由终边相同的角的概念求解即可.
【解答过程】由知.
故选：B.
3．（3分）（2021·全国·高一单元测试）在直角坐标系中，若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是（ ）.
A． B．
C． D．
【解题思路】本题可通过角与角的终边关于轴对称得出角，然后通过计算并与题目中的四个选项对比即可得出结果.
【解答过程】因为角与角的终边关于轴对称，
所以角与角的终边相同，即，
所以，
故选：B.
4．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】令即可判断出正确选项.
【解答过程】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意.
故选：B．
5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．是第二象限的角 D．是终边相同的角
【解题思路】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解
【解答过程】对于A：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；
对于B：分别取第一象限的角为，第二象限角，
此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；
对于C：是第三象限的角，故C错误；
对于D：因为，
所以是终边相同的角，故D正确；
故选：D.
6．（3分）（2022·辽宁高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为，弧度数为，则.
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为.
【解题思路】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.
【解答过程】A.根据弧度数定义可知A正确；
B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；
C.根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为，即弧度数为，故C正确；
D.圆周长为，32等分后，每一份弧长为，故D错误.
故选：D.
7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【解题思路】根据扇形的面积公式公式即可求解.
【解答过程】由以及扇形的面积公式可得:,
故选：D.
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ）
A． B．14π C．24π D．10π
【解题思路】根据弧长公式可求得，同理可求得其他弧的长度.
【解答过程】扇形ABD的半径为1，圆心角为，所以的长，
同理可得之后的各段弧长分别为，，，
，，
所以“螺旋蚊香”图案的总长度 .
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.
【解答过程】设扇形的半径为，弧长为，则解得或，
又圆心角，所以或，
故选：AD.
10．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为
B．终边落在y轴上的角的集合为
C．第三象限角的集合为
D．在范围内所有与角终边相同的角为和
【解题思路】根据任意角的定义判断即可.
【解答过程】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为故A正确.
终边落在y轴上的角的集合为属于角度制和弧度制的混用，故B错误.
第三象限角的集合为不能取等号，等号时表示轴线角，故C错误.
范围内所有与角可以表示为，故或，故D正确.
故选：AD.
11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
【解题思路】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．
【解答过程】对于选项A：终边经过点的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是，正确；
对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是，错误；
对于选项C：若，不是第一象限角，错误；
对于选项D： 而表示的奇数倍，
，而表示 的整数倍，所以，正确．
故选：BC.
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
【解题思路】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.
【解答过程】经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为，故A正确；
经过 s后， ，故扇形AOB的弧长为，故B正确；
经过 s后，，故扇形AOB的面积为，故C不正确；
设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则，解得 (s)，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海·高一阶段练习）已知角α与角β的终边关于直线对称，则α与β的关系为 .
【解题思路】先在得出α与β的关系，然后由终边相同的角的关系得出答案.
【解答过程】若与均在内时，
如图1：则.即，
如图2：则，即，
由终边相同的角的关系可得：.
所以α与β的关系为：.
故答案为：.
14．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第 一 象限角．
【解题思路】利用象限角的定义进行求解.
【解答过程】若α是第二象限角，则，，
所以，，
即，，
所以180°－α是第一象限角．
故答案为：一.
15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．
【解题思路】确定以边界为终边的角，即可得角的集合.
【解答过程】由题图，终边对应角为且，终边对应角为且，
所以阴影部分角的集合是.
故答案为：.
16．（4分）（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为 .
【解题思路】由弧长公式可求得等边的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.
【解答过程】解：由题意可知，
设，
则弧的长度为，所以，
设弧所对的扇形的面积为，
，
则该鲁洛克斯三角形的面积为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·河南南阳·高一期中）时间经过小时分钟，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
【解题思路】根据时钟的转动规律，先求出每分钟时针和分针转动的角度，进而求出经过小时分钟，时针、分针转动的角度即可，结合角度制和弧度制的换算即可.
【解答过程】每经过分钟，时针转了，分针转了，
时间经过2小时20分钟，则时针转了，等于，
则分针转了，等于.
18．（6分）（2022·上海·高一课时练习）写出下列角与的关系.
（1）角与的终边互相垂直；
（2）角与的终边互为反向延长线；
（3）角与的终边关于y轴对称
【解题思路】（1）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得或，化简即可得解；
（2）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得或，化简即可得解；
（3）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得或，化简即可得解.
【解答过程】（1）若角与的终边互相垂直，
则或，
所以；
（2）若角与的终边互为反向延长线，
则或，
所以；
（3）若角与的终边关于y轴对称，
则或，
所以或，
所以，
所以.
19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出内与它终边相同的角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解题思路】根据终边相同的角的概念及给定区间即可得到答案.
【解答过程】（1）
由题意，与终边相同的角的集合为，
令，得，
∴，
∴在内与终边相同的角为，；
（2）
由题意，与终边相同的角的集合为，
令，得，
∴，
∴在内与终边相同的角为，；
（3）
由题意，与终边相同的角的集合为，
令，得，
∴，
∴在内与终边相同的角为，；
（4）
由题意，与终边相同的角的集合为，
令，得，
∴，
∴在内与终边相同的角为，.
20．（8分）（2022·江西·高一阶段练习）已知．
(1)写出与角终边相同的角的集合，并求出在内与角终边相同的角；
(2)若角与角终边相同，判断角是第几象限的角．
【解题思路】（1）根据终边相同的角的定义即可得出答案；
（2）根据角的范围求出角的范围，即可判断角所在的象限.
【解答过程】(1)
解：与角终边相同的角的集合为，
令，得，
又，
在内与角终边相同的角是；
(2)
由（1），知，则，
则当k为偶数时，角是第一象限角；当k为奇数时，角是第三象限角，
角是第一或第三象限角．
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【解题思路】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的的性质，结合弧度的定义即可求解
【解答过程】（1）
因为，
所以扇形的面积为；
（2）
由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，.
22．（8分）（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
【解题思路】(1)根据弧长公式和周长列方程得出关于的函数解析式；
(2)根据面积公式求出关于的函数表达式，根据二次函数性质可得的最大值．
【解答过程】(1)
根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
(2)
依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．专题5.2 任意角和弧度制-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将化为的形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2021·全国·高一单元测试）在直角坐标系中，若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是（ ）.
A． B．
C． D．
4．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知，则角的终边落在的阴影部分是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角
C．是第二象限的角 D．是终边相同的角
6．（3分）（2022·辽宁高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（ ）
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为，弧度数为，则.
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为，将圆周32等分，每一份的弧长为.
7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（ ）．
A． B． C． D．
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（ ）
A． B．14π C．24π D．10π
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为
B．终边落在y轴上的角的集合为
C．第三象限角的集合为
D．在范围内所有与角终边相同的角为和
11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中不正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第一象限角，则是第一象限角，为第一或第二象限角
D．，，则
12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）
A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3
B．经过 s后，扇形AOB的弧长为
C．经过s后，扇形AOB的面积为
D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·上海·高一阶段练习）已知角α与角β的终边关于直线对称，则α与β的关系为 .
14．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第 象限角．
15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是 ．
16．（4分）（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧的长度为，则该鲁洛克斯三角形的面积为 .
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·河南南阳·高一期中）时间经过小时分钟，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？
18．（6分）（2022·上海·高一课时练习）写出下列角与的关系.
（1）角与的终边互相垂直；
（2）角与的终边互为反向延长线；
（3）角与的终边关于y轴对称
19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出内与它终边相同的角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（8分）（2022·江西·高一阶段练习）已知．
(1)写出与角终边相同的角的集合，并求出在内与角终边相同的角；
(2)若角与角终边相同，判断角是第几象限的角．
21．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
22．（8分）（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大 并求出最大值．
