专题5.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲
1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.
②五点法
观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函
数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.
②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数及余弦型函数的性质
函数和的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：
【题型1 正、余弦函数图象的应用】
【方法点拨】
正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.
【例1】（2022·上海高一期中）函数与函数的图像的交点个数是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【解题思路】作出函数和的图象，由图象可得交点个数，
【解答过程】的最小正周期是，，
时，，作出函数和的图象，只要观察的图象，由图象知它们有7个交点，
故选：C．
【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】判断各选项中函数在区间或上的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.
【解答过程】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；
对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；
对于C选项，当时，，C选项不满足条件；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，，D选项满足条件.
故选：D.
【变式1-2】（2021·江苏·高一课时练习）从函数的图象来看，当时，对于的x有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解题思路】画出和的图象，看它们有几个交点即可.
【解答过程】先画出，的图象，即A与D之间的部分，
再画出的图象，如下图：
由图象可知它们有2个交点B、C，
所以当时，的x的值有2个.
故选：C.
【变式1-3】（2021·全国·高一专题练习）在上，满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】作出和在的函数图象，数形结合即可求出.
【解答过程】作出和在的函数图象，
根据函数图象可得满足的的取值范围为.
故选：C.
【题型2 定义域、值域与最值问题】
【方法点拨】
求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：
(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期
性.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【解题思路】利用正弦型函数的性质求区间最值即可.
【解答过程】由题设，，故，
所以最大值和最小值分别为1，.
故选：D.
【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正切函数的定义域可得结果.
【解答过程】因为，所以.
故的定义域为.
故选：A.
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【解答过程】当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，
故值域为
故选：C.
【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由为奇函数且得，由已知有，根据正弦型函数的性质及最值分布列不等式组，求参数范围.
【解答过程】由为奇函数，则，，又，故，
所以，在，则，，
当，则，故无解；
当，则，可得；
当，则，无解.
综上，的取值范围是.
故选：B.
【题型3 单调性问题】
【方法点拨】
单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与
性质进行求解即可.
【例3】（2022·广东广州·高二期中）下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用代入检验的方式，分别得到的范围，结合正弦函数的单调性可得结论.
【解答过程】对于A，当时，，此时单调递减，A正确；
对于B，当时，，此时先增后减，B错误；
对于C，当时，，此时先减后增，C错误；
对于D，当时，，此时先增后减，D错误.
故选：A.
【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数，若在上为增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由可得，然后结合条件可建立不等式求得，然后可分析出答案.
【解答过程】令，整理得，
故，解得，，
∵，∴k＝0时，；k＝1时，；
时，∵，故不符合题意．综上所述，．
故选：D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C． ， D． ，
【解题思路】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案.
【解答过程】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，
令 ，，解得 ，，
所以函数的单调递增区间为，，
故选：A.
【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数 在上单调递减，则ω的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解题思路】根据题意得，即，再根据，的单调递减区间为得，解得，进而得当时，即可得答案.
【解答过程】因为函数在上单调递减，
所以，所以.
所以
因为的单调递减区间为，
所以，解得，
由于，故.
所以当时，得的最大区间：.
故的最大值是.
故选：C.
【题型4 奇偶性与对称性问题】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据诱导公式化简函数解析式，再根据正弦、余弦、正切函数的奇偶性可得答案.
【解答过程】对于A，为奇函数，故A不正确；
对于B，为奇函数，故B不正确；
对于C， 为奇函数，故C不正确；
对于D， 为偶函数，故D正确.
故选：D.
【变式4-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或-1 D．
【解题思路】由函数为偶函数得到，求出的值，代入后用诱导公式即可得到结果.
【解答过程】由函数得，，，其中，
.
故选：B.
【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是（，0），那么f（x）的解析式可以是（ ）
A．sinx B．cosx C． D．
【解题思路】判断各选项中函数是否有对称中心即可得．
【解答过程】四个选项中函数都是连续函数，代入函数式，只有B选项函数值为0，其他三个均不为0，
由余弦函数性质知，B正确．
故选：B．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用为对称中心，列出方程，求出，，求出的最小值.
【解答过程】由题意得：，，
解得：，，
所以，，
当时，取得最小值为.
故选：D.
【题型5 三角函数的周期性】
【方法点拨】
证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：
(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周
期函数且T是它的一个周期.
(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.
(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.
【例5】在函数中，最小正周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正余弦、正切函数的性质求各函数的最小正周期即可.
【解答过程】由正弦函数性质，的最小正周期为，的最小正周期为；
由余弦函数性质，的最小正周期为；
由正切函数性质，的最小正周期为.
综上，最小正周期为的函数是.
故选：A.
【变式5-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数的最小正周期为，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由周期性得，再由对称性与单调性判断，
【解答过程】因为的最小正周期为，所以，
令得，
即在上单调递增，同理得在上单调递减，
而，，，
由三角函数性质得
故选：D.
【变式5-2】（2020·福建省高三阶段练习）给出下列函数：
①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【解题思路】结合函数周期的定义以及三角函数的图像与性质即可.
【解答过程】对于①，，其最小正周期为;
对于②，结合图象，知的最小正周期为．
对于③，的最小正周期．
对于④，的最小正周期．
故选：A．
【变式5-3】（2022·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据正弦、余弦函数的性质计算可得；
【解答过程】解：在区间上不单调，A不符合题意.
在区间上单调递增，且最小正周期为，B符合题意.
在区间上单调递减，C不符合题意.
的最小正周期为，D不符合题意.
故选：B.
【题型6 三角函数的图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：
1.熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.
2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.
【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数的最小正周期．
(1)求函数单调递增区间；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【解题思路】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；
（2）转化为求在上的值域．
【解答过程】（1）因为函数的最小正周期，
所以，由于，所以．
所以，
所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，
令，解得，
所以函数单调递增区间为．
（2）因为函数在上有零点，
所以函数的图像与直线在上有交点，
因为，
故函数在区间上的值域为
所以当时，函数的图像与直线在上有交点，
所以当时，函数在上有零点．
【变式6-1】（2022·湖南·高二阶段练习）已知函数（，）的图象关于直线对称：
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）由题意，利用正弦函数的周期性和对称性，求出和，可得函数的解析式；
（2）由题意，利用正弦函数的对称性、单调性，求出的取值集合.
【解答过程】（1）
∵函数，的图象关于直线对称，
最小正周期为，∴，，，
求得，，函数.
（2）
若是的零点，由于的图象关于直线对称，
则，①，
根据在上单调，有②，
由②可得，由①可得，所以，
故的取值集合为：.
【变式6-2】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数的图象经过点.
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【解题思路】（1）根据最小正周期为得到，再根据的图象过点，得到，即可得到的解析式；
（2）根据得到是的一条对称轴，代入得到，，再根据的图象过点得到，，联立得到，根据在上单调得到，最后验证在上是否单调即可得到的取值集合.
【解答过程】（1）
因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象经过点，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）
因为，，所以直线为图象的对称轴，
又的图象经过点.
所以①，②，.
②-①得，所以
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意；
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意，
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
【变式6-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.
(1)求的解析式；
(2)将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，求曲线的对称中心的坐标.
【解题思路】（1）根据函数的最小值及最小正周期，求出，再根据函数图象关于对称，结合，求出，从而求出函数解析式；
（2）先求出平移后的解析式，再用整体法求解对称中心.
【解答过程】（1）
依题意可得
解得，
则，因为的图象关于直线对称，所以，
又，所以.
故.
（2）
依题意可得，
令，得，
故曲线的对称中心的坐标为.专题5.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲
1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.
②五点法
观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函
数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.
②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：
3．正弦型函数及余弦型函数的性质
函数和的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质
(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
=，即将的图象先向右平移个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：
【题型1 正、余弦函数图象的应用】
【方法点拨】
正、余弦函数图象的应用主要有：函数图象的识别问题、解三角不等式、利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题；需要结合具体条件，根据正、余弦函数的图象及性质进行求解.
【例1】（2022·上海高一期中）函数与函数的图像的交点个数是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【变式1-1】（2022·湖南·高三开学考试）与图中曲线对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2021·江苏·高一课时练习）从函数的图象来看，当时，对于的x有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式1-3】（2021·全国·高一专题练习）在上，满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【题型2 定义域、值域与最值问题】
【方法点拨】
求与三角函数有关的函数的值域(或最值)的常用方法有：
(1)借助正弦函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期
性.
【例2】（2022·全国·高一课时练习）函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【变式2-1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2022·湖南高三阶段练习）奇函数在区间上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 单调性问题】
【方法点拨】
单调性问题主要有：函数的单调区间的求解、比较函数值的大小；结合具体条件，根据三角函数的图象与
性质进行求解即可.
【例3】（2022·广东广州·高二期中）下列区间中，函数单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022·内蒙古·高三阶段练习（文））已知函数，若在上为增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C． ， D． ，
【变式3-3】（2022·广西南宁·高三阶段练习（文））若函数 在上单调递减，则ω的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【题型4 奇偶性与对称性问题】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性和对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
【例4】（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A． B．1 C．1或-1 D．
【变式4-2】（2023·北京市高三期中）函数f（x）的图象是中心对称图形，如果它的一个对称中心是（，0），那么f（x）的解析式可以是（ ）
A．sinx B．cosx C． D．
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【题型5 三角函数的周期性】
【方法点拨】
证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：
(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周
期函数且T是它的一个周期.
(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.
(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.
【例5】在函数中，最小正周期为的函数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2022·河南安阳·高三期中（文））已知函数的最小正周期为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2020·福建省高三阶段练习）给出下列函数：
①；②；③；④．
其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【变式5-3】（2022·河南省高一阶段练习）下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（ ）
A． B． C． D．
【题型6 三角函数的图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
解决正(余)弦型函数的图象与性质的综合应用问题的思路：
1.熟练掌握函数或的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.
2.直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.
【例6】（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数的最小正周期．
(1)求函数单调递增区间；
(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．
【变式6-1】（2022·湖南·高二阶段练习）已知函数（，）的图象关于直线对称：
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【变式6-2】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数的图象经过点.
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若，，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【变式6-3】（2022·湖北·高三阶段练习）已知函数的最小值为1，最小正周期为，且的图象关于直线对称.
(1)求的解析式；
(2)将曲线向左平移个单位长度，得到曲线，求曲线的对称中心的坐标.
