专题5.4 三角函数的概念-重难点题型检测
【人教A版2019】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·福建·高一阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·宁夏·高三期中（理））已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C．2 D．
5．（3分）（2022·四川·高三开学考试（文））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如果是第二象限角，且满足，那么（ ）
A．是第一象限角 B．是第三象限角
C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角
8．（3分）（2022·江苏扬州·高三期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·福建省高三阶段练习）给出下列各三角函数值：①；②；③；④．其中符号为负的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．（4分）（2022·广西钦州·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）（2021·江苏·高一课时练习）阅读下列命题：其中正确的命题为（ ）
A．终边落在轴上的角的集合
B．同时满足，的角有且只有一个
C．设且，则
D．
12．（4分）（2022·辽宁·高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．在第三象限，则是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C．若角的终边经过点，则
D．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·黑龙江·高二期中）若角的终边过点，且，则 .
14．（4分）（2022·陕西·高一期中）比较大小： ．
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）若，且，则 .
16．（4分）（2022·辽宁·高一期中）若，，且，则的最大值为 ．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．
18．（6分）（2022·湖南·高一课时练习）确定下列各三角函数值的符号：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．（8分）（2021·全国·高一课时练习）用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（8分）（2022·辽宁·高一期中）已知，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)求的值.
21．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
22．（8分）（2022·湖南·高一课时练习）证明：
(1)；
(2)．专题5.4 三角函数的概念-重难点题型检测
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021·福建·高一阶段练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由诱导公式一即可值
【解答过程】
故选：D.
2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知是角终边上一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据，可判断点位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.
【解答过程】解：因为是角终边上一点，，故点位于第二象限，
所以，，
整理得：，因为，所以.
故选：D.
3．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由条件利用同角三角函数的基本关系求得的值.
【解答过程】因为，
则 .
故选：D.
4．（3分）（2022·宁夏·高三期中（理））已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C．2 D．
【解题思路】根据角的终边经过点，求得，根据同角的三角函数关系化简，代入求值，可得答案.
【解答过程】由角的终边经过点，则，
故，
故选:C.
5．（3分）（2022·四川·高三开学考试（文））已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，求出，再利用齐次式法计算作答.
【解答过程】因，则，
所以.
故选：C.
6．（3分）（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】计算得到，在根据三角函数定义计算得到答案.
【解答过程】，即，则，.
故.
故选：A.
7．（3分）如果是第二象限角，且满足，那么（ ）
A．是第一象限角 B．是第三象限角
C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角
【解题思路】由是第二象限角，有，结合，即可求的范围，进而确定其所在象限.
【解答过程】因为
，
所以，即，
∵是第二象限角，故，，
∴，，
所以此时可能在第一象限角，也可能在第三象限角
又，
∴，.
所以在第三象限角
故选：B.
8．（3分）（2022·江苏扬州·高三期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设大正方形的边长为，则直角三角形的两直角边分别为，分别求出，再根据可求得，再根据即可得解.
【解答过程】解：设大正方形的边长为，则直角三角形的两直角边分别为，
故，
则，所以，
又为锐角，则，
所以.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·福建省高三阶段练习）给出下列各三角函数值：①；②；③；④．其中符号为负的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解题思路】根据三角函数在各象限的符号即可判断.
【解答过程】解：对①：因为是第三象限角，所以；
对②：因为是第二象限角，所以；
对③：因为是第二象限角，所以；
对④：因为是第一象限角，所以.
所以符号为负的是①②③，
故选：ABC.
10．（4分）（2022·广西钦州·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】考虑角 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.
【解答过程】由 …①，以及 ，
对等式①两边取平方得 ， …②，
，，由②， ，
由①② ， 可以看作是一元二次方程 的两个根，
解得 ， ，
故A正确，B正确，C错误，D正确；
故选：ABD.
11．（4分）（2021·江苏·高一课时练习）阅读下列命题：其中正确的命题为（ ）
A．终边落在轴上的角的集合
B．同时满足，的角有且只有一个
C．设且，则
D．
【解题思路】A,利用终边相同的角即可判断；B,利用特殊角的三角函数值及诱导公式判断即可得到结果；C,由的值及的范围，利用同角三角函数间基本关系求出的值，进而求出的值，即可做出判断;D,利用同角三角函数及诱导公式变形即可判断.
【解答过程】对于A, 终边落在轴上的角的集合,故A正确；
对于B, 同时满足，的角有无数个，此时，故B错误；
对于C. 设且，则则，故C正确；
对于D, ,故D正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2022·辽宁·高一期中）下列四个选项，正确的有（ ）
A．在第三象限，则是第二象限角
B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为
C．若角的终边经过点，则
D．
【解题思路】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解答过程】对A：由题可得，则属于第二或者第四象限；
，则属于第二或者第三象限或角度终边落在轴的负半轴上；故属于第二象限，A正确；
对B：设扇形的圆心角为，半径为，圆心角对的弧长为，
则，，解得，又，即，解得，B正确；
对C：根据题意可得，故C错误；
对D：因为，，故，
故，D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·黑龙江·高二期中）若角的终边过点，且，则 .
【解题思路】根据已知条件及三角函数的定义即可求解.
【解答过程】因为角的终边过点，
所以，
又，所以，
所以，即，解得或，
又，所以.
故答案为：.
14．（4分）（2022·陕西·高一期中）比较大小： ．
【解题思路】化简可得，，即可得答案.
【解答过程】，
，
所以 .
故答案为：.
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）若，且，则 .
【解题思路】根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，先求出，进而求得和，代入所求式子，即可得出结果.
【解答过程】由得，，即，
所以.
因为，所以，
则，
所以，
因此.
联立解得，
所以.
故答案为：.
16．（4分）（2022·辽宁·高一期中）若，，且，则的最大值为 ．
【解题思路】由题意结合商数关系及平方关系可得，再利用基本不等式即可得出答案.
【解答过程】解：由，
得，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与轴非负半轴重合的角的终边上有一点，且，求的值，并求与的值．
【解题思路】根据三角函数定义可由求得的值；结合的值，由三角函数定义可求得.
【解答过程】，；
当时，，；
当时，，.
18．（6分）（2022·湖南·高一课时练习）确定下列各三角函数值的符号：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解题思路】（1）（2）（3）（4）确定角的终边所在的象限，结合三角函数值的符号与象限角的关系可判断各三角函数式的符号.
【解答过程】(1)
解：，则为第三象限角，则.
(2)
解：，则为第二象限角，则.
(3)
解：，则为第三象限角，则.
(4)
解：，则为第四象限角，则，，
故.
19．（8分）（2021·全国·高一课时练习）用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解题思路】对于各个角，直接利用诱导公式一和三角函数定义化简求解三个三角函数值即可．
【解答过程】(1)
解：；
；
．
(2)
解：；
；
；
(3)
解： ；
；
.
(4)
解：；
；
.
20．（8分）（2022·辽宁·高一期中）已知，.
(1)求的值.
(2)求的值.
(3)求的值.
【解题思路】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；
（2）由（1），可得，则，从而可得出答案；
（3）根据结合正余弦得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.
【解答过程】(1)
解：因为，
所以，
所以；
(2)
解：因为，，
所以，
所以；
(3)
解：由（2）得，
则
.
21．（8分）（2022·全国·高一课时练习）已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
【解题思路】（1）利用诱导公式化简，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得，则答案可求；
（2）由，再由诱导公式求得求的值．
【解答过程】（1）
解：.
因为，所以，
又角是第三象限角，所以，
所以.
（2）
解：因为，所以.
22．（8分）（2022·湖南·高一课时练习）证明：
(1)；
(2)．
【解题思路】利用同角三角函数的基本关系证明可得；
【解答过程】(1)
证明：左边右边；
即
(2)
证明：右边
左边，
即.
